1、第 4 课时 两条直线的平行与垂直1.掌握直线与直线的位置关系 .2.能根据直线的方程判定两条直线平行或垂直,能利用两条直线平行或垂直的关系求直线的方程 .3.会求关于已知直线对称的直线方程 .如图,直线 m 的方程为 2x-y+2=0,直线 n 绕着点 P(1,-1)旋转,当直线 n 旋转到与直线 m平行的时候,直线 n 的斜率是多少?当直线 n 旋转到与直线 m 垂直的时候,直线 n 的斜率是多少?问题 1:在上述情境中,当 m n 时,直线 n 的方程为 2x-y-3=0 ; 当 m n 时,直线 n 的方程为 x+2y+1=0 . 问题 2:两直线平行的判定(1)斜截式:直线 m 的方
2、程为 y=k1x+b1,直线 n 的方程为 y=k2x+b2,则 m nk1=k2且 b1 b2;直线 m,n 重合 k1=k2且 b1=b2.(2)一般式:直线 m 的方程为 A1x+B1y+C1=0,直线 n 的方程为 A2x+B2y+C2=0,则 m nA1B2=A2B1且 A1C2 A2C1、 B1C2 B2C1,两个 不等式至少有一个成立 ; 直线 m,n 重合 A1B2=A2B1且 A1C2=A2C1、 B1C2=B2C1 . 问题 3:两直线垂直的判定(1)斜截式:已知直线 m 的方程为 y=k1x+b1,直线 n 的方程为 y=k2x+b2,m nk1k2=-1.(2)一般式:
3、直线 m 的方程为 A1x+B1y+C1=0,直线 n 的方程为 A2x+B2y+C2=0,m nA1A2+B1B2=0.问题 4:中心对称问题(1)点关于点的对称:若点 M(x1,y1)及 N(x,y)关于 P(a,b)对称,则由中点坐标公式得 ; (2)直线关于点的对称,其主要方法是:在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点式求出直线方程 .问题 5:轴对称问题(1)点( x1,y1)关于直线 l:Ax+By+C=0 对称的对称点( x2,y2)可由得出对称点坐标 .2121()=1(0),2+12 +2+12 +=0 (2)直线关于直线对称求直线 l
4、1:A1x+B1y+C1=0 关于 l:Ax+By+C=0 对称的直线 l2的方程的方法:转化为点关于直线对称 .在 l1上任取两点 P1和 P2,求出 P1,P2关于 l 的对称点,再用两点式求出 l2的方程 .1.已知两条不重合的直线 l1、 l2,有下列说法: 若直线 l1与 l2的斜率相等,则 l1 l2; 若直线 l1 l2,则两直线的斜率相等; 若直线 l1、 l2的斜率均不存在,则 l1 l2; 若两直线的斜率不相等,则两直线不平行; 如果直线 l1、 l2平行,且 l1的斜率不存在,那么 l2的斜率也不存在 .其中正确的个数是( ).A.1 B. 2 C.3 D.42.已知点
5、M(2,2)和 N(5,-2),点 P 在 x 轴上,且 MPN 为直角,则点 P 的坐标是( ).A.(1,0)或(6,0) B.(1,0) C.(-6,0) D.(1,0)或( -6,0)3.下列命题正确的有 . (1)任何一条直线都有倾斜角,也有斜率;(2)平行于 x 轴的直线的倾斜角是 0或 180;(3)直线的斜率范围是( - ,+ );(4)过原点的直线,斜率越大越靠近 x 轴;(5)两条直线的斜率相等,则它们的倾斜角相等;(6)两条直线的倾斜角相等,则它们的斜率相等 .4.根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程:(1)过点 B(-3,0),且垂直于 x 轴;(2)在 y
6、 轴上的截距为 3,且平行于 x 轴 .直线方程的应用(1)求经过点(1,1),且与直线 y=2x+7 平行的直线方程;(2)求经过点( -1,1),且与直线 y=-2 垂直的直线方程 .平面几何中的平行与垂直问题已知 A(1,1),B(5,4),C(2,3).(1)求一点 D,使四边形 ABDC 为平行四边形 .(2)求 ABC 中 AB 边上的高所在的直线方程 .对称问题光线从 A(-4,-2)点射出,到直线 y=x 上的 B 点后被直线 y=x 反射到 y 轴上的 C 点,又被y 轴反射,这时反射光线恰好过点 D(-1,6),求 BC 所在直线的方程 .(1)求与直线 y=-2x+10
7、平行,且在 x 轴、 y 轴上的截距之和为 12 的直线的方程 .(2)求过点 A(1,-4)且与直线 2x+3y+5=0 平行的直线的方程 .已知 A(0,3)、 B(-1,0)、 C(3,0),求点 D 的坐标,使四边形 ABDC 为直角梯形 .已知直线 l:x-y-1=0,l1:2x-y-2=0.若直线 l2与 l1关于 l 对称,则 l2的方程是( ).A.x-2y+1=0 B.x-2y-1=0 C.x+y-1=0 D.x+2y-1=01.若直线 l 经过点( a-2,-1)和点( -a-2,1),且与斜率为 - 的直线垂直,则实数 a 的值是( ).23A.- B.- C. D.23
8、 32 23 322.若过点 A(2,-2),B(5,0)的直线与过点 P(2m,1),Q(-1,-m)的直线平行,则 m 的值为( ).A.-1 B.1 C.2 D. 123.直线(2 -m)x+my+3=0 与直线 x-my-3=0 垂直,则 m 为 . 4.已知长方形 ABCD 的三个顶点的坐标分别为 A(0,1),B(1,0),C(3,2),求第四个顶点 D 的坐标 .已知直线 l 的方程为 3x+4y-12=0.(1)l与 l 平行,且 l过点( -1,3),求直线 l的方程;(2)l与 l 垂直,且 l与两坐标轴围成的三角形面积为 4,求直线 l的方程 .考题变式(我来改编):第
9、4 课时 两条直线的平行与垂直知识体系梳理问题 1:2x-y-3=0 x+2y+1=0问题 2:(2)不等式至少有一个成立 A1B2=A2B1且 A1C2=A2C1、 B1C2=B2C1问题 4:(1)=21,=21问题 5:(1)A +B +C=02+12 2+12基础学习交流1.D 中斜率可能不存在, 正确 .2.A 设 P(x,0),则 =-1,x= 1 或 x=6. 点 P 的坐标是(1,0)或(6,0) .022 0+253.(3)(5) (1)倾斜角为 90的直线没有斜率;(2)直线的倾斜角的取值范围是0,180);(4)斜率的绝对值越大,其对应的直线越靠近 y 轴;(6)倾斜角为
10、 90的直线没有斜率 .4.解:(1) x=-3,即 x+3=0.(2)y=3,即 y-3=0.重点难点探究探究一:【解析】(1)由 y=2x+7 得 k1=2,因为所求直线与直线 y=2x+7 平行,所以 k=k1=2,所以所求直线方程为 y-1=2(x-1).(2)因为所求直线垂直于直线 y=-2,所以所求直线的斜率不存在 .又因为直线经过点( -1,1),所以所求直线方程为 x=-1.【小结】直线的平行与垂直的位置关系是解析几何的重要位置关系,解决问题的关键就是抓住平行或垂直时斜率的关系 .同时,一定要注意直线的斜率是否存在,若不能确定直线的斜率是否存在,则要进行分类讨论 .探究二:【解
11、析】设 D(m,n),由已知得 kAB= ,kAC=2,kBD= ,kCD= .34 45 32因为四边形 ABDC 是平行四边形,如图,所以由 AB CD = ,3432由 AC BD2= ,45由 解得 m=6,n=6,即 D(6,6).(2)设 AB 边上的高所在的直线斜率为 k,则 kkAB=-1,因为 kAB= = ,所以 k=- ,且经过点 C,415134 43故 AB 边上的高所在的直线方程为 y-3=- (x-2),43整理得 4x+3y-17=0.【小结】解平面几何中的平行或垂直问题,要注意平面图形的几何性质并加以利用,比如三角形中的中线、角平分线、高,特殊四边形的性质,等
12、等,都要转化为坐标运算 .探究三:【解析】作出草图,如图所示 .设 A 点关于直线 y=x 的对称点为 A点, D 点关于 y 轴的对称点为 D点,则易得 A(-2,-4),D(1,6).由入射角等于反射角可得 AD所在直线经过点 B 与 C,故 BC 所在的直线方程为= ,即 10x-3y+8=0.66+411+2【小结】解决这类对称问题要抓住两点:一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直;二是以已知点和对称点为端点的线段的中点在对称轴上 .思维拓展应用应用一:(1)设所求直线的方程为 y=-2x+ ,则它在 y 轴上的截距为 ,在 x 轴上的截距为 ,+ = 12,12 12= 8.故所求直线
13、的方程为 y=-2x+8,即 2x+y-8=0.(2)(法一) 已知直线的斜率是 - ,所求直线与已知直线平行,23 所求直线的斜率也是 - .23根据点斜式,得所求直线的方程是 y+4=- (x-1),23即 2x+3y+10=0.(法二)设所求直线的方程为 2x+3y+b=0, 直线过点 A(1,-4), 21+3(-4)+b=0,解得 b=10.故所求直线的方程是 2x+3y+10=0.应用二:设 D(x,y),(1)当 B、 D 为直角顶点时, AB CD(如图 1),k CD=kAB, =3,即 y=3x-9.3又 BD CD,k BDkCD=-1, =-1,+1 3即 x2+y2-
14、2x-3=0.解 联立的方程组,得 x= ,y=- ,或 x=3,y=0(舍去) .135 65(2)当 C、 D 为直角顶点时, AC BD(如图 2),k BD=kAC, =-1,即 y=-x-1.+1又 BD CD,k BDkCD=-1, =-1,+1 3即 x2+y2-2x-3=0.解 联立的方程组,得 x=1,y=-2,或 x=-1,y=0(舍去) .综上所述,点 D 的坐标为( ,- )或(1, -2).135 65应用三:B l1与 l2关于 l 对称,则 l1上任一点关于 l 的对称点都在 l2上,故 l 与 l1的交点(1,0)在 l2上 .又易知(0, -2)为 l1上的一
15、点,设其关于 l 的对称点为( x,y),则 得 即(1,0),( -1,-1)为 l2上的两点,可得 l2的方程为 x-+02 22 1=0,+2 1=1, =1,=1,2y-1=0.基础智能检测1.A k l= =- ,且 - (- )=-1,1+12 1 1 23a=- .232.B 由 = ,得 m=1.0(2)52 1123.-2 或 1 当斜率不存在时, m=0,则两直线平行,不合题意,所以两直线的斜率都存在 .由k1k2=-1 可得( - ) =-1,解得 m=-2 或 m=1.(此题也可直接用 2-m+m(-m)=0 求解)2 14.解:设第四个顶点 D 的坐标为( x,y),
16、由题意可知,AD CD,AD BC,k ADkCD=-1,且 kAD=kBC,1023=1,10=2031, 解得 x=2,y=3, 第四个顶点的坐标为(2,3) .全新视角拓展(1)因为直线 l 的斜率 k=- ,且 l l,所以直线 l的斜率 k=- ,所以由点斜式得 y-34 343=- (x+1),即 3x+4y-9=0.34(2)由直线 l 的斜率 k=- ,且 l l,可得直线 l的斜率 k= .设直线 l的方程为34 43y= x+b,由 y=0 得 x=- b,由 x=0 得 y=b.由 S = |- b|b|=4,得 b2= ,即 b= ,所以43 34 12 34 323 436直线 l的方程为 y= x ,即 4x-3y4 =0.43 436 6思维导图构建b1 b2 k1k2=-1 A1C2=A2C1且 B1C2=B2C1 A1C2 A2C1或 B1C2 B2C1 A1A2+B1B2=0
