1、第 2 课时 直线的方程(一)1.掌握直线的点斜式方程、斜截式方程和两点式方程,归纳方程特点及其适用范围并能简单应用 .2.能发现斜截式方程与一次函数间的联系与区别 .“我想知道流星能飞多久,它的美丽是否值得去寻求,夜空的花散落在你身后,幸福了我很久,值得我去等待,于是我许了个愿保佑,在最美的时候,我许的愿”飞逝的流星形成一条美丽的弧线,这条弧线可以近似看作是什么图形呢?若在平面直角坐标系中,能否确定它的位置呢?问题 1:(1)图片中飞逝的流星划出一条美丽的弧线,这条弧线可以近似看作 直线 . (2)经过点 P0(x0,y0)的直线 l 有无数条,可分为两类:(i)斜率存在,设斜率为 k,则直
2、线方程为 y-y0=k(x-x0) ,这个方程是由直线上 点P0(x0,y0) 及其 斜率 k 确定的,所以叫作直线的 点斜式 方程 . (ii)斜率不存在,则直线方程为 x=x0 . 问题 2:(1)已知直线 l 的斜率为 k,且与 y 轴的交点为(0, b),代入直线的点斜式方程,得 y=kx+b ,我们称 b 为直线 l 在 y 轴上的 截距 . 这个方程是由直线 l 的斜率和它在 y 轴上的 截距 确定的,所以叫作直线的 斜截式 方程 . (2)直线的斜截式方程 截距: b . 一般形式: y=kx+b . 适用条件: 斜率存在 . 注意:当直线和 x 轴垂直时,斜率不存在,此时方程不
3、能用点斜式方程和斜截式方程表示 .问题 3:已知两点坐标为 P1(x1,y1),P(x2,y2)(其中 x1 x2,y1 y2),则通过这两点的直线方程为 .与坐标轴平行或垂直的直线没有两点式方程,但其变形( y2-y1)(x-x1)=(x2-x1)(y-y1)可表示过任意两点的直线方程 .问题 4:若点 P1,P2的坐标分别为( x1,y1),(x2,y2),且线段 P1P2的中点 M 的坐标为( x,y),则 ,此公式为线段 P1P2的中点坐标公式 .1.已知直线方程 y-3= (x-4),则这条直线经过的定点,倾斜角分别是 ( ).3A.(4,3),60 B.(-3,-4),30 C.(
4、4,3),30 D.(-4,-3),602.直线方程可表示成点斜式方程的条件是( ).A.直线不过原点 B.直线的斜率不存在C.直线的斜率存在 D.不同于上述答案3.经过点( - ,2)且倾斜角是 30的直线的点斜式方程是 . 24.写出斜率为 -2,且在 y 轴上的截距为 t 的直线的方程,当 t 为何值时,直线通过点(4, -3)?并作出该直线的图像 .直线方程形式的选择根据条件写出下列直线的方程:(1)斜率为 3,经过点(5, -4);(2)斜率为 -2,经过点(0,2);(3)经过点(2,1)和(3, -4);(4)经过点(4,2),倾斜角为 90.直线的两点式方程已知三角形的三个顶点
5、是 A(-5,0),B(3,-3),C(0,2).(1)求 BC 边所在的直线方程;(2)求 BC 边上的中线 AM 所在的直线方程 .“截距”与“距离”的关系求过点 P(2,3),并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程 .求满足下列条件的直线方程:(1)斜率为 2,经过点(2,0);(2)经过点 B(2,3),倾斜角是 45;(3)斜率为 2,在 y 轴上的截距是 5; (4)直线 l 与直线 l1:y=2x+6 在 y 轴上有相同的截距,且直线 l 的斜率与 l1的斜率互为相反数,求直线 l 的方程 .一条光线从点 A(3,2)出发,经过 x 轴反射后,通过点 B(-1,6),求入射光线和反
6、射光线所在的直线方程 .求经过点 A(-5,2),且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上截距的 2 倍的直线方程 .1.已知直线 l 经过点 P(-2,5),且斜率为 - ,则直线 l 的方程为( ).34A.3x+4y-14=0 B.3x-4y+14=0 C.4x+3y-14=0 D.4x-3y+14=02.已知直线的方程为 y+2=-x-1,则( ).A.直线过点( -1,2),斜率为 -1 B.直线过点( -1,2),斜率为 1 C.直线过点( -1,-2),斜率为 -1 D.直线过点( -1,-2),斜率为 1 3.直线 l 过( -1,-1)、(2,5)两点,且点(1006, b)在
7、l 上,则 b= . 4.求过点 A(1,3),斜率为直线 y=-4x 的斜率的 的直线方程 .13(2010 年安徽卷)过点(1,0)且与直线 x-2y-2=0 平行的直线方程是( ).A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0考题变式(我来改编):第 2 课时 直线的方程(一)知识体系梳理问题 1:(1)直线 (2)(i)y-y0=k(x-x0) 点 P0(x0,y0) 斜率 k 点斜式 (ii)x=x0问题 2:(1)y=kx+b 截距 截距 斜截式 (2)b y=kx+b 斜率存在问题 3: =121121问题 4:=1+22 ,=1+22
8、基础学习交流1.A 由直线的点斜式方程可知, k=tan = ,= 60,直线过定点(4,3) .32.C3.y-2= (x+ )33 24.解:(1)由直线方程的斜截式,可得方程为 y=-2x+t.(2)将点(4, -3)代入方程 y=-2x+t,得 -3=-24+t,解得 t=5,故当 t=5 时,直线通过点(4, -3).直线 y=-2x+5 图象如右图所示 .重点难点探究探究一:【解析】(1) k= 3,经过点(5, -4), 由点斜式方程得 y-(-4)=3(x-5),即 y+4=3(x-5).(2)k=- 2,b=2, 由斜截式方程得 y=-2x+2.(3) 直线过点(2,1)和(
9、3, -4), 直线方程为 = .141232整理得 y=-5x+14.(4)由题意可知,直线垂直于 x 轴, 直线方程为 x=4.【小结】在求直线的点斜式方程时,要判断直线的斜率是否存在,若存在,要求出其斜率,再将条件中所给的点代入点斜式方程即可 .如果已知纵截距,那么可直接利用直线的斜截式方程求解 .探究二:【解析】(1)直线 BC 过点 B(3,-3),C(0,2),由两点式得 = ,整理得+32+33035x+3y-6=0,所以 BC 所在的直线方程为 5x+3y-6=0.(2)因为 B(3,-3),C(0,2),所以由中点坐标公式可得 BC 边上中点 M 的坐标为x= = ,y= =
10、- .由两点式方程可得直线 AM 的方程为 = ,整理得直线3+02 32 3+22 12 0120(5)32(5)AM 的方程为 x+13y+5=0.【小结】本题利用直线的两点式求解直线方程,求解前要先观察横坐标是否相等,纵坐标是否相等,都不相等后才可以利用两点式方程求解 .由于两点式方程比较复杂,所以在利用两点式方程时一定要细心 .此外,本题也可以先求出直线的斜率,再利用点斜式或斜截式求直线方程 .探究三:【解析】直线两坐标轴上的截距相等,则斜率 k 的值为 1.若 k=1,则直线方程为 y-3=x-2,即 x-y+1=0;若 k=-1,则直线方程为 y-3=-(x-2),即 x+y-5=
11、0. 所求直线方程为 x-y+1=0 或 x+y-5=0.问题当 k=1 时,直线在两坐标轴上的截距相等吗?结论截距是直线与 y 轴(或 x 轴)交点的纵坐标(横坐标),它不是距离,是有向线段的数量,可正、可负、也可为 0,错解中方程 x-y+1=0 在 x 轴、 y 轴上的截距分别为 -1,1,截距当然不相等,属于概念性错误 .于是,正确解答如下:当截距不为 0 时,则 k=-1,直线方程为 y-3=-(x-2),即 x+y-5=0.当截距为 0 时,则 k= ,直线方程为 y= x.32 32故满足题意的直线方程为 y= x 或 x+y-5=0.32【小结】求直线在坐标轴上截距的方法:令
12、x=0,所得 y 值是 y 轴上的截距;令 y=0,所得x 值是 x 轴上的截距 .注意理解“截距”与“距离”的区别 .思维拓展应用应用一:(1)由直线的点斜式方程,得 y=2(x-2), 所求直线方程为 2x-y-4=0.(2)由题意得 k=tan 45=1, 所求直线方程为 y-3=x-2,即 x-y-1=0.(3)由直线的斜截式方程,得所求直线方程为 y=2x+5.(4) 直线 l1的斜率为 2,在 y 轴上截距为 6, 直线 l 的斜率为 -2,在 y 轴上的截距为 6, 直线 l 的方程为 y=-2x+6.应用二:因为点 A(3,2)关于 x 轴的对称点为 A(3,-2),所以由两点
13、式可得直线 AB 的方程为 = ,即 2x+y-4=0.同理,点 B 关于 x 轴的对称点为 B(-1,-6),由两点式可得626+13+1直线 AB的方程为 = ,即 2x-y-4=0,所以入射光线所在的直线方程为 2x-y-4=0,262 313反射光线所在的直线方程为 2x+y-4=0.应用三:由题意可知直线的斜率存在且不等于零,可设直线方程为 y-2=k(x+5).令 x=0,则 y=5k+2;令 y=0 则 x=-5- .2- 5- =2(5k+2),2解得 k=- 或 k=- ,12 25 直线方程为 x+2y+1=0 或 2x+5y=0.基础智能检测1.A 由 y-5=- (x+
14、2),得 3x+4y-14=0.342.C 直线方程可化为 y-(-2)=-x-(-1),故直线过点( -1,-2),斜率为 -1.3.2013 直线 l 的方程为 = ,(1)5(1)(1)2(1)整理得: y=2x+1,令 x=1006,得 b=2013.4.解:设所求直线的斜率为 k,依题意有k=-4 =- .13 43又直线经过点 A(1,3),因此所求直线方程为 y-3=- (x-1),43即 4x+3y-13=0.全新视角拓展A 由题意可知,所求直线的斜率 k= ,又经过点(1,0), 所求直线方程为 y= (x-1),12 12即 x-2y-1=0.思维导图构建y-y0=k(x-x0)
