1、【成才之路】2015-2016 学年高中数学 2.1.1 第 1 课时 归纳推理练习 新人教 A 版选修 2-2一、选择题1.观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )A. BC D答案 A解析 观察可发现规律：每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，每行、每列有两阴影一空白，即得结果2在数列 an中， a10， an1 2 an2，则猜想 an( )A2 n2 B2 n212C2 n1 1 D2 n1 4答案 B解析 a102 12， a22 a1222 22，a32 a224262 32，a42 a32122142 42，猜想 an2 n2.故应选 B.3平面内的小圆形
2、按照下图中的规律排列，每个图中的圆的个数构成一个数列 an，则下列结论正确的是( ) a515；数列 an是一个等差数列；数列 an是一个等比数列；数列 an的递推关系是 an an1 n(nN *)A BC D答案 D解析 由于 a11， a23， a36， a410，所以有a2 a12， a3 a23， a4 a34.因此必有 a5 a45，即 a515，故正确同时正确，而 an显然不是等差数列也不是等比数列，故错误，故选 D.4用火柴棒摆“金鱼” ，如图所示，按照上面的规律，第 n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( )A6 n2 B8 n2C6 n2 D8 n2答案 C解析 从可以看出，
3、从第个图开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多 6 根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为 8 根，故可归纳出第 n 个“金鱼”图需火柴棒的根数为 6n2.5图(1)、图(2)、图(3)、图(4)分别包含 1、5、13 和 25 个互不重叠的单位正方形，按同样的方式构造图形，则第 n 个图包含_个互不重叠的单位正方形( )A n22 n1 B2 n22 n1C2 n22 D2 n2 n1答案 B解析 观察题中给出的四个图形，图(1)共有 12个正方形，图(2)共有 122 2个正方形；图(3)共有 223 2个正方形；图(4)共有 324 2个正方形；则第 n 个图中共有( n1)
4、2 n2，即 2n22 n1 个正方形6(2015隆化县存瑞中学高二期中)把正整数按图所示的规律排序，则从 2013 到2015 的箭头方向依次为( )答案 A解析 1 和 5 的位置相同，图中排序每四个一组循环，而 2013 除以 4 的余数为 1，2013 的位置和 1 的位置相同，2014 的位置和 2 的位置相同，2015 的位置和 3 的位置相同，故选 A.点评 位置相同的数字都是以 4 为公差的等差数列，201445032，因此 2014的箭头方向应与 2 的相同二、填空题7观察下列等式：121，122 23，122 23 26，122 23 24 210，由以上等式推测到一个一般
5、的结论：对于 nN *,122 23 24 2(1)n1 n2_.答案 (1) n1n2 n2解析 注意到第 n 个等式的左边有 n 项，右边的结果的绝对值恰好等于左边的各项的所有底数的和，即右边的结果的绝对值等于 123 n ，注意n n 12 n2 n2到右边的结果的符号的规律是：当 n 为奇数时，符号为正；当 n 为偶数时，符号为负，因此所填的结果是(1) n1 .n2 n28(2013陕西文，13)观察下列等式：(11)21；(21)(22)2 213；(31)(32)(33)2 3135；照此规律，第 n 个等式可为_答案 ( n1)( n2)( n n)2 n13(2n1)解析 观
6、察规律，等号左侧第 n 个等式共有 n 项相乘，从 n1 到 n n，等式右端是 2n与等差数列2 n1前 n 项的乘积，故第 n 个等式为( n1)( n2)( n n)2 n13(2n1)9观察下图中各正方形图案，每条边上有 n(n2)个圆圈，每个图案中圆圈的总数是S，按此规律推出 S 与 n 的关系式为_答案 S4( n1)( n2)解析 每条边上有 2 个圆圈时共有 S4 个；每条边上有 3 个圆圈时，共有 S8 个；每条边上有 4 个圆圈时，共有 S12 个可见每条边上增加一个点，则 S 增加 4， S 与 n的关系为 S4( n1)( n2)三、解答题10证明下列等式，并从中归纳出
7、一个一般性的结论2cos ， 4 22cos ， 8 2 22cos ，16 2 2 2证明 2cos 2 ， 4 22 22cos 2 2 ， 8 1 cos 42 1 222 2 22cos 216 1 cos 822 1 122 22 2 2 2观察上述等式可以发现，第 n 个等式右端有 n 个根号， n 个 2，左端“角”的分母为22,23,24，故第 n 个等式的左端应为 2cos ，由此可归纳出一般性的结论为：2n 12cos 2n 1 2 2 2 n个 根 号一、选择题11(2015锦州一中高二期中)根据给出的数塔猜测97 等于( )19211129311112394111112
8、3495111111234596A BC D答案 B分析 根据已知的式子归纳出规律：第 n 个等式是从 1 到 n 的自然数构成的 n 位数与 9 相乘加上 n1 的结果是( n1)个 1，即可求出结论解析 由题意得，19211,1293111,123941111,12349511111,1234596，可得 n 位数与 9 相乘加上 n1 的结果是( n1)个 1，97，故选 B.12观察( x2)2 x，( x4)4 x3，(cos x)sin x，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数 f(x)满足 f( x) f(x)，记 g(x)为 f(x)的导函数，则 g( x)( )A f(x)
9、B f(x)C g(x) D g(x)答案 D解析 本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容，由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数， g( x) g(x)，选 D，体现了对学生观察能力，概括归纳推理能力的考查13把 1、3、6、10、15、21、这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如下图)，试求第七个三角形数是( )A27 B28C29 D30答案 B解析 观察归纳可知第 n 个三角形数共有点数：1234 n 个，n n 12第七个三角形数为 28.7 7 1214(2015隆化县存瑞中学高二期中)观察下列式子：1 ，1 ，1 ，根据以上式子可以猜想：12232 12
10、2 13253 122 132 142741 ( )122 132 120142A. B40252014 40262014C. D40272014 40282014答案 C解析 本题考查了归纳的思想方法观察可以发现，第 n(n2)个不等式左端有 n1 项，分子为 1，分母依次为12、2 2、3 2、( n1) 2；右端分母为 n1，分子成等差数列，首项为 3，公差为 2，因此第 n 个不等式为 1 ，122 132 1 n 1 22n 1n 1所以当 n2013 时不等式为：1 .122 132 12014240272014二、填空题15下面是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，
11、两黑点间的“连线”表示化学键，按图中结构第 n 个图有_个原子，有_个化学键答案 4 n2,5 n1解析 第 1、2、3 个图形中分别有原子个数为 6,64,642，故第 n 个图形有原子 64( n1)4 n2 个第 1、2、3 个图形中，化学键个数依次为 6、65、652、第 n 个图形化学键个数为65( n1)5 n1.16在 ABC 中，不等式 成立，1A 1B 1C 9在四边形 ABCD 中，不等式 成立，1A 1B 1C 1D 162在五边形 ABCDE 中，不等式 成立，猜想在 n 边形 A1A2An中，有1A 1B 1C 1D 1E 253不等式_成立答案 (n3)1A1 1A
12、2 1An n2 n 2 解析 根据已知特殊的数值： 、 、 ，总结归纳出一般性的规律：9 162 253(n3)n2 n 2 在 n 边形 A1A2An中： (n3)1A1 1A2 1An n2 n 2 三、解答题17(2013西宁质检)已知等式 sin210cos 240sin10cos40 ，sin 2634cos 236sin6cos36 .请写出一个具有一般性的等式，使你写出的等式包含已知34的等式，并证明结论的正确性解析 等式为 sin2 cos 2(30 )sin cos(30 ) .证明如下：34sin2 cos 2(30 )sin cos(30 )sin 2 sin (cos
13、30cos sin30sin )1 cos 60 2a2 sin 2 sin2 sin2 sin 2 ( cos2 sin2 )12 cos 60 2 2 34 12 12 1212 32 sin2 sin2 sin 2 cos2 sin2 sin2 sin2 sin234 12 12 14 34 34 12 12 12 (12sin 2 ) .14 3418在一容器内装有浓度为 r%的溶液 a 升，注入浓度为 p%的溶液 a 升，搅匀后再倒14出溶液 a 升，这叫一次操作，设第 n 次操作后容器内溶液的浓度为 bn(每次注入的溶液浓14度都是 p%)，计算 b1、 b2、 b3，并归纳出 bn的计算公式解析 b1 ，ar100 a4p100a a4 1100(45r 15p)b2 .ab1 a4p100a a4 1100(45)2r 15p 452pb3 ，ab2 a4p100a a4 1100(45)3r 15p 452p 4253p归纳得 bn .1100(45)nr 15p 452p 4n 15np
