1、选修 1-2 3.2.13.2.2 常数与幂函数的导数导数公式表一、选择题1抛物线 y x2 在点(2,1)处的切线方程是( )14Axy10 Bx y30Cx y10 Dxy10答案 A解析 y x，y| x2 21，12 12抛物线 y x2在点(2,1)处的切线斜率为 1，14方程为 xy10.2若 ylnx，则其图象在 x2 处的切线斜率是( )A1 B0C2 D.12答案 D解析 y ，y | x 2 ，故图象在 x2 处的切线斜率为 .1x 12 123若 ysin x，则 y| x ( )3A. 12B12C. 32D32答案 A解析 ycosx ，y | x cos .3 3
2、124. 表示( )limx 0(1 x)2 1xA曲线 yx 2 的斜率B曲线 yx 2 在点(1,1) 处的斜率C曲线 y x2 的斜率D曲线 yx 2 在(1，1)处的斜率答案 B解析 由导数的意义可知， 表示曲线 yx 2在点(1,1)处的斜率limx 0(1 x)2 1x5若 ycos ，则 y( )23A 32B12C0 D.12答案 C解析 常数函数的导数为 0.6下列命题中正确的是( )若 f(x) cosx，则 f(x)sinx若 f(x) 0，则 f(x)1若 f(x)sin x，则 f(x)cosxA BC D答案 C解析 当 f(x)sinx1 时，f(x)cos x，
3、当 f(x)2 时，f(x )0.7正弦函数 ysinx 上切线斜率等于 的点为( )12A( ， )3 32B( ， )或( ， )3 32 3 32C(2k ， )(kZ)3 32D(2k ， )或(2 k ， )(kZ )3 32 3 32答案 D解析 由(sinx )cosx 得 x2k 或 x2k (k Z)12 3 3所以切点坐标为(2k ， )或(2k ， )(kZ)3 32 3 328给出下列函数(1)y(sinx)(cos x) (2)y(sinx )cosx(3)ysinx (cos x) (4)y(sinx)(cosx )其中值域不是 ， 的函数有多少个( )2 2A1
4、B2C3 D4答案 C解析 (1)y(sinx )(cosx)cosx sinx ， 2 2(2)y(sinx)cosx 2cos x 2,2(3)ysinx (cos x)sinxsinx0.(4)y(sinx)(cosx )cosx(sinx) sin2x .12 12，129下列结论正确的是( )A若 ycos x，则 ysin xB若 ysinx，则 ycosxC若 y ，则 y1x 1x2D若 y ，则 yxx2答案 C解析 (cosx) sin x，(sinx )cosx，( )(x )x12 x 1 ，A、B、D 均不正确而 ( x1 )1x 11 ，故 C 正12 12 12x
5、 (1x) 1x2确10已知 f(x)x 3，则 f(x)的斜率为 1 的切线有( )A1 条 B2 条C3 条 D不能确定答案 B解析 设切点为( x0，x )，由(x 3)3x 2得在( x0，x )处的切线斜率为 3x ，由 3x 130 30 20 20得 x0 ，故切点为 或 ，所以有 2 条33 ( 33，39) ( 33， 39)二、填空题11若函数 ycos t，则 y| t6 _.答案 0解析 y(cost) sint，y| t6 sin6 0.12曲线 yln x 与 x 轴交点处的切线方程是_答案 yx 1解析 曲线 ylnx 与 x 轴的交点为 (1,0)y| x1 1
6、，切线的斜率为 1，所求切线方程为：yx 1.13函数 f(x) ，则 f(x)_.5x3答案 x35 25解析 f(x) x ，f(x) x .5x335 35 2514曲线 y2x 43x 的斜率等于 5 的切线的方程为_ 答案 5xy 60解析 y8x 33，令 8x335，x1，y1，切点为(1，1)，切线方程为 5xy 60.三、解答题15求曲线 ysinx 在点 A( ， )的切线方程6 12解析 ysinx，y cosx，y|x cos ，k .6 6 32 32切线方程为 y (x )，12 32 6化简得 6 x 12y6 0.3 316求抛物线 y x2 过点(4， )的切
7、线方程14 74解析 点 不在抛物线 y x2上，(4，74) 14设切点为(x 0，y 0)，由题意，得切线的斜率为 ky| xx 0 x0，12切线方程为 y x0(x4)，74 12又点(x 0，y 0)在切线上，y 0 x0(x04)，74 12又点(x 0，y 0)又在抛物线 y x2上，y 0 x ，14 1420 x x 2x 0，解得 x01 或 7，1420 74 1220切点为 或 ，(1，14) (7，494)所求的切线方程为：2x4y 10 或 14x4y490.17设点 P 是 ye x上任意一点，求点 P 到直线 yx 的最短距离解析 根据题意得，平行于直线 yx
8、的直线与曲线 ye x相切的切点为 P，该切点即为与 y x 距离最近的点，如图，即求在曲线 ye x上斜率为 1 的切线，由导数的几何意义可求解令 P(x0，y 0)，y(e x)e x，由题意得 ex01，得 x00，代入 ye x，y 01，即 P(0,1)利用点到直线的距离公式得最短距离为 .2218(2010陕西文，21(1) 已知函数 f(x) ，g(x)aln x， aR.x若曲线 yf(x) 与曲线 yg(x )相交，且在交点处有相同的切线，求 a 的值和该切线方程解析 本题考查导数的几何意义，利用导数求函数的最值和证明不等式等基础知识，考查推理论证能力和分析问题及解决问题的能力f(x) ，g(x) (x0)，12x ax由已知得Error!解得 a ，xe 2，e2两条曲线交点的坐标为(e 2，e)，切线的斜率为 kf(e 2) ，12e切线的方程为 y e (x e2)12e
