1、2.2 等差数列22.1 等差数列自主学习知识梳理1等差数列的定义一般地，如果一个数列从第_项起，每一项与它的前一项的差都等于_常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的_，通常用字母_表示2等差中项如果 A ，那么 A 叫做 a 与 b 的_a b23等差数列的单调性等差数列的公差_时，数列为递增数列；_时，数列为递减数列；_时，数列为常数列4等差数列的通项公式an_，当 d0 时，a n_，a n是关于 n 的_函数；当d0 时，a n_，a n是关于 n 的_函数，点(n，a n)分布在一条以_为斜率的直线上，是这条直线上的一列_的点5等差数列的性质(1)若a n是等差数列
2、，且 kl mn(k、l、m 、nN *)，则_(2)若a n是等差数列且公差为 d，则 a2n也是_，公差为_(3)若a n是等差数列且公差为 d，则 a2n1 a 2n也是_，公差为_自主探究如果等差数列a n的首项是 a1，公差是 d，你能用两种方法求其通项吗？对点讲练知识点一 等差数列的通项公式例 1 若a n是等差数列，a 158，a 6020，求 a75.总结 方法一：先求出 a1，d，然后求 a75；方法二：应用通项公式的变形公式ana m( nm )d 求解变式训练 1 在等差数列a n中，已知 amn，a nm ，求 amn 的值知识点二 等差数列的性质例 2 已知等差数列a
3、 n中，a 1a 4a 715，a 2a4a645，求此数列的通项公式总结 要求通项公式，需要求出首项 a1和公差 d，由 a1a 4a 715，a 2a4a645 直接求解很困难，我们可以换个思路，利用等差数列的性质，注意到 a1a 7a 2a 62a 4问题就简单了变式训练 2 成等差数列的四个数之和为 26，第二个数与第三个数之积为 40，求这四个数知识点三 等差数列的判断例 3 已知数列a n满足 a14，a n4 (n2) ，令 bn .4an 1 1an 2(1)求证：数列b n是等差数列；(2)求数列a n的通项公式总结 判断一个数列a n是否是等差数列，关键是看 an 1a n
4、是否是一个与 n 无关的常数变式训练 3 若 ， ， 是等差数列1b c 1c a 1a b求证：a 2，b 2，c 2 成等差数列1证明数列a n为等差数列的方法(1)定义法：a n1 a nd (d 为常数，n1)a n为等差数列或 ana n1 d (d 为常数，n2) an为等差数列(2)等差中项法：2a n1 a na n2 an是等差数列(3)通项法：a npnq (p、qR )a n是等差数列，只要说明 an为 n 的一次函数，就可下结论说a n是等差数列2三个数成等差数列可设为：ad，a，ad 或 a，ad，a2d；四个数成等差数列可设为：a3d，ad，ad，a3d 或 a，a
5、d，a2d，a3d. 课时作业一、选择题1在等差数列a n中，a 13a 8a 15120，则 2a9a 10 的值为 ( )A24 B22 C20 D82已知等差数列a n中，a 29， ，则 an为( )a3a2 23A14n3 B16n4 C 15n39 D15n83等差数列a n的公差 d0 d0 d04a 1(n1) d a 1 常数 dn(a 1d) 一次 d 孤立5(1)a ka la ma n (2)等差数列 2d(3)等差数列 4d自主探究解 第一种方法：根据等差数列的定义，可以得到a2a 1d，a 3a 2d，a 4a 3d，.所以a2a 1d，a3a 2d(a 1d)da
6、 12d，a4a 3d(a 12d)da 13d，由此得出：a na 1(n1)d.第二种方法：由等差数列的定义知，a na n1 d(n2) ，所以 Error! (n1)个将以上(n1) 个等式两边分别相加，可得 ana 1(n1) d，即 ana 1( n1)d.对点讲练例 1 解 设a n的公差为 d.方法一 由题意知Error!解得Error!所以 a75a 174d 74 24.6415 415方法二 因为 a60a 15(60 15)d，所以 d ，a60 a1560 15 20 860 15 415所以 a75a 60(7560)d2015 24.415变式训练 1 解 方法一
7、 设公差为 d，则 d 1，am anm n n mm n从而 amn a m(mnm) dnn(1)0.方法二 设等差数列的通项公式为 ananb(a，b 为常数) ，则Error! 得 a1，bmn.所以 amn a(m n)b0.例 2 解 因为 a1a 72a 4，a 1a 4a 73a 415，所以 a45.又因为 a2a4a645，所以 a2a69，即(a 42d)(a 4 2d)9，(5 2d)(52d)9，解得 d2.若 d2，a na 4(n4)d2n3；若 d2，a na 4(n4)d132n.变式训练 2 解 设这四个数为 a3d，ad，ad，a3d，则由题设得Error
8、!Error! 解得Error! 或Error!所以这四个数为 2,5,8,11 或 11,8,5,2.例 3 (1)证明 a n4 (n2)，4an 1a n1 4 (nN *)4anb n1 b n 1an 1 2 1an 2 12 4an 1an 2 .an2an 2 1an 2 an 22an 2 12b n1 b n ，nN *.12b n是等差数列，首项为 ，公差为 .12 12(2)解 b 1 ，d .1a1 2 12 12b nb 1(n1)d (n1) .12 12 n2 ，a n2 .1an 2 n2 2n变式训练 3 证明 ， ， 是等差数列，1b c 1c a 1a b
9、 .1b c 1a b 2c a(ab)(ca)( bc)(ca)2( ab)(bc)(ca )(ac2b)2(ab)(bc)2ac2ab2bc a 2c 22 ab2ac2bc2b 2a 2c 22b 2，a 2，b 2，c 2成等差数列课时作业1A2C a 29， ，a3a2 23a 3 (9)6，da 3a 215，23a na 2(n2)d9( n2) 1515n39.3D 由Error! Error!Error!所以 ana 1(n1)d，即 an8(n1)(2) ，得 an2n10.4C 方法一 设a n首项为 a1，公差为 d，则 a3a 4a 5a 6a 7a 12da 13d
10、a 14da 15da 16d5a 120d 即5a120d450，a 14d90，a 2a 8a 1da 17d2a 18d180.方法二 a 3a 7a 4a 62a 5a 2a 8，a 3a 4a 5a 6a 7 (a2 a8)450，52a 2a 8180.5D 2a n1 2a n1，a n1 a n .12故数列a n是首项为 2，公差为 的等差数列12a 101a 1100d2100 52.126.43解析 nm3d 1，d 1 (nm) 13又 nm4d 2，d 2 (nm)14 .d1d213n m14n m 437.125解析 2d，即 d .1a6 1a4 14 16 1
11、24所以 4d ，所以 a10 .1a10 1a6 14 16 512 1258.12解析 由题意设这 4 个根为 ， d， 2d， 3d.则 2，d ，14 14 14 14 14 (14 3d) 12这 4 个根依次为 ，14345474n ，m 或 n ，m ，14 74 716 34 54 1516 1516 716|m n | .129解 设 ana 1(n1)d，则 a4a9a 6a7(a 13d)( a1 8d)(a 15d)( a16d)(a 11a 1d24d 2)( a 11da 130d 2)6d 20，所以 a4a9a6a7.21 2110解 (1)依题意有 a13，d734，a n34(n1)4n1.设 an4n1135，得 n34，135 是数列a n的第 34 项由于 4m194(m5)1，且 mN *，4m19 是数列a n的第 m5 项(2)a m、a t是数列a n中的项，a m4m1，a t4t 1.2a m3a t2(4m1)3(4 t1) 4(2m3t1)1.2m3t1N *，2a m3a t是数列a n中的第 2m3t1 项
