1、一道平面几何题的十种证法 题目：如图 1，ABC 中， D、F 在 AB 上，AD=BF，过 D 作 DEBC ，交 AC于 E，过 F 作 FGBC 交 AC 于 G求证 ：BC=DE FG 分析：证明一条线段等于另外两条线段的和，常用的方法是将线段的位置平移：（1）延长较短线段与较长线段相等；（2）在较长线段上截取与较短线段相等的线段；（3）将线段适当移动位置后进行比较；（4）采用其它比较方法，如解析法，三角法，面积法等一、延长较短线段与较长线段相等解法 1 如图 2，延长 FG 到 H，使 FH 等于 BC，连结 CH（关键证 GH=DE 即可）由作法知 FH 平行且等于 BC FBCH
2、 是平行四边形 CH=BF在ADE 和CHG 中，CH=BF=AD由 CHAB A= 2，又1=B，H= B，所以1=H ADE CHG，则 DE=GH，故 BC=FG GH=DEFG证法 2 如图 3，仍延长 FG 到 H，使 GH=DE，连结 CH（关键证 BC=FH）由 DE BCFG 1=2=3又 AD=FB，所以 AE=GCADE CHG，（SAS）A=GCH ABCH四边形 FBCH 是平行四边形，所以， BC=FH，BC=DEFG证法 3 如图 4，延长 DE 到 H，使 DH=BC，连结 CH（关键证 FG=EH）由 DBCH 及 DH=BC再AFGCHE，得 FG=EH二、恰
3、当地将线段平移证法 4 如图 5找 EG 的中点 K，连接 DK 并延长 DK 交 FG 的延长线于 H，可证得DEK HGK DE=GH再证得 ADECHG，（或证ADKCHK） A=GCHBC=GH FG=DEFG证法 5 如图 6过 D 作 DHAC 交 BC 于 H，则 DE=HC不难证得AFGDBH，可得FG=BH，BCBHHCDEFG证法 6 如图 7过 F 作 FHAC 交 BC 于 H（或在 BC 上截取 CH=FG）三、在较长的线段上截取较短的线段证法 7 如图 8在 BC 上截取 BH=DE不难得出ADEFBH则1=2=3 FHACFG=HC（同理可在 BC 上截取 BH=
4、FG再证 HC=DE）四、利用梯形或三角形的中位线定理题中要证的结论系三角形的底边 BC 等于梯形 DFGE 两底之和，可猜想通过梯形 DFGE 的中位线沟通两者之间的关系证法 8 如图 9又 AD=FB，由平行截割定理得 MN 也是ABC 的中位线，五、利用相似三角形的性质和比例的性质题中要证的边实质是相似三角形的对应边，因此，可从相似三角形的对应边成比例和比例的基本性质入手证明证法 9 如图 1又 AD=BF，所以，AD AF=ADDB=AB即 BC=DF FG六、其它线段变换证法 10 如图 10作 AHDE 于 H，作 FP BC 于 P，作 GQBC 于 Q易证ADHFBP，AHE GQCDHHE=BPQC，又 FG=PQ则 BC=PQBP QCFGDHHE，即BC=DEFG
