1、三阶幻方同学们：在 （三行三列）的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上 19 这 9 个连续3的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等，这样的图形叫做三阶幻方。如果在 （四行四列）的正方形方格中进行填数，就要不重复，不遗漏地在4方格内填上 16 个连续自然数，且使每行、每列、每条对角线的四个自然数之和均4相等，这样的图形叫四阶幻方。一般地，在几几（几行几列）的方格里，既不重复又不遗漏地填上几几个连续自然数，（注意这几几个连续自然数不一定非要从 1 开始），每个数占一个格，且每行、每列、每条对角线上的几个自然数和均相等，我们把这个相等的和叫做幻和，几叫做阶，这样排成的数的图形叫
2、做几阶幻方。（一）思路指导与解答例 1. 用 19 这九个数编排一个三阶幻方。 abcdefghi图 1 图 2分析：我们先用 a、b、c、d、e 、f 、g、h、i 分别填入九个空格内以代表应填的数。看图（2）：（1）通过审题，我们知道幻和是多少才好进行填数。同时可以看到图（2）中，e 是一个中间数，也是关键数。因为它分别要与第二行、第二列以及两条对角线上的另外两个数进行求和运算，结果都等于幻和；其次是三阶幻方中四个角上的数：a、c、g、i 它们各自都要参加一行，一列及一条对角线的求和运算。如果 e 以及四个角上的数被确定之后，其它的数字便可以根据幻和是多少填写出来了。（2）求幻和：幻和 (
3、 )1345678935（3）选择突破口，显然是 e，看图 2。因为： aeibhcegdf15所以： ()()()()e151560也就是： ( )abcdefghi360又因为： 45所以 45360e45也就是说，图 1 中的中心方格中应填 5，请注意，这个数正好是 19 这九个数中正中间的数。（4）四个角上的数，a、c、g、i 的特点。我们先从 a 开始：想：a 是奇数还是偶数。如果 a 为奇数，因为 ，所以ai0也是奇数。因为奇奇偶。又因为 ，所以 d 与 g 同是奇数或同是偶数。i dg15分两种情况：当 d、g 都是奇数时，因为 ， ，其中 e，i 都是奇数，efhi所以 f、h
4、 也只能是奇数。这样在图 1 中应填的数有 a、d 、e 、f、g、h、i 这七个奇数，而19 中九个数只有五个奇数，所以矛盾，说明 d、g 不可能为奇数。当 d、g 为偶数时，因为 ， ，因为 i 为奇dfi015， c0数，所以 f、h、c 只能是偶数，这样就有 c、d、f、g、h 五个偶数，而 19 这九个数中只有四个偶数，矛盾。说明 d、g 都是偶数也不行。所以 a 不能是奇数，那么只能是偶数，于是由 知 i 也是偶数。ai用同样的方法可以得到 c、g 也只能是偶数。也就是说图 1 中四个角上的数都应填偶数。（5）试验填数排出幻方。因为 是偶数，所以 a 的范围有 2、4、6、8 四个
5、数，根据幻和等eaci， 、 、 、于 15 进行试验。当 时， 或 6，若 ，则有a2ic84， c4g6，若 ，则有bdfh9731， ， ，这样可填出两个幻方。， ， ，当 时，请同学们自己练习填写。a468、 、用 19 这九个数编排的三阶幻方有八个： 294753618276518492357169279348294 834156816579图 3说明：在上面图形中给出的用 19 这九个数字编排的八个三阶幻方中的任何一个，都可以对它上面的数字进行适当的对调与旋转。从而得到其它七个图形。例 2. 请编出一个三阶幻方，使其幻和为 24。分析：根据题意，要使三阶幻方的幻和为 24，所以中心
6、数必为 ，那么与24388 在一条直线上的各个组的其余两个数的和为 16。因为： 1564126791， ，21465130，按上述条件填出并调整可得到一个三阶幻方，其幻和为 24。 761284509例 3. 在下面图中的 A、B、C、D 处填上适当的数，使其成为一个三阶幻方。分析：从第一行和对角线可得：AD71069这样幻和 53从第一行中可求出：A30714()从第二行中可求出：B5从第三行中可求出：C30163()例 4. 在下面各图形的里填上适当的数，使每条线上三个数的和都等于 21。219 108分析：这道题只要我们求出一个顶点上的数，其它数就容易求出来了。我们先想右下角的数。（1
7、） 2813201，想：“13”左右两个数的填法，“11”上下两个数的填法。 31234567098/1765/当 8 右边的数和 10 下面的数出现同一个数时，就是右下角要填的数，即右下角要填6。（2）填写左下角内的数： ，左下角为 7。2186()（3）填写下面内的数： ，上面数应填 5。05（4）左边线上三个数相加： ，说明符合条件。97219 107 58 6答题时间：25 分钟（二）认真思考，独立完成1. 用 19 这九个数补全图 1 中的幻方，并求幻和。526图 12. 用 311 这九个数补全图 2 中的幻方，并求幻和。 485图 23. 在图 3 的空格中填入不大于 15 且互不相同的自然数使每一横行、竖行和对角线上的三个数之和都等于 30。 9请做完之后再看答案！【试题答案】（二）认真思考，独立完成1. 用 19 这九个数补全图 1 中的幻方，并求幻和。 4389512762. 用 311 这九个数补全图 2 中的幻方，并求幻和。 4981736503. 在图 3 的空格中填入不大于 15 且互不相同的自然数使每一横行、竖行和对角线上的三个数之和都等于 30。 712406983
