1、三角形全等的条件要点全析1探索三角形全等的条件三角形有三条边，三个内角共六个基本元素，全等三角形的六个元素都分别对应相等反过来，如果两个三角形的三组边对应相等并且三组角也对应相等那么它们必定可以重合，根据定义，它们一定全等但是，判定两个三角形全等真的需要六个条件吗？探索发现：两个三角形满足一个条件（一条边或一个内角相等）或两个条件都不能确定它们是否全等，而满足三个适当的条件就可以判定两三角形全等2三角形全等的条件一：“SSS”或“边边边”（1）SSS：三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”（2）书写格式：如图 13-2-1在 ABC 和 A B C中，BC ABC A B
2、C（SSS） （3）书写格式的步骤分三步：第一步：指出在哪两个三角形中如上边的，在 ABC 和 A B C中第二步：按条件中的边角顺序列出三个条件如上边的第三步；写出结论，如上边的， ABC A B C（SSS） 【说明】第一步中，两个三角形之间的“和”不能写成“” ，也不能取消第二步中，大括号内的三个条件的书写是有顺序的，必须与判定条件一致，并且注意边、角字母的对应一般前一个三角形的边、角写在等号的左边，另一个三角形的对应边、角写在右边写结论时，注意对应顶点写在对应位置上，并在后面的括号内注明判定条件的简写，如“SSS”或“边边边” 例如：如图 13-2-2已知 AB AC， D 为 BC
3、中点试说明 B C 是否成立，为什么？解： B C 成立 D 为 BC 中点， BD CD在 ABD 和 ACD 中，AD ABD ACD（SSS） B C（全等三角形的对应角相等） 【说明】在本例中使用了证明的格式在本例中的最后两步中有两个“”符号，前一个“” ，是由前面大括号内的三个条件得出的后一个“” ，是将前一个“”当成了“” ，然后推出后一个“” ，这里省略了一步： ABD ACD因此，今后在书写中要注意3三角形全等的条件二：“边角边”或“SAS”（1）SAS：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为“SAS”（2）表达格式为在 ABC 和 DEF 中（图 13-2-3）E
4、FBCDA ABC DEF（SAS） 例如：如图 13-2-4 中， AD、 BC 相交于点 O OA OD， OB OC，那么AB DC 是否成立解： AD、 BC 相交于点 O， AOB DOC（对顶角相等） 在 AOB 和 DOC 中，（ 已 知 ） （ 已 证 ） ， （ 已 知 ） ， OCBDA AOB DOC（SAS） AB DC【说明】本题中，书写三条件时，应该按边、角、边的顺序，将两边的夹角放在中间，用括号括起来；或者写成一行，也按边、角、边的顺序，将两边的夹角放在中间，再推出两个三角形全等4三角形全等的条件三：“角边角”或“ASA”（1）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形
5、全等，简写成“角边角”或“ASA”（2）表达格式：如图 13-2-5，在 ABC 和 DEF 中，DEFBA ABC DEF（AAS） 5三角形全等的条件四：“角角边”或“AAS”（1）有两角和一边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”（2）表达格式，如图 13-2-5，在 ABC 和 DEF 中，EFBCDA ABC DEF（AAS） 例如：如图 13-2-6 中， AB CD， AE DF， AB CD求证： AE DF证明： AB CD， ABC DCB AE DF， AEB DFC在 ABE 和 DCF 中， ， （ 已 证 ） ，DFAECB ABE DCF（AAS）
6、 AE DF6直角三角形全等的条件：“斜边、直角边”或“HL”（1）HL：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL” （2）表达格式：如图 13-2-7，在 ABC 中， AD BC 于 D， AB AC 在 RtABD 和 Rt ACD 中，ADCB Rt ABDRt ACD（HL）（3）直角三角形是三角形中的一种特殊情况，因此，它也可以用一般三角形全等的条件如两条直角边对应相等，可用“SAS” ，一边一锐角对应相等可用“ASA”或“AAS” 它的特殊条件就是“斜边、直角边” 7 “角角角”与“边边角”在三角形全等的条件中，上面已说过的有：三边的 SSS，
7、两边一角的 SAS和一边两角的 ASA，AAS，那么“AAA”和“SSA”能否成为三角形全等的条件呢？（1）有三个角对应相等的两个三角形不一定全等，如图 13-2-8， DE BC，则 ADE B， AED C， A A， ADE 与 ABC 有三角对应相等，但它们没有重合，所以不全等（2）如图 13-2-9，在 ABC 与 ABD 中， AB AB， AC AD， B B，但 ABC 与 ABD 不完全重合，故不全等也就是有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等8证明的意义和步骤（1）证明的意义证明是由题设（已知）出发，经过一步步的推理，最后推出结论（求证）正确的过程，简单地说，
8、证明就是推理过程（2）证明的步骤证明一个命题为正确的时候，其步骤如下：弄清命题的条件和结论，画出图形根据条件，结合图形，写出已知根据结论，结合图形、写出求证写出证明过程证明一个命题不正确的时候，只需举出一个反例即可例如：若 a2 b2，则 a b这是一个错误命题，证明如下证明： （5） 25 225，而55 若 a2 b2，则 a b，是一个错误命题9证明题目时常用的三种方法在探索三角形全等的过程中，经常要遇到条件不足或结论不易寻找等问题，如何分析条件与结论之间的关系，常用的分析方法有以下三种：（1）综合法就是从题目的已知条件入手，根据已学过的定义、定理、性质、公理等，逐步推出要判断的结论，有
9、时也叫“由因导果法” 例如：如图 13-2-10，在 ABC 中， D 是 BC 的中点， DE AB， DF AC，分别交 AC、 AB 于点 E、 F求证： BF DE分析：从已知条件到推出结论，其探索过程如下CBDFAFCEE BFD DEC（ASA）BF DE（目标） 以上这种由因导果的方法就是综合法（2）分析法就是从要判断的结论出发，根据已学的定义、定理、公理、性质等，倒过来寻找能使结论成立的条件，这样一步步地递求，一直追溯到结论成立的条件与已知条件相吻合为止，有时也叫“执果索因法” 如上题，用分析法的探索过程如下：BF DE BFD DEC ACDFBCBE（3）分析综合法在实际的
10、思考过程中，往往需要使用这两种方法，先从结论出发，想一想需要什么条件，层层逆推，当思维遇到障碍时，再从条件出发，顺推几步，看可以得出什么结论，从而两边凑，直至沟通“已知”和“结论”的两个方面即：已 知 中 间 条 件 结 论 综 合 法 分 析 法 例如：如图 13-2-11，在 ABC 中， AB AC， D 是 BC 的中点， E 是 AD 上任一点，连接 EB、 EC，求证： EB EC分析：本题比较复杂，可用上述的三个方法均可，现在以分析一综合法为例，说明分析过程先用综合：由因导果CDBDA ABD ACD ， CDAB再用分析：执果索因EB EC ABE ACE AEBC ABD A
11、CD证明： D 是 BC 的中心， BD CD在 ABD 和 ACD 中 C ABD ACD（SSS） BAD CAD在 ABE 和 ACE 中 AEB ABE ACE（SAS） BE CE（全等三角形的对应边相等） 【说明】本题证明过程中，后一次三角形全等，也可选 BDE CDE，方法同上本题两次用到全等三角形，在分析中应找准三角形，理清思路10判定两个三角形全等方法的选择选择哪种方法判定两个三角形全等，要根据具体已知条件而定，见下表：已知条件 寻找条件 判定方法一边 SAS边一角对应相等一角 SAS 或 AAS两角对应相等 一边 ASA 或 AAS一角 SAS两边对应相等一边 SSS11如
12、何选择三角形判定全等在学过本节内容之后，经常会遇到判定两条线段相等，两个角相等的问题，而要判断它们相等，就要考虑选择三角形全等如何选择三角形呢？可考虑以下四个方面：（1）可以从判断的结论（线段或角）出发，寻找这些结论在哪两个可能的全等三角形中，就试着判定两个三角形全等（2）可以从题目的已知条件出发，看已知条件能确定哪两个三角形全等就判定它们全等（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后判定它们全等（4）如果以上方法都行不通，可考虑添加辅助线的办法，构造三角形全等例如：如图 13-2-12，已知 AB AC， BD CD，试判断 B 与 C 的关系，并说明理由分析：要判断
13、B 与 C 的关系，先看 B 与 C 是否在两个全等三角形中，而此题没有两个全等三角形，只有一个四边形，目前由已知条件四边形 ABDC，要创造三角形，可以连接 AD 或 BC，那么连接谁更合适呢？若连接 AD，则 B、 C 分在左、右两个三角形中，若全等，则 B C，事实上， B C，若连接 BC，则 B、 C 分在上、下两个三角形中，根据目前所学知识还不能确定 B C 因此，连接 AD 较为合适解： B C连接 AD，在 ABD 和 ACD 中，AB AC， BD CD， AD AD（公共边） ， ABD ACD（SSS） B C12探索三角形全等时常作的辅助线在利用三角形全等进行解题时，有
14、时题目所给条件不足或不明显，还需从题目本身或图形中挖掘它的隐含条件，还有的需加上一些辅助线，为解题铺路搭桥，起到很好的辅助作用，这些辅助线常见的有以下几种：（1）连接图形中的已知点，构造全等形例如：如图 13-2-13，已知 AC、 BD 相交于 O 点，且 AB CD， AC BD，判断 A 与 D 的关系，并说明理由解： A D连接 BC，在 ABC 与 DCB 中，AB DC， AC DB， BC CB，则 ABC DCB（SSS） 因此 A D（2）取线段中点构造全等三角形例如：如图 13-2-14，已知在梯形 ABCD 中， AB DC， A D，试判断 ABC 与 DCB 的关系，
15、并说明理由解： ABC DCB取 AD 的中点 N，取月 C 的中点 M连接 MN、 BN、 CN，则 AN DN， BM CM，在 ABN 和 DCN 中，DAB ABN DCN，则 ABN DCN， NB NC（全等三角形的对应角、对应边相等） 在 BMN 和 CMN 中，MNC BMN CMN，则 MBN MCN（全等三角形的对应角相等） 那么 ABN MBN DCN MCN即 ABC DCB【说明】在本题中，辅助线起到了很好的桥梁作用，为解题创造了条件（3）有角平分线时，常在角两边截相等的线段，创造全等三角形如图 13-2-15， OC 平分 AOB，在 OC 上任取一点 P，在 OA
16、、 OB 上截取OM ON，连接 PM、 PN，那么， PM PN事实上，在 MOP 和 NOP 中，OM ON， MOP NOP， OP OP，则 MOP NOP（SSS） 因此有 PM PN（4）三角形中有中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形如图 13-2-16，在 ABC 中， AD 为 BC 边上的中线，若延长 AD 至 E，使AD DE，连接 BE，在 ACD 和 EBD 中， BD CD，12， AD ED，则ACD EBD，因此 BE AC13利用全等三角形解决实际问题的步骤全等三角形在日常生活、科技生产中有很多的用途，在用它解决实际问题时可分以下几个步骤：（1）先明确实际问题
17、与哪些知识有关，确定用哪些知识来解决（2）根据实际问题画出图形（3）结合图形写出已知和结论（4）分析已知，找出解决问题的途径（5）写出解决问题的过程（或探索过程） 例如：如图 13-2-17，要测河两岸相对的两点 A、 B 的距离，可以在 AB 的垂线 BF 上取两点 C、 D 使 CD BC，再定出 BF 的垂线 DE，使 E、 C、 A 三点在一条直线上，这时测得 DE 的长就是 AB 的长你能用数学原理说明吗？分析：这是一个实际应用题，应先把其转化为数学问题，然后再解答解：已知： AB BF， DE BF， A、 C、 E 三点在一条直线上， BC DC判断 AB 与 DE 是否相等？在 ABC 和 DEC 中，由于 AB BF， DE BF，则 ABC EDC90，又A、 C、 E 三点在一条直线上，则 ACB ECD（对顶角） 又 BC CD，则 ABC EDC（ASA） ，因此 AB DE
