1、 BOCA P崇文区 20092010 学年度第二学期统一练习（一） 高三数学（理科） 2010.4本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 5 页，共150 分。考试时间 120 分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第卷（选择题 共 40 分）注意事项：1考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。2答题前考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡上填写姓名、准考证号，然后再用 2B 铅笔将与准考证号对应的信息点涂黑。3答题卡上第卷必须用 2B 铅笔作答，将选中项涂满涂黑，黑度以遮住框内字母为准，修改时用橡皮擦除干净。第卷必须用黑色字迹的签字笔按照
2、题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。一、本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项（1）已知全集 ，集合 ， ，则集合UR|12Ax2|680BxAB（A） （B）|14x|14（C） （D） |23|23x（2）一个单位共有职工 200 人，其中不超过 45 岁的有 120 人，超过 45 岁的有 80 人. 为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽出一个容量为 25 的样本，应抽取不超过 45 岁的职工人数为 (A) 5 (B) 10 （C）15 （D）50（3）已知 是
3、 的切线，切点为 ， ， 是 的直径，PAOA2PAO交 于点 ， ，则 的半径为CB30O（A） （B） 12（C） （D）（4）已知等比数列 为递增数列，且 ， ，则na37a28a17（A） （B） （C） （D）242（5）已知 是两条不同直线， 是三个不同平面，下列命题中正确的为,mn,（A）若 则 （B）若 则,A,mnA（C）若 ，则 （D）若 则,nA开始结束1,iMN5i1iMN输出 ,MN是否（6）设 （其中 ）， 则 大小关系为3,(3),2xy xyxyMNP0xy,MNP（A） （B） （C） （D）MP（7）2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排若男生甲不站
4、两端，3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数为（A）36 （B）42 （C） 48 （D） 60 （8）设定义在 上的函数 若关于 的方程 有 3 个不同R1,(),()xfx x2()0fxbfc的实数解 ， ， ，则 等于1x23123（A） 3 （B） （C） （D）1bc崇文区 20092010 学年度第二学期统一练习（一）高三数学（理科） 2010.4第卷（共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分（9）如果复数 （其中 是虚数单位）是实数，则实数 _ 2i1imi m（10）若 的展开式中的常数项为 ，则实数 _ 3()ax20a（11
5、）将参数方程 （ 为参数）化成普通方程为 12cos,iny（12）某程序框图如图所示，该程序运行后输出 的值分别,N为 （13）若数列 的前 项和为 ，则nanS 1,(1),2nnSa若数列 的前 项积为 ，类比上述结果，则nbnT=_；此时，若 ，则 =_2()nTNnb（14）定义在 上的函数满足R，1(0),()1),()()52xffxff10 15 20 25 30 35 产品数量00.020.030.040.050.06频率/组距B1A1C1B CAMN且当 时， ，则 _ 120x12()fxf1()0f三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤
6、或证明过程（15）（本小题共 12 分）在 中，角 所对的边分别为 ，满足 ，且 的面积为 ABC, cba,5sin2ABC2（）求 的值；bc（）若 ，求 的值6a（16）（本小题共 13 分）为了调查某厂 2000 名工人生产某种产品的能力，随机抽查了 位工人某天生产该产品的数量，产品m数量的分组区间为 ， ， , ， ,频率分布直方图如图所示已知生10,5,2052305产的产品数量在 之间的工人有 6 位2（）求 ；m（）工厂规定从各组中任选 1 人进行再培训，则选取 5 人的概率是多少？（17）（本小题共 14 分）三棱柱 中，侧棱与底面垂直， ， ， 分别是1CBA90AC12B
7、,MN， 的中点AB1（）求证： 平面 ； MN1（）求证： 平面 ；（）求二面角 的余弦值1ACB（18）(本小题共 14 分）已知 （ ）32()69fxaxaR（）求函数 的单调递减区间；（）当 时，若对 有 恒成立，求实数 的取值范围0a0,()4fa（19）（本小题共 14 分）已知抛物线 ，点 关于 轴的对称点为 ，直线 过点 交抛物线于 两点24yx(1,0)MyNlM,AB（）证明：直线 的斜率互为相反数；,NAB（）求 面积的最小值；（）当点 的坐标为 ，且 根据（）（）推测并回答下列问题（不必说明理(,0)m1)由）： 直线 的斜率是否互为相反数？,NAB 面积的最小值是多
8、少？（20）(本小题共 13 分)已知数列 中， ， 且 ，其前 项和为 ，且当 时，na121(0a1)annS21nnS（）求证：数列 是等比数列；nS（）求数列 的通项公式；a（）若 ，令 ，记数列 的前 项和为 设 是整数，问是否存在正419(3)nnabnbnT整数 ，使等式 成立？若存在，求出 和相应的 值；若不存在，请说明理由1758nT（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）崇文区 20092010 学年度第二学期统一练习（一）高三数学（理科）参考答案及评分标准 2010.4一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）题号 （1） （2） （3） （4
9、） （5） （6） （7） （8）答案 D C C A B D C A二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）（9） （10） （11） （12）13,2111214xy（13） ； （14）1()2nTnb2()1nnb132三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分）（15）（共 12 分）解：（） ,52sinA0 . co . 4sin2icos5A ，i1bSABC . -6 分5c（） ,2sin .53si1co2A ， ，5b6c baos22 )cos1(2)(Abc20 . -12 分（16）（共 13 分）解：（）根据直方图可知产品件数在 内的人数
10、为20,5，则 （位） - 6 分50.6mm（）根据直方图可知产品件数在 ， ， , ， ,1,205305组内的人数分别为 2，4，6, 5，3B1A1C1B CAMNzxy设选取这 5 人不在同组为 B 事件，则 5204631()PC答：选取这 5 人不在同组的概率为 - 13 分1532（17）（共 14 分）（）证明： 连结 ， 1BCA在 中，A是 , 的中点，,MN1|又 平面 ，1BC平面 -4 分|（）如图，以 为原点建立空间直角坐标系 1 xyzB1则 ， ， ， ，)0,(B(,2)1(,0)A(,02)M(1,)N， ， 1C1BN设平面 的法向量为 A(,)xyzn
11、10yzn令 ，则 ， z,1x(0,1)nNn=平面 -9 分MNCBA1（）设平面 的法向量为 0(,)xyzm1(,02)01zyBm令 ，则0z02,1x(,)3cos|6nm所求二面角 的余弦值为 1ACBM-14 分（18）（共 14 分）解：（） 22()393()0fxaxa（1）当 ，即 时， ，不成立02fx（2）当 ，即 时，单调减区间为 (3,)（3）当 ，即 时，单调减区间为 -5 分a0(,3)a（） ，22()193()fxxax在 上递增，在 上递减，在 上递增0,(,)（1）当 时，函数 在 上递增，3a)f0所以函数 在 上的最大值是 ，()fx,)f若对
12、有 恒成立，需要有 解得 0,4f(34,faa（2）当 时，有 ，此时函数 在 上递增，在 上递减，所以函数13a3()fx0,3在 上的最大值是 ，()fx,()fa若对 有 恒成立，需要有 解得 0()4fx4,13fa1（3）当 时，有 ，此时函数 在 上递减，在 上递增，1a3()fx,3a所以函数 在 上的最大值是 或者是 ()fx,a()f由 ，2)(4 时， ，304a3f若对 有 恒成立，需要有 ,x()4fx(3)4,0fa解得 231,9a 时， ，4()fa若对 有 恒成立，需要有 解得 0,3x()4fx()4,31fa3(,1)综上所述， -14 分 21,9a（1
13、9）（共 14 分）解：（）设直线 的方程为 l1(0)ykx由 可得 21,4ykx2224xk设 ，则 12,AxyB21124,kxx24,0N12124AByykx122121224(44)04yyy 又当 垂直于 轴时，点 关于 轴，显然 lx,ABx0,NABNABkk综上， - 5 分0NABNkk（） 2121121248Syyyx= 24k当 垂直于 轴时， lx4NABS 面积的最小值等于 -10 分A（）推测： ；Bk 面积的最小值为 - 14 分4m（20）（共 13 分） 解：（）当 时， ，2n11+nnnnSaSS化简得 ，1(2)又由 ，可推知对一切正整数 均有
14、 ，120, 0n数列 是等比数列 - 4 分nS（）由（）知等比数列 的首项为 1，公比为 ， nSa 1na当 时， ，221()nna又 ，1S -8 分2,(),(),.nna（）当 时， ，此时4, 234na22119934(3)()()nnn nab，2214()nnnn又 ，112938ab 213,()8,24nn，138Tb当 时，n1222121()()44n nn 1784n若 ，则等式 为 ， 不是整数，不符合题意13758nTa52若 ，则等式 为 ，2n1n11748nn154n是整数， 是 5 的因数4当且仅当 时， 是整数， 1n综上所述，当且仅当 时，存在正整数 ，使等式 成立42n13758nTa
