1、对逆向思维的认识和实践第 l8 卷第 1 期Vo1.18NO.1德阳教育学院JOURNALOFDEYANGEDUCATIONCOLLEGE2004 年 3 月Mar2004?中学理科研究对逆向思维的认识和实践杨远廷王强善(德阳市第二中学,四川德阳 618000)教育最根本的两个问题是教什么和怎样教.教育要教“所有学会的东西都忘却以后仍然留下来的那些东西“. 数学是思维的科学,数学教育留给受教育者终生不能忘却,终生受益的是数学思维,所以数学思维一直以来都是数学教育工作者津津乐道的话题,教会学生数学地思维是数学教育的主题之一.本文拟就数学逆向思维淡谈笔者的认识和实践.(一)对逆向思维的认识思维是有
2、方向的,通常把常规方向规定为正向,与正向相反的方向就是逆向,即反常规方向.直线形思维按方向性分为正向思维和逆向思维,正向思维是按照常规习惯分析和解决问题的思维模式,又称为定势思维;逆向思维是从已有习惯思路的反方向去思考和分析问题,逆向思维最显着的特征是反思维常规方向.逆向思维是社会生活中人们分析问题和解决问题的思维模式之一(就像河里行船有顺流航行和逆流航行),特别是疑难问题的解决人们常常运用逆向思维,如历史故事“围魏救赵“,成语故事 “以子之矛 ,攻子之盾“,孙子兵法“声东击西“,“以退求进“它们充分说明了逆向思维广泛存在于社会生活中.逆向思维在科学发现中有着重要贡献.如天文学中冥王星的发现:
3、根据当时已发现的行星的信息计算出木星的运行轨道与实际观测到的运行轨道有“偏差“, 进而怀疑存在另外一颗还未发现的行星,是它的引力致使木星的运行轨道出现“偏差 “,再根据“偏差“计算出它的体积,质量 ,与木星的距离,运行的轨道,人们根据以上数据果然发现了冥王星.再如数学上对欧氏几何第五公设的可能性(或存在性)探讨碰壁时转而考虑不可能性(或非存在性),直接导致非欧几何的产生.总之逆向思维在科学发现和发展中功劳大大,贡献多多.从教育的价值上讲:逆向思维能有效地提高人的智力活动水平,一个善于正向,逆向共轭使用,交叉思考问题的人,常常更能敏锐地感觉问题,敏捷地分析问题,深刻地理解问题,灵活地解决问题,逆
4、向思维可培养学生的辩证唯物主义观,辩证唯物主义认为:认识事物要一分为二,一分为二地认识事物就需要正向思维和逆向思维共轭使用,看事物既要从正面看到利,也要从负面看到弊,从而趋利避害.逆向思维还有利于心理素质的提高,一个经常从正面和负面认识事物的人,看问题少偏激多理性,做出成绩不骄傲,遇到困难不气馁,意志坚定,百折不挠.从数学学科本身来讲:逆向思维极大地丰富了数学的学科内容.从数学知识上看:数学中有命题,定理,由逆向62思维就有逆命题,逆定理;Jg 数学知识的应用看:定理,公式有正用也就有逆用;从数学方法上看:有演绎法由逆向思维就有归纳法;从数学证明看:有直接证明就有间接证明,有综合法由逆向思维就
5、有分析法;从数学解题方法看:有整体法就有分类讨论法;代数中整式的加减有同类项的合并 ,由逆向思维就有因式分解中的分拆项;平面图形面积的计算有分割图形法由逆向思维就有补形法;从对数学知识的理解掌握看:有正面例子帮助理解,由逆向思维就有反例帮助学生驱散认识迷雾.可见:逆向思维对于数学学科无处不有,无孔不入.(二)逆向思维的培养上述逆向思维的价值足见培养逆向思维的重要性.对逆向思维的训练和培养,首先需要教师有贯彻始终的正确的教学指导思想,树立学生强烈的双向思考意识(即正,逆向共轭使用).其次双向思考要彻底地落实到学生的思维活动中,还得从教师做起:转变教学信息的单向传输为双向传输,转变单纯地由教评价学
6、为教学互评,转变师教生学为互教互学,转变师问生答为互问互答,真正实现教学互动,使教学行为成为双向思考的范例.第三是教学中教师要善于收集并充分展示学科内,学科外,生活中,历史上大量的逆向思维的实例,营造自觉双向思考的氛围,久而久之形成正逆并举,二者螺旋上升的良性循环.当然训练和培养逆向思维还是需要每一节课一招一式的日积月累,教师进行逆向思维训练设计时,一定要牢牢抓住针对什么而逆这一关节点,同时引导学生抓住针对什么而逆进行问题的解决,具体地主要有以下几种.1,针对命题而逆让学生养成研究了一个命题,自觉提出逆命题,主动探究逆命题真假的习惯.这有利于研究意识的培养,有利于促进学生全面,深刻,准确地把握
7、命题的条件和结论之间的关系,使逆命题成为学生思维的刺激点,兴奋点,有利于改变被动学习,形成生动活泼的主动学习局面.与自觉提出逆命题类似,在学生解完一道题目后可引导学生自觉针对此题的类型提出逆问题,如求函数 y=的值域的逆问题是:已知函数 y=(m 为常数)X-下 IX-I的值域是一 1,1,求实数 m 的值.2,针对命题的结论而逆针对命题结论而逆就是从命题结论的反面出发分析问题,即产生反证法.反证法就是由逆向思维产生的一种有效的证明方法.3,针对命题的条件而逆中学理科研究杨远廷,王强善:对逆向思维的认识和实践通常解题者是不能更改题目条件的,但当题目条件本身复杂或直接根据题目条件求解困难时,转而
8、考虑在与原题条件相反的条件下求解,再将所得结果取其反面,便得到了原题条件下的结果,这就是通常所说的补集法解题思想.例如:有关于 X 的三个方程:xz+4ax 一 4a+3:0,X2+(a 一1)X+a=0,xz+2ax 一 2a=0 其中至少有一个存在实根,求实数 a 的取值范围 .题目的条件包含 7 种情况,条件的反面是无一方程有实根,情况单一,改在反面条件下求出 a 的取值范围再排除掉,便事半功倍.4,针对问题程序而逆正如化学反应中有“氧化反应 “,也有“还原反应“一样 .我们把原问题的变化程序看作氧化的过程,从原问题的结果沿原问题相反的程序变换就是原问题的还原过程,还原的结果就是原变换的
9、初始状态.例如:函数 Y=f(X)图象上所有点横坐标压缩为原来的一半,纵坐标不变然后整个图象左移-7“-个单位,再作关于 Y 轴的对称图象即得 Y=sin2x的图象,求 Y:f(X)的解析式 .按照逆程序思考,作 Y=sin2x 的图象关于 Y 轴的对称图象,再右移个单位后 ,将图象上所有点横坐标扩大为原来的 2 倍,纵坐标不变,就是Y=f(X)的图象,由上可得 f(x)=COSX,这就是利用逆程序解题.5,针对常规而逆通常:分母有理化,逆常规:分子有理化;通常:整式加减项数由多化少,逆常规:由少化多(如计算+时用到裂项= 丽 1 一丽 1,从而得到结果为 1 一),逆常规还包括:化静为动,化
10、常数为变数,视未知为已知等.6,针对运动变换而逆例如:长方体 ABCDABCD 的长,宽,高分别为 5,4,3,一只虫子沿长方体表面从 A 爬行到 C,求最短路线长.我们把原长方体的表面看作由平面图形折叠而成,那么此问题的求解只须将长方体的表面展开,比较三个矩形的对角线长.运算也是一种变换,例如化简方程/(X+c)+y2+/(xc)+v 二:2a, 针对等式左边为加法运算 ,考虑加法的逆运算减法,并由(A+B)(AB)=A2 一 B,得:一.一一/(x+c).卜 Y 一/(xc)+y2=,两式相加得二 a/(x+c)+y2=a+cx,以下容易多了.a(三)培养逆向思维应注重的问题1,正确处理数
11、学知识和数学思维之间的关系.我们强调数学思维的培养并不是说数学知识就不重要了.实际上数学知识是数学思维的载体,数学课只有通过数学知识的教学来培养数学思维,我们强调数学思维的培养是希望教学中数学思维的培养能有的放矢.2,正确认识和处理正向思维和逆向思维之间的关系.一方面我们要充分肯定正向思维的积极意义,没有正向也就不存在逆向,逆向是以正向为基础的,正向思维是深刻理解概念,完整把握知识系统,正确解决问题的重要思维方式,正向思维能力强的人知识的接受能力强,巩固程度高,知识结构稳定;另一方面我们也要看到正向思维的消极性 :思维方向的固定导致思维的呆板,单一和惰性,充分认识到逆向思维的积极作用:不局限于
12、既定的理解,竭力提出新问题,探索新知识或发现新解答.当前要特别注意的是:谈正向只谈正向,谈逆向只谈逆向,忽视了正向,逆向的交替使用,交叉培养,螺旋上升的原则.3,逆向思考不但是学生在校学习的解题策略,更应该成为学生毕业参加工作后分析问题,解决问题的思维策略.教师更要善于抓住时机,把逆向思维作为一种教的策略,营造逆向思考的教学氛围,象教育信息的双向流通,教学互动等都是需要教师下一番功夫的.教院科研动态我院每月举办学术讲座渐成风气自去年 l0 月首场院级学术讲座举办以来,每月至少一次的学术讲座 (报告)在我院已渐成风气.本期第一次学术报告由外语系讲师,学生处长张伟主讲的电影译名及其赏析于 3 月 23 日在阶二教室成功举行,约 200 师生参加了该次学术报告会.张老师从电影译名的风格,类型以及与中文译名的对比,比较等方面作了较系统的分析.在讲授过程中,充分利用多媒体辅助教学功能,现场展播了多部外国电影的精彩片断,使整个报告有声有色,受到了广大师生的一致好评.学术讲座的经常性举办,极大地推动了我院科研工作,为浓厚我院学术氛围起到了良好的促进作用.【科研处供稿 163
