1、1第 15 练 直线与圆明考情直线与圆的考查主要体现在圆锥曲线的考查上，偶有单独命题，单独命题时难度中档偏难.知考向1.直线方程.2.圆的方程.3.直线与圆的位置关系.考点一 直线方程方法技巧 ( 1)解 决 直 线 方 程 问 题 ， 要 充 分 利 用 数 形 结 合 思 想 ， 养 成 边 读 题 边 画 图 分 析 的 习惯 .(2)求解直线方程要考虑斜率不存在的情况.1.设 aR，则“ a1”是“直线 ax y10 与直线 x ay50 平行”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A解析 直线 ax y10 与直线 x ay50 平
2、行的充要条件为Error!即 a1，故a1 是两直线平行的充分不必要条件.故选 A.2.已知两点 A(3，2)和 B(1，4)到直线 mx y30 的距离相等，则 m 的值为( )A.0 或 B. 或612 122C. 或 D.0 或12 12 12答案 B解析 依题意，得 .|3m 5|m2 1 | m 7|m2 1所以|3 m5| m7|，所以(3 m5) 2( m7) 2，所以 8m244 m240，所以 2m211 m60，所以 m 或 m6.123.已知点 A(2，3)， B(3，2)，若直线 kx y1 k0 与线段 AB 相交，则 k 的取值范围是( )A. B. 2，) C.(
3、，12，) D.1，234， 2 ( ， 34答案 B解析 直线 kx y1 k0 恒过点 P(1，1)，kPA 2， kPB .3 12 1 2 1 3 1 34若直线 kx y1 k0 与线段 AB 相交，结合图象(图略)得 k 或 k2，故选 B.344.若动点 A， B 分别在直线 l1： x y70 和 l2： x y50 上移动，则 AB 的中点 M 到原点的距离的最小值为( )A.3 B.2 C.3 D.42 2 3 2答案 A解析 依题意知 AB 的中点 M 的集合是与直线 l1： x y70 和 l2： x y50 的距离都相等的直线，则 M 到原点的距离的最小值为原点到该直
4、线的距离，设点 M 所在直线的方程为 l： x y m0，根据平行线间的距离公式得 |m7| m5| m6，即|m 7|2 |m 5|2l： x y60，根据点到直线的距离公式，得 M 到原点的距离的最小值为 3 .| 6|2 25.已知点 A(1，0)， B(1，0)， C(0，1)，直线 y ax b(a0)将 ABC 分割为面积相等的两部分，则 b 的取值范围是( )A.(0，1) B. C. D.(122， 12) (1 22， 13 13， 12)3答案 B解析 由Error!消去 x，得 y ，当 a0 时，直线 y ax b 与 x 轴交于点 ，结a ba 1 ( ba， 0)合
5、图形知 ，化简得( a b)2 a(a1)，则 a .因为 a0，所以12 a ba 1 (1 ba) 12 b21 2b0，解得 b .考虑极限位置，即 a0，此时易得 b1 ，故选 B.b21 2b 12 22考点二 圆的方程方法技巧 求圆的方程的两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程.(2)代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.6.已知点(1，1)在圆( x a)2( y a)24 内，则实数 a 的取值范围是( )A.(1，1) B.(0，1) C.(，1)(1，) D.(1，)答案 A解析 点(1，1)在圆的内部
6、，(1 a)2(1 a)24，1 a1.7.(2017贵州黔东南州模拟)已知半径为 2 的圆 C 的圆心在第四象限，且与直线 x0 和x y2 均相切，则该圆的标准方程为( )2A.(x1) 2( y2) 24 B.(x2) 2( y2) 22C.(x2) 2( y2) 24 D.(x2 )2( y2 )242 2答案 C解析 设圆 C 的方程为( x a)2( y b)24，且 a0， b0.因为该圆与直线 x0 和x y2 0 均相切，2所以Error!解得Error! 或Error!即该圆的标准方程为( x2) 2( y2) 24.故选 C.8.圆心在曲线 y (x0)上，且与直线 2x
7、 y10 相切的面积最小的圆的方程为( )2xA.(x1) 2( y2) 25 B.(x2) 2( y1) 25C.(x1) 2( y2) 225 D.(x2) 2( y1) 225答案 A4解析 y ，令 2，得 x1，2x2 2x2平行于直线 2x y10 的曲线 y (x0)的切线的切点的横坐标为 1，代入曲线方程，得2x切点坐标为(1，2)，以该点为圆心且与直线 2x y10 相切的圆的面积最小，此时圆的半径为 .55 5故所求圆的方程为( x1) 2( y2) 25.9.已知圆 C 关于 y 轴对称，经过点 A(1，0)，且被 x 轴分成的两段弧长之比为 12，则圆 C的方程为_.答
8、案 x2 2(y33) 43解析 因为圆 C 关于 y 轴对称，所以圆心 C 在 y 轴上，可设 C(0， b)，设圆 C 的半径为 r，则圆 C 的方程为 x2( y b)2 r2.依题意，得Error!解得Error!所以圆 C 的方程为 x2 2 .(y33) 4310.在平面直角坐标系 xOy 中，以点(1，0)为圆心且与直线 mx y2 m10( mR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_.答案 ( x1) 2 y22解析 直线 mx y2 m10 经过定点(2，1).当圆与直线相切于点(2，1)时，圆的半径最大，此时半径 r 满足 r2(12) 2(01)22.考点三 直线与
9、圆的位置关系方法技巧 研究直线与圆的位置关系的方法(1)研究直线与圆的位置关系的最基本的解题方法为代数法，将几何问题代数化，利用函数与方程思想解题.(2)与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径 r，圆心到直线的距离 d 及半弦长 ，构l2成直角三角形的三边，利用其关系来处理.11.过 P(2，0)的直线 l 被圆( x2) 2( y3) 29 截得的线段长为 2 时，直线 l 的斜率为( )A. B. C.1 D.24 22 33答案 A解析 由 题 意 得 直 线 l 的 斜 率 存 在 ， 设 为 k， 则 直 线 l 的 方 程 为 y k(x 2)， 即kx y 2k 0.5由点到
10、直线的距离公式得，圆心到直线 l 的距离 d ，由圆的性质可|2k 3 2k|k2 1 3k2 1得 d21 2 r2，即 2 129，(3k2 1)解得 k2 ，即 k .18 2412.由直线 y x1 上的一点向圆( x3) 2 y21 引切线，则切线长的最小值为( )A.1 B.2 C. D.32 7答案 C解析 如图所示，设直线上一点 P，切点为 Q，圆心为 M，则| PQ|即为切线长， MQ 为圆 M 的半径，长度为 1，| PQ| ，|PM|2 |MQ|2 |PM|2 1要使| PQ|最小，即求| PM|的最小值，此题转化为求直线 y x1 上的点到圆心 M 的最小距离，设圆心到
11、直线 y x1 的距离为 d，则 d 2 .|3 0 1|12 12 2所以| PM|的最小值为 2 .2所以| PQ| .|PM|2 1 222 1 713.已知圆 C1：( x2) 2( y3) 21，圆 C2：( x3) 2( y4) 29， M， N 分别是圆 C1， C2上的动点， P 为 x 轴上的动点，则| PM| PN|的最小值为( )A.5 4 B. 12 17C.62 D.2 17答案 A解析 两圆的圆心均在第一象限，先求| PC1| PC2|的最小值，作点 C1关于 x 轴的对称点C1 (2， 3)， 则 (|PC1| |PC2|)min |C1 C2| 5 ， 所 以
12、(|PM| |PN|)min 5 (1 3) 52 2 4.214.(2017天津)设抛物线 y24 x 的焦点为 F，准线为 l.已知点 C 在 l 上，以 C 为圆心的圆与 y 轴的正半轴相切于点 A.若 FAC120，则圆的方程为_.答案 ( x1) 2( y )213解析 由 y24 x 可得点 F 的坐标为(1，0)，准线 l 的方程为 x1.由圆心 C 在 l 上，且圆 C 与 y 轴正半轴相切(如图)，可得点 C 的横坐标为1，圆的半径为1， CAO90.又因为 FAC120，6所以 OAF30，所以| OA| ，3所以点 C 的纵坐标为 .3所以圆的方程为( x1) 2( y
13、)21.315.(2016全国)已知直线 l： mx y3 m 0 与圆 x2 y212 交于 A， B 两点，过3A， B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C， D 两点，若| AB|2 ，则| CD|_.3答案 4解析 设 AB 的中点为 M，由题意知，圆的半径 R2 ，| AB|2 ，所以| OM|3，解得3 3m ，由Error!解得 A( 3， )， B(0，2 )，则 AC 的直线方程为 y (x3)，33 3 3 3 3BD 的直线方程为 y2 x，令 y0，解得 C(2，0)， D(2，0)，所以| CD|4.3 31.直线 xcos y20 的倾斜角 的取值范围是_.3答案
14、 0， 6 56， )解析 设直线的斜率为 k，则 ktan cos .33因为1cos 1，所以 cos .33 33 33所以 tan .33 33当 0tan 时，0 ；33 6当 tan 0 时， .故此直线的倾斜角 的取值范围是 33 56 0， 6.56， )2.已知直线过点 P(1，5)，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为_.答案 5 x y0 或 x y60解析 设直线在两坐标轴上的截距为 a.7当 a0 时，直线过原点.又直线过点 P(1，5)，所以此时直线的方程为 5x y0.当 a0 时，设直线的方程为 1，则 1，xa ya 1a 5a所以 a6，所以此时直线的
15、方程为 x y60.综上，所求直线的方程为 5x y0 或 x y60.3.已知过点(2，4)的直线 l 被圆 C： x2 y22 x4 y50 截得的弦长为 6，则直线 l 的方程为_.答案 x20 或 3x4 y100解析 当 l 斜率不存在时，符合题意；当 l 斜率存在时，设 l： y k(x2)4，C：( x1) 2( y2) 210.由题意可得 2 210，(|2 k|k2 1) (62)解得 k ，此时 l：3 x4 y100.34综上，直线 l 的方程是 x20 或 3x4 y100.4.直线 ax by1 与圆 x2 y21 相交于 A， B 两点(其中 a， b 是实数)，且
16、 AOB 是直角2三角形( O 是坐标原点)，则点 P(a， b)与点(0，1)之间距离的最大值为_.答案 12解析 AOB 是直角三角形等价于圆心(0，0)到直线 ax by1 的距离等于 ，由点到直222线的距离公式，得 ，即 2a2 b22，即 a21 且 b ， .点12a2 b2 22 b22 2 2P(a， b)与点(0，1)之间的距离为 d ，因此当 b 时，a2 b 1212b2 2b 2 2dmax 1.3 22 2解题秘籍 (1)直线倾斜角的范围是0，)，要根据图形结合直线和倾斜角的关系确定倾斜角或斜率范围.(2)求直线的方程时，不要忽视直线平行于坐标轴和直线过原点的情形.
17、(3)和圆有关的最值问题，要根据图形分析，考虑和圆心的关系.1.直线 x2 y10 关于直线 x1 对称的直线方程是( )A.x2 y10 B.2 x y10 C.2 x y30 D. x2 y308答案 D解析 点( x， y)关于直线 x1 的对称点为(2 x， y)，2 x2 y10 x2 y30.2.已知直线 l 过直线 3x4 y20 与直线 2x3 y100 的交点，且垂直于直线6x4 y70，则直线 l 的方程为( )A.2x3 y100 B.2x3 y100C.4x6 y50 D.4x6 y50答案 A解析 易知直线 3x4 y20 与直线 2x3 y100 的交点为(2，2)
18、，直线 l 的斜率为 .故23直线 l 的方程为 y2 (x2)，即 2x3 y100.233.平行于直线 2x y10 且与圆 x2 y25 相切的直线的方程是( )A.2x y50 或 2x y50B.2x y 0 或 2x y 05 5C.2x y50 或 2x y50D.2x y 0 或 2x y 05 5答案 A解析 设所求直线方程为 2x y c0，依题意有 ，解得 c5，所以所求直线方程为 2x y50 或|0 0 c|22 12 52x y50，故选 A.4.已知圆 C 的圆心是直线 x y10 与 x 轴的交点，且圆 C 与直线 x y30 相切，则圆C 的方程为( )A.(
19、x1) 2 y22 B.(x1) 2 y28C.(x1) 2 y22 D.(x1) 2 y28答案 A解析 根据题意直线 x y10 与 x 轴的交点为(1，0).因为圆与直线 x y30 相切，所以半径为圆心到切线的距离，即 r d ，则圆 C 的方程为( x1)| 1 0 3|12 12 22 y22，故选 A.5.已知圆 C：( x a)2( y a)21( a0)与直线 y2 x 相交于 P， Q 两点，则当 CPQ 的面积为 时，实数 a 的值为( )12A. B. C. D.52 102 54 104答案 B9解析 由题意得，圆 C：( x a)2( y a)21( a0)的圆心为
20、 C(a， a)，半径 r1，所以圆心到直线 y2 x 的距离 d ，所以弦长| PQ|2 2 ，a5 r2 d2 1 a25所以 CPQ 的面积为 S |PQ|d 2 ，解得 a .12 12 1 a25 a5 a5 a25 12 1026.已知圆 O： x2 y24 上到直线 l： x y a 的距离等于 1 的点至少有 2 个，则实数 a 的取值范围为( )A.(3 ，3 ) B.(，3 )(3 ，)2 2 2 2C.(2 ，2 ) D.3 ，3 2 2 2 2答案 A解析 由圆的方程可知圆心为(0，0)，半径为 2.因为圆 O 上到直线 l 的距离等于 1 的点至少有 2 个，所以圆心
21、到直线 l 的距离 d r121，即 d 3，解得 a(3 ，3 ).| a|12 12 |a|2 2 27.已知直线 l： x ay10( aR)是圆 C： x2 y24 x2 y10 的对称轴，过点A(4， a)作圆 C 的一条切线，切点为 B，则| AB|等于( )A.2 B.4 C.6 D.22 10答案 C解析 根据直线与圆的位置关系求解.由于直线 x ay10 是圆 C： x2 y24 x2 y10 的对称轴，圆心 C(2，1)在直线x ay10 上，2 a10， a1， A(4，1).| AC|236440.又 r2，| AB|240436.| AB|6.8.(2017泉州质检)
22、过点 P(3，1)， Q(a， 0)的光线经 x 轴反射后与圆 x2 y21 相切，则a 的值为_.答案 53解析 点 P(3，1)关于 x 轴的对称点为 P(3，1)，由题意得直线 P Q 与圆x2 y21 相切，因为 P Q： x( a3) y a0，所以由 1，得 a .| a|1 a 32 539.已知直线 l 过点(2，0)，当直线 l 与圆 x2 y22 x 有两个交点时，其斜率 k 的取值范围是_.答案 (24， 24)10解析 因为已知直线过点(2，0)，那么圆的方程 x2 y22 x 配方为( x1) 2 y21，表示的是圆心为(1，0)，半径为 1 的圆，设过点(2，0)的
23、直线的斜率为 k，则直线方程为 y k(x2)，则圆心到直线的距离等于圆的半径 1，即 d 1，|k 0 2k|k2 1化简得 8k21，所以 k ，24然后可知此时有一个交点，那么当满足题意的时候，可知斜率的取值范围是 .(24， 24)10.在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 x2 y24 上有且仅有三个点到直线 12x5 y c0的距离为 1，则实数 c 的值为_.答案 13解析 因为圆心到直线 12x5 y c0 的距离为 ，|c|13所以由题意得 1， c13.|c|1311.在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 x2 y28 x150，若直线 y kx2 上至少存在一点
24、，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点，则 k 的最大值是_.答案 43解析 圆 C 的标准方程为( x4) 2 y21，圆心为(4，0).由题意知，(4，0)到 kx y20 的距离应不大于 2，即 2.整理得 3k24 k0，|4k 2|k2 1解得 0 k .故 k 的最大值是 .43 4312.圆 x2 y22 ax a240 和圆 x2 y24 by14 b20 恰有三条公切线，若aR， bR，且 ab0，则 的最小值为_.1a2 1b2答案 1解析 由题意知两圆外切，两圆的标准方程分别为( x a)2 y24， x2( y2 b)21， 3，a2 4b2 a24 b29，
