线性代数复习题及答案.doc

1、线性代数（理） 综合复习资料第一章 阶行列式n一、选择填空题：1、排列 的逆序数为_。542632、行列式 中，元素 的代数余子式为 。143、设行列式 ，则 。12133a313221aa4、设行列式 ，则 12133a313232 211aa。5、 个方程、 个未知量的齐次线性方程组 有非零解的充要条件是 。n 0Ax6、设 均为 3 阶方阵，且 ，则 。,AB3,2B27、设 均为 3 阶方阵，且 ，则 。138、已知多项式 ，则 的最高次数是 。112122333()axaxf()f9、设 为 3 阶矩阵且行列式 ，则下列说法正确的是（ ）A0A（1）矩阵 中必有一列元素等于 0；（2

2、）矩阵 中必有两列元素对应成比例；（3）矩阵 中必有一列向量是其余列向量的线性组合；（4）矩阵 中任一列向量是其余列向量的线性组合。10、下列说法错误的是（ ）（1）若 阶线性方程组 的系数矩阵行列式 ，则该方程组存在唯一解；nAxb0A（2）若 阶线性方程组 的系数矩阵行列式 ，则该方程组只有零解；0（3）一个行列式交换两列，行列式值不变；（4）若一个行列式的一列全为零，则该行列式的值为零。二、计算下列行列式1、 ；534120D2、496125363、 ；22222222()()(3)1()()()aabbDccdd4、 ；3.10.23.nn5、 ；1.2nDn6、 ；12003.032

3、1nD7、 ；1222nnnxxD8、 ；nxa9、 ；112233112nDn 10、 ；000nyxDyxx 第二章 矩阵一、选择填空题1、设 ，则 的秩 。123AA()r2、设 ，则 的秩 。31420AA()r3、设 均为 3 阶方阵，且 ，则 。,B42,B2A4、设 ， ，则 。1203A1034T5、设 ，则 。121A6、设 和 皆为 阶方阵，则下面论断错误的是( )ABn（1） ； （2） ；()T11(AB（3） ，其中 为 的伴随矩阵；（4）如果 ，则 或 。AOABO7、设 是 阶矩阵， 是 阶可逆矩阵，矩阵 的秩为 ，矩阵 的秩为 ，mnCnrCt则下列结论成立的是

4、（ ） 。（1） ；（2） ；（3） ；（4） 与 的关系不定。rtrtrtrt8、下面论断错误的是( )。（1）若干个初等阵的乘积必是可逆阵；（2）可逆阵之和未必是可逆阵；（3）两个初等阵的乘积仍是初等阵； （4）可逆阵必是有限个初等阵的乘积。9、设 阶实方阵 满足关系式 ，其中 为 阶单位矩阵，则下列关系式n,ABCABEn成立的是（ ）（1） ；（2） ；（3） ；（4） 。ECBAE10、设 ， ， ，113223a121323aa10P则下列等式正确的是（ ）（1） ；（2） ；（3） ；（4） 。PABPBA二、计算证明题1、设矩阵 和 满足关系式 ，且已知 ，求矩阵 。AB2AB

5、3014AB2、已知 ，其中 ， ，求矩阵 。X012053X3、设 为 3 阶矩阵， 为 3 阶单位矩阵，满足关系式 ，且已知,ABE2ABE，求矩阵 。102B4、设 为 阶矩阵，满足 ， （1）证明 可逆；,ABnAAE（2）若 ，求矩阵 。102B5、设矩阵 ，矩阵 满足 ，其中 是 的伴随矩阵，1A12ABA求矩阵 。B6、已知三阶矩阵 的逆矩阵为 ，试求伴随矩阵 的逆矩阵 。A123A1()7、已知 且 ，其中 是三阶单位矩阵，求矩阵 。10EB2 B8、设方阵 满足 ，证明 及 都可逆，并求 及 。A20A21A1(2)E9、已知 可逆（其中 为单位矩阵） ，试证 也可逆，且有E

6、BEEB。11()()EBAEAB第三章 向量组的线性相关性和秩一、选择填空题1、设向量组 线性无关，则当 _ 时，向量组 ， ，123,t2132t线性相关。32、已知向量组 ， ， ，1423453456，则该向量组的秩为 。45673、已知向量组 ， ， 的秩为12120t3022，则 。t4、关于最大无关组，下列说法正确的是（ ）（1）秩相同的向量组一定是等价向量组；（2）一个向量组的最大无关组是唯一的；（3）向量组与其最大无关组是等价的；（4）如果向量组所含向量的个数大于它的秩，则该向量组线性无关。5、设矩阵 的秩为 ，则下列说法错误的是（ ）()ijmnAar（1）矩阵 存在一个

7、阶子式不等于零；（2）矩阵 的所有 阶子式全等于零；1（3）矩阵 存在 个列向量线性无关；r（4）矩阵 存在 个行向量线性无关。6、对于线性相关和线性无关，下列说法错误的是（ ）（1）所含向量个数大于向量维数的向量组一定线性相关；（2）如果一个向量组线性无关，则该向量组中一定不包含零向量；（3）如果一个向量组线性相关，则至少存在一个向量可以由其它向量线性表示； （4）如果 阶方阵的行列式为零，则该矩阵的列向量组一定线性无关。n7、 维向量组 线性无关的充要条件是（ ）123,() rn（1）存在一组不全为零的数 ，使得 ；12, rk120 rkk（2） 中存在一个向量，它不能用其余向量线性表

8、示；2, r（3） 中任意两个向量都线性无关；12, r（4） 中任意一个向量都不能用其余向量线性表示。 r8、向量组 线性无关的充分条件是（ ）12, r（1） 均不为零向量； r（2） 中任意两个向量的分量不成比例；2, r（3） 中任意一个向量都不能用其余 个向量线性表示；1 r 1r（4） 中有一部分向量线性无关。2, r9、已知向量组 线性无关，则下列说法正确的是( )134,（1） 线性无关；2 1,（2） 线性无关；34,（3） 线性无关；12 1,（4） 线性无关。34,10、下列说法错误的是（ ）（1）矩阵的秩等于该矩阵的行向量组的秩；（2）矩阵的秩等于该矩阵的列向量组的秩；

9、（3）一个 阶方阵的不同特征值对应的特征向量线性无关；n（4）相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。二、计算证明题1、已知向量组 ， ， ，1320270143210，求该向量组的秩和一个最大无关组，并将剩余向量用该最大无关组456线性表示。2、已知向量组（ ） ；（ ） ；（ ） ，如果各I123,I1234,I1235,向量组的秩分别为 ，证明： 线性无关。()()RR4,3、已知向量组 ， ， 的1(21)2(0)x3(0452)秩为 2，试求 的值。x4、已知向量组 ，104， ， ，求该向量组的秩和一个最大无23241关组，并将剩余向量用该最大无关组线性表示。5、设向量组

10、线性无关，证明： 线性无关。123, 12313,6、设向量组 线性无关，记 ， ， ，123证明： 也线性无关。123,7、已知向量组 ， ， 线性1()20()x3540()相关，试求 的值。x8、已知向量组 ， ， ， ，13231504问：（1） ， ， ， 是线性相关还是线性无关？为什么？1234（2）求 ， ， ， 的一个极大无关组。9、设向量组 线性无关，记 ， ， ，123,123123证明： 也线性无关。10、设向量组 线性无关，证明： 线性无关。123, 1231,第四章 线性方程组一、选择填空题1、线性方程组 有解的充要条件是 。23451234563501xxa a2、

11、线性方程组 有解的充要条件是 。1123241xa3、设 是 阶矩阵， 是非齐次线性方程组 所对应的齐次线性方程组，Amn0AxAxb则下列结论正确的是（ ）（1）若 仅有零解，则 有唯一解；0xxb（2）若 有非零解，则 有无穷多个解；AA（3）若 有无穷多个解，则 仅有零解；b0（4）若 有无穷多个解，则 有非零解。xx4、已知 是非齐次线性方程组 的两个不同的解， 是对应齐次线性方程12,b12,组 的基础解系， 是任意常数，则方程组 的通解必是（ ）0A12,kAxb（1） ；（2） ；1212()k 121212()k（3） ；（4） 。121212() 121212()5、设 是

12、阶矩阵，齐次线性方程组 仅有零解的充要条件是（ ）Amn0Ax（1） 的列向量线性无关；（2） 的列向量线性相关；（3） 的行向量线性无关；（4） 的行向量线性相关。二、计算题1、设有线性方程组 ，问 为何值时，方程组有唯一解？ 123634xaba、无解？有无穷多解？在有无穷多解时求通解（用基础解系表示） 。2、 为何值时，非齐次线性方程组 有唯一解？无解？有无穷1232x多解？在有无穷多解时求通解（用基础解系表示） 。3、 为何值时，非齐次线性方程组 有唯一解、无解、无穷多解？12324x在有无穷多解时求通解（用基础解系表示） 。4、问 为何值时，非齐次线性方程组 有解？并求出解的一般形132426x式。5、问 为何值时，非齐次线性方程组 有唯一解？无解？有,ab1234axb无穷多解？6、设有线性方程组 ，问 为何值时，方程组有唯一解？ 123634xaba、无解？有无穷多解？在有无穷多解时求通解（用基础解系表示） 。第五章 相似矩阵及二次型一、选择填空题1、二次型 的矩阵为 。2212313132346(,)fxxxA