1、在工农业生产和科学实验中，为改革旧工艺，寻求最优生产条件等，经常要做许多试验，而影响这些试验结果的因素很多，我们把含有两个以上因素的试验称为多因素试验.前两节讨论的单因素试验和双因素试验均属于全面试验（即每一个因素的各种水平的相互搭配都要进行试验） ，多因素试验由于要考虑的因素较多，当每个因素的水平数较大时，若进行全面试验，则试验次数将会更大.因此，对于多因素试验，存在一个如何安排好试验的问题.正交试验设计是研究和处理多因素试验的一种科学方法，它利用一套现存规格化的表正交表，来安排试验，通过少量的试验，获得满意的试验结果.1.正交试验设计的基本方法正交试验设计包含两个内容：（1）怎样安排试验方
2、案；（2）如何分析试验结果.先介绍正交表.正交表是预先编制好的一种表格.比如表 9-17 即为正交表 L4(23),其中字母 L 表示正交，它的 3 个数字有 3 种不同的含义：表 9-17列号试验号1 2 312341 1 11 2 22 1 22 2 1(1) L4（ 23）表的结构：有 4 行、3 列，表中出现 2 个反映水平的数码 1，2.列数L4 （23） 行数 水平数（2） L4（23）表的用法：做 4 次试验，最多可安排 2 水平的因素 3 个.最多能安排的因素数L4 (23) 试验次数 水平数(3) L4（23）表的效率：3 个 2 水平的因素.它的全面试验数为 23=8 次，
3、使用正交表只需从8 次试验中选出 4 次来做试验，效率是高的.L4 (23) 实际试验数 理论上的试验数正交表的特点：（1）表中任一列，不同数字出现的次数相同.如正交表 L4(23)中，数字 1，2 在每列中均出现 2 次.（2）表中任两列，其横向形成的有序数对出现的次数相同.如表 L4（23）中任意两列，数字 1，2 间的搭配是均衡的.凡满足上述两性质的表都称为正交表(Orthogonal table).常用的正交表有 L9（34） ，L8（27） ，L16（45）等，见附表.用正交表来安排试验的方法，就叫正交试验设计.一般正交表 Lp（nm）中，p=m(n-1)+1.下面通过实例来说明如何
4、用正交表来安排试验.例 9.7 提高某化工产品转化率的试验.某种化工产品的转化率可能与反应温度 A，反应时间 B，某两种原料之配比 C 和真空度 D有关.为了寻找最优的生产条件，因此考虑对 A，B，C，D 这 4 个因素进行试验.根据以往的经验，确定各个因素的 3 个不同水平，如表 9-18 所示.表 9-18水平因素1 2 3A:反应温度（） 60 70 80B:反应时间（小时） 2.5 3.0 3.5C:原料配比 1.11 1.151 1.21D:真空度（毫米汞柱） 500 550 600分析各因素对产品的转化率是否产生显著影响，并指出最好生产条件.解 本题是 4 因素 3 水平，选用正交
5、表 L9（34）.表 9-19列号水平试验号A B C D1 2 3 41234567891 1 1 11 2 2 21 3 3 32 1 2 32 2 3 12 3 1 23 1 3 23 2 1 33 3 2 1把表头上各因素相应的水平任意给一个水平号.本例的水平编号就采用表 9-18 的形式；将各因素的诸水平所表示的实际状态或条件代入正交表中，得到 9 个试验方案，如表 9-20 所示.表 9-20列号水平试验号A B C D1 2 3 41234567891(60) 1(2.5) 1(1.1:1) 1(500)1 2(3.0) 2(1.15:1) 2(550)1 3(3.5) 3(1.
6、2:1) 3(600)2(70) 1 2 32 2 3 12 3 1 23(80) 1 3 23 2 1 33 3 2 1从表 9-20 看出，第一行是 1 号试验，其试验条件是：反应温度为 60，反应时间为 2.5 小时，原料配比为 1.11，真空度为 500 毫米汞柱，记作 A1B1C1D1.依此类推，第 9 号试验条件是 A3B3C2D1.由此可见，因素和水平可以任意排，但一经排定，试验条件也就完全确定.按正交试验表 9-20 安排试验，试验的结果依次记于试验方案右侧，见表 9-21.表 9-21列号水平试验号A B C D 试验结果（%）1234567891(60) 1(2.5) 1(
7、1.1:1) 1(500)1 2(3.0) 2(1.15:1) 2(550)1 3(3.5) 3(1.2:1) 3(600)2(70) 1 2 32 2 3 12 3 1 23(80) 1 3 23 2 1 33 3 2 13837765150824455862.试验结果的直观分析正交试验设计的直观分析就是要通过计算，将各因素、水平对试验结果指标的影响大小，通过极差分析，综合比较，以确定最优化试验方案的方法.有时也称为极差分析法.例 9.7 中试验结果转化率列在表 9-21 中，在 9 次试验中，以第 9 次试验的指标 86 为最高，其生产条件是 A3B3C2D1.由于全面搭配试验有 81 种
8、，现只做了 9 次.9 次试验中最好的结果是否一定是全面搭配试验中最好的结果呢？还需进一步分析.（1） 极差计算在代表因素 A 的表 9-21 的第 1 列中，将与水平“1”相对应的第 1，2，3 号 3 个试验结果相加，记作 T11，求得 T11=151.同样，将第 1 列中与水平“2”对应的第 4，5，6 号试验结果相加，记作 T21，求得 T21=183.一般地，定义 Tij 为表 9-21 的第 j 列中，与水平 i 对应的各次试验结果之和 (i=1,2,3; j=1,2,3,4).记 T 为 9 次试验结果的总和，Rj 为第 j 列的 3 个 Tij 中最大值与最小值之差，称为极差.
9、显然 T= ，j=1,2,3,4.此处 T11 大致反映了 A1 对试验结果的影响，T21 大致反映了 A2 对试验结果的影响，T31 大致反映了 A3 对试验结果的影响，T12，T22 和 T32 分别反映了 B1，B2，B3 对试验结果的影响，T13，T23 和 T33 分别反映了 C1，C2，C3 对试验结果的影响，T14，T24 和 T34 分别反映了 D1，D2 ，D3 对试验结果的影响.Rj 反映了第 j 列因素的水平改变对试验结果的影响大小，Rj 越大反映第 j 列因素影响越大.上述结果列表 9-22.表 9-22T1jT2jT3j151 133 175 174183 142 1
10、74 163185 244 170 182T=519Rj 34 111 5 19 (2) 极差分析(Analysis of range)由极差大小顺序排出因素的主次顺序：主次B；A、D；C这里，Rj 值相近的两因素间用“ 、 ”号隔开，而 Rj 值相差较大的两因素间用“；”号隔开.由此看出，特别要求在生产过程中控制好因素 B，即反应时间.其次是要考虑因素 A 和 D，即要控制好反应温度和真空度.至于原料配比就不那么重要了.选择较好的因素水平搭配与所要求的指标有关.若要求指标越大越好，则应选取指标大的水平.反之，若希望指标越小越好，应选取指标小的水平.例 9.7 中，希望转化率越高越好，所以应在
11、第 1 列选最大的 T31=185；即取水平 A3，同理可选 B3C1D3.故例 9.7 中较好的因素水平搭配是 A3B3C1D3.例 9.8 某试验被考察的因素有 5 个：A，B，C ，D ，E.每个因素有两个水平.选用正交表L8(27)，现分别把 A，B，C ，D ，E 安排在表 L8(27)的第 1，2，4，5，7 列上，空出第3，6 列仿例 9.7 做法，按方案试验.记下试验结果，进行极差计算，得表 9-23.表 9-23列号水平试验号A B C D E1 2 3 4 5 6 7试验结果123456781 1 1 1 1 1 11 1 1 2 2 2 21 2 2 1 1 2 21 2
12、 2 2 2 1 12 1 2 1 2 1 22 1 2 2 1 2 12 2 1 1 2 2 12 2 1 2 1 1 2141317178101115T1jT2j61 45 53 50 56 54 5244 60 52 55 49 51 53T=105Rj 17 15 1 5 7 3 1 试验目的要找出试验结果最小的工艺条件及因素影响的主次顺序.从表 9-23 的极差 Rj 的大小顺序排出因素的主次顺序为主 次A、B；D；C 、E最优工艺条件为 A2B1C1D2E1.表 9-23 中因没有安排因素而空出了第 3，6 列.从理论上说，这两列的极差 Rj 应为 0，但因存有随机误差，这两个空列
13、的极差值实际上是相当小的.3.方差分析正交试验设计的极差分析简便易行，计算量小，也较直观，但极差分析精度较差，判断因素的作用时缺乏一个定量的标准.这些问题要用方差分析解决.设有一试验，使用正交表 Lp(nm),试验的 p 个结果为 y1,y2,yp,记T= , = ，ST=为试验的 p 个结果的总变差；Sj=为第 j 列上安排因素的变差平方和，其中 r=p/n.可证明ST=即总变差为各列变差平方和之和，且 ST 的自由度为 p-1，Sj 的自由度为 n-1.当正交表的所有列没被排满因素时，即有空列时，所有空列的 Sj 之和就是误差的变差平方和 Se，这时Se 的自由度 fe 也为这些空列自由度
14、之和.当正交表的所有列都排有因素时，即无空列时，取 Sj 中的最小值作为误差的变差平方和 Se.从以上分析知，在使用正交表 Lp(nm)的正交试验方差分析中，对正交表所安排的因素选用的统计量为：F= .当因素作用不显著时，FF(n-1,fe),其中第 j 列安排的是被检因素 .在实际应用时，先求出各列的 Sj/(n-1)及 Se/fe,若某个 Sj/(n-1)比 Se/fe 还小时，则这第 j 列就可当作误差列并入 Se 中去，这样使误差 Se 的自由度增大，在作 F 检验时会更灵敏，将所有可当作误差列的 Sj 全并入 Se 后得新的误差变差平方和，记为 Se,其相应的自由度为fe,这时选用统
15、计量F= F(n-1,fe).例 9.9 对例 9.8 的表 9-23 作方差分析 .解 由表 9-23 的最后一行的极差值 Rj，利用公式 Sj= ,得表 9-24.表 9-24A B C D E1 2 3 4 5 6 7Rj 17 15 1 5 7 3 1 Sj 36.125 28.125 0.125 3.125 6.125 1.125 0.125 ST=74.875表 9-24 中第 3，6 列为空列，因此 Se=S3+S6=1.250,其中 fe=1+1=2,所以 Se/fe=0.625,而第 7列的 S7=0.125，S7/f7=0.1251=0.125 比 Se/fe 小，故将它并
16、入误差.Se=Se+S7=1.375,fe=3.整理成方差分析表 9-25.表 9-25方差来源 Sj fj F= 显著性A 36.125 1 36.125 78.818 B 28.125 1 28.125 61.364 C 3.125 1 3.125 6.818 D 6.125 1 6.125 13.364 E 0.125 1 0.125 e 1.1250 2 0.625 e 1.375 3 0.458 由于 F0.05(1,3)=10.13, F0.01(1,3)=34.12,故因素 A，B 作用高度显著，因素 C 作用不显著，因素 D 作用显著，这与前面极差分析的结果是一致的 .F 检验法要求选取 Se，且希望 fe 要大，故在安排试验时，适当留出些空列会有好处的.前面的方差分析中，讨论因素 A 和 B的交互作用 AB.这类交互作用在正交试验设计中同样有表现，即一个因素 A 的水平对试验结果指标的影响同另一个因素 B 的水平选取有关.当试验考虑交互作用时，也可用前面讲的基本方法来处理.本章就不再介绍了.
