1、地砖上的数学随着人们生活水平的提高，家庭装修已成为一种时尚追求在家庭装饰中，地砖的铺设就是一项非常重要的美化工作当你看到地砖铺成的美丽图案时，你是否想到展铺这美丽图案的数学原理呢？请看下面的分析相信通过对下文的阅读，你不仅能弄清楚本章有关瓷砖铺设问题中的数学道理，而且还可通过对丰富多彩的图案的欣赏，体验到数学的美，提高你的审美情趣地砖展铺的图形，一般都是用几种完全相同的平面图形展铺开来的，有时用由直线构成的多边形组成的图案，有时用由曲线组成的图案，千变万化但是作为基础还是用平面多边形展铺平面有时虽然有曲线，却常常是由多边形和圆作适当变化而得到的例如，一个由正方形展铺的平面图案（如图（a），如果
2、对正方形用圆弧做一些变化（如图（b），那么把两个以上图形结合起来设计，就可由比较单调的正方形图案，变化曲线形成花纹图案了（如图（c）由于多边形是构成地砖展铺复杂图形的基础，因此，下面我们对利用多边形展铺平面图形做些简要分析相信经过以下分析，同学们一定能轻而易举地解决本章第一节提出的问题，为什么有些图形能不留一点空隙的将地面铺满，而有些图形则不能满足要求同时一定会有一种恍然大悟的感觉1怎样以三角形为基础展铺平面图案？三角形是多边形中最简单的图形，如果用三角形为基本图形来展铺平面图案，那么就要考虑三角形的特点由于三角形的三个内角和为 180，所以要把三角形的三个角集中到一起，就组成了一个平角如果要
3、在平面上一个点的周围集中三角形的角，那么必须使这些角的和为两个平角因此，若把图中的三角形的三个内角集中在一起，并经过轴对称或中心对称，就可以得到集中于一点的六个角，它们的和为 360，刚好覆盖上这一点周围的平面对称的方法见图：在中心对称的情况下，三角形不翻折，在轴对称的情况下，三角形要翻折如果把三角形正、反两面涂上颜色，那么通过对称，正、反两面就会明显地反映出来了由上面的分析可知，用三角形为基本图形展铺平面图案，共有以下四种情况，如图：2怎样以四边形为基础展铺平面图案？由于四边形的内角和为 360，所以，任何四边形都可以作为基本图形来展铺平面图案如图中的（a）、（b）、（c）、（d）分别是以矩
4、形、菱形、梯形、一般四边形为基本图形的平面展铺图案3怎样以正多边形为基本图形展铺平面图案？用正多边形为基本图形展铺平面图案，集中于一点的周围的正多边形的各个内角的和应是 360例如，正五边形一个内角为 ；正十边形一个内角为如果把两个正五边形的内角与一个正十边形的内角加起来，则其和为 2108144360但是它们并不能用来展铺平面如果用同种的正 n 边形来展铺平面图案，在一个顶点周围集中了 m 个正 n 边形的角由于这些角的和应为 360，所以有：，即 ，即 因为 都是正整数，并且 所以 也都必定是正整数所以当 ，即 时， ；当 ，即 时， ；当，即 时， ；而当 ，即 时， ，即 这就证明了只用一种正多边形展铺平面图案，只存在三种情况：（1）由 6 个正三角形拼展，我们用符号（3，3，3，3，3，3，）来表示（如图）（2）由 4 个正方形拼展，我们用符号（4，4，4，4）来表示（如图）（3）由 3 个正六边形拼展，我们符号（6，6，6）来表示如果用两种正多边形来拼展平面图案，那么就有以下五种情况：（3，3，3，4，4），（3，3，3，3，6），（3，3，6，6），（3，12，12）以及（4，8，8）这五种情况中，（3，3，3，4，4，）和（3，3，6，6）又各有两种不同的拼展方法，如图列出其中六种拼展图形用三种正多边形展拼平面图形就比较难设计了，如图举出两例供同学们思考
