1、12016-2017 学年高中数学 第 2 章 变化率与导数 3 计算导数课后演练提升 北师大版选修 2-2一、选择题1下列结论正确的是( )A若 y ，则 y B若 y ，则 y1x 1x2 x 12xC若 ycos x，则 ysin x D若 yln x，则 y1x解析： ，( ) ，(cos x)sin x，(ln x) .(1x) 1x2 x 12x 1x答案： D2已知 f(x) xa，若 f(1)4，则 a 的值是( )A4 B4C4 D不确定解析： f( x) axa1 ， f(1) a(1) a1 4， a4.答案： B3已知直线 y kx 是曲线 yln x 的切线，则 k
2、的值等于( )Ae BeC. D1e 1e解析： y(ln x) ，设切点为( x0， y0)，则切线方程为 y y0 (x x0)，1x 1x0即 y xln x01，由 ln x010 得 x0e.1x0又 k ， k .1x0 1e答案： C4已知直线 ax by20 与曲线 y x3在点 P(1,1)处的切线互相垂直，则 的值为( )abA. B.23 13C D23 13解析： 曲线 y x3在点 P(1,1)处的切线斜率 k y| x1 3 x2|x1 3，直线2ax by20 斜率 k ，由题意可得 3 1，故 .ab ab ab 13答案： D二、填空题5若已知 f(x)cos
3、 x， g(x) x，且 f( x) g( x)0，则 x 的取值为_解析： f(x)cos x， g(x) x， f( x)(cos x)sin x g( x) x1.由 f( x) g( x)0，得到sin x10，即 sin x1，但 sin x1,1，sin x1. x2 k ， kZ. 2答案： 2 k ， kZ 26曲线 ysin 在点 A 处的切线方程为_( 2 x) ( 3， 12)解析： sin cos x，( 2 x) y(cos x)sin x，切线的斜率 ksin ，( 3) 32过点 的切线方程为 y ，( 3， 12) 12 32(x 3)即 3 x6 y 30.3
4、 3答案： 3 x6 y 303 3三、解答题7求下列函数的导数(1)y2；(2) y ；(3) y10 x；4x3(4)y x；(5) y2cos 2 1.log 12 x解析： (1) y c0， y20.(2) y( xn) nxn1 ， y( )( x ) x 14x3343434 x .34 14 344x3(3) y( ax) axln a， y(10 x)10 xln 10.(4) y(log ax) ，1xln a y( x) .log 121xln12 1xln 2(5) y2cos 2 1cos x，x y(cos x)sin x.8函数 ylog 2x 的图像上任一点 A
5、(a，log 2a)处的切线与直线(2ln 2)x y30 垂直，求 a 的值解析： ylog 2x 在点 A(a，log 2a)处的切线斜率为k1 y x a .|x a1xln 2| 1aln 2已知直线斜率 k22ln 2.两直线垂直， k1k2 1. a2. 2a9.求证：在双曲线 xy a2(a0)上任何一点处的切线与坐标轴构成的三角形的面积为常数(如图)证明： 因为 xy a2，所以 y .a2x所以 y .(a2x) a2x2函数 y 在图像上的任一点( x0， y0)处的切线斜率 k ， y0 ，a2x a2x20 a2x0所以切线方程是 y y0 k(x x0)即 y (x x0)，a2x0 a2x20令 x0，得 y ；2a2x0令 y0，得 x2 x0，4所以 S |x|y| |2x0|2 a2为常数12 12|2a2x0|即在双曲线 xy a2(a0)上任何一点处的切线与坐标轴构成的三角形的面积为常数2a2.
