1、1了 解 方 程 小 史“方程”是九章算术中的一章在这一章里的所谓“方程” ，是指一次方程组例如其中的第一个问题实际上就是求解三元一次方程组古代是将它用算筹布置起来解的，如图所示，图中各行由上而下列出的算筹表示x，y，z 的系数与常数项我国古代数学家刘徽注释九章算术说， “程，课程也二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程 ”这里所谓“如物数程之” ，是指有几个未知数就必须列出几个等式一次方程组各未知数的系数用算筹表示时好比方阵，所以叫做方程上述方程的概念，在世界上要数九章算术中的“方程”章最早出现。其中解方程组的方法，不但是我国古代数学中的伟大成就，而且是世界数学史上一份非
2、常宝贵的遗产这一成就进一步证明：中华民族是一个充满智慧和才干的伟大民族。在上古时代，中国就有着完美的 10 进位制，用以表达任意大的正整数，不仅如此，中国的 10 进位制还具有独到的位值制。正是由于这种进位的位值制，为古代中国高度发展的计算技术奠定了基础，铺平了道路。这也使中国古算构造性、算法化与可计算的机械化特色得以自然形成与充分发扬。中国古算着重实际问题的解决，由此自然导致方程问题，即现代意义下的多项式方程求解问题。为了解这种方程，由简单到复杂，中国古算逐步引进了分数、负数、小数、与无理数的概念，并给出了这种数的计算方法与规律。这实质上使中国早在公元 3 世纪时，就已完成了现代的所谓实数系
3、统及其计算的方法与规律。2正是为了解决各种具体问题，多项式方程（组）的求解，成为中国古算发展的核心。特别是从几何问题产生的方程，其解答往往表现成公式的形式，相当于现代的几何定理。这已包含了从解方程可应用于证定理的某种途径。方程的发展至宋时，已得到了任意次代数方程求数值解的一般方法。宋元时期更创立了天元术，引进了天元等相当于未知数的概念，使向来依题意立方程这一无规可循需要高度技巧的难题，从此轻而易举。不仅如此，天元术还导致了多项式与有理函数的表达方式，与运算法则，并使几何代数化，成为后世解析几何与多项式代数以及一般消去法的先导。此外，公元 1303 年，元朱世杰在他的四元玉镒一书中，提出了解多至
4、四个未知元的任意多项式方程组的方法：先把各未知元排一次序，然后通过消元方法得出一对未知元整然有序的新的方程组，由此逐个求解即得原方程组的解答。自然朱的方法有不少缺陷与不完整之处。这些缺陷在当时的历史条件下在所难免。但朱的思路与方法则正确无误，且对未知元的个数并无限制。正是遵循了这一思路与方法，我们在上世纪的 70 年代，借助于现代数学的某些技术，对于任意多个未知元的代数方程组，得出了所谓整序原理，由此完成了解任意代数方程组的机械化一般算法。我们还遵循中国古算的启示，应用解方程的算法于几何定理的机器证明，使后者成为前者多种多样的具体应用之一。代数几何讲究多项式方程组的零点集即解答的集合，通称代数
5、簇。这是当代最活跃也最艰深的数学领域之一。与国外基本上是存在性的研究方法不同，我们遵循中国古算法的思想路线，建立了代数几何构造性、算法化与可计算的研究方法。国外对于没有奇点的代数簇，可定义陈（省身）类与陈（省身）数。但一般说来代数簇总是有奇点的，此时国外方法就难以引入陈类和陈数。但我们的方法则无此限制，且引入的陈类与陈数都易于计算。对于无奇点的某些特殊类型二维曲面的极端情形，Miyaoka 与丘成桐曾分别证明陈数间的不等关系。若用我们的方法，则对于任意维数具有任意奇点的代数簇，只须经过简单计算，即可得出一大批陈数间的不等式与等式关系。上世纪 80 年代末，有数学家提出 Miyaoka-丘不等式
6、可导致 Fermat 大问题的解决，引起轰动。但旋以失败告终。失败的原因之一是可能牵涉到的代数簇有奇点。依照我们的方法，这种不等式依然成立而无关于奇点的限制。是否因此会对 Fermat 大问题以及其它类似问题起某些作用，值得耐人深思。整系数代数方程在求整数解或有理数解时，称为不定方程。勾股弦定律（勾 2+股 2弦 2）以及整勾股数是世界各古代民族都普遍关注的问题。但只有中国早在两千多年前就有完整的解答：3勾股：弦（m 2-n2）:2mn:（m 2+n2）其中，m=勾+弦，n=股，都有几何意义。具见九章算术 。公元 263 年，刘徽在九章注中给出了严格的证明。在中国以外，只有印度在 7 世纪与以
7、后给出了类似公式，但意义不详，更无证明。此外，中国历代天文历法要求计算上元积年，这导致一组现代所称的同余方程，经过千年以上的努力于宋代总结成大衍求一术，19 世纪传入欧洲后被称为中国剩余定理，在现代数学中起着重要作用。同余方程是一种特殊形式的一次不定方程，在印度，则在 11 世纪时对较一般的一次不定方程有求整数解的算法。在中国与印度以外，则由于 3 世纪丢番图（Diophantus）的著作，不定方程又称丢番图方程。所谓 Fermat 大问题即指不定方程：x n+yn=zn。在 n3 时不可能有正整数解。经过 350 年左右的努力，这一问题才于近年为 Wells 所解决，被认为是 20 世纪（纯
8、粹）数学上的最大成就。大衍求一术中的同余方程与勾股弦整数解相当于某种一次与二次的不定方程。古印度及 19 世纪的欧洲已解决了一般的一次不定方程。20 世纪德国的 Siegel 又解决了一般的二次不定方程。Fermat 大问题则导致某种类型三次不定方程的研讨。在 Hilbert 著名的 23个问题中，第 10 个即是一般不定方程的求解算法问题。答案是否定的，即这样的算法不可能存在。其证明过程经过美国数学家 M.Davis 等的长期努力而最后在 1970 年时由苏联的21 岁青年数学家 L.Matijashevic 取得最后成功。虽然 Hilbert 的第 10 个问题的答案是否定的，即一般的不定方程不可能有求解的算法。但对于特殊形式的不定方程如一次与二次者则算法早已有之。1974 年时，美国数学会组织了一次对 Hilbert 23 个问题进展情况的总结报告研讨会。其中 M.Davis 对于第 10 个问题的总结报告指出：虽然第 10 个问题的答案是否定的，但却蕴含了许多正面的结果。许多著名的难题，例如数论中的 Fermat 大问题，Goldbach 问题，Riemann 猜测问题，以及数论之外的四色问题等等，其解决与否都可归结为某一相应特殊形式的三次或四次不定方程有否某种整数解的问题。因之，三四次不定方程的算法求解，将是 21 世纪应予高度重视的重大难题之一。
