1、第六节 倍角公式和半角公式、积化和差与和差化积,三年3考 高考指数: 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆).,1利用公式变换,进行三角函数式的化简是高考考查的热点. 2.常与实际应用问题、函数等结合命题. 3.高考主要以解答题的形式进行考查.,1.二倍角的正弦、余弦、正切公式,二倍角的余弦,二倍角的正弦,二倍角的正切,【即时应用】 (1)思考：二倍角公式tan2= 中对任意的都成立吗？ 提示：不一定,当k+ 2k+ (kZ)时，公式成立.,(2) sin15cos15的值等于.
2、 【解析】 sin15cos15= 2sin15cos15 = sin30= 答案：,(3)若tan= ,则tan2=. 【解析】答案：,2.半角公式,【即时应用】 (1)思考：你能用sin、cos表示tan 吗？ 提示：,(2)判断下列公式及其变形是否正确.(请在括号中填写“”或“”) cos = ( ) sin2 = ( ) tan = ( ),【解析】根据公式可知根号下分子上应该是“+”，故错;等号右边分子上应该是“-”，故错； 等号右边分子上应该是“-”，可以化简验证，故错. 答案： ,【解析】2sin15cos15=sin30= = cos30= -1= -cos30= 答案： ,(
3、3)填空：2sin15cos15=_. =_. -1=_.,3.三角函数的积化和差与和差化积公式 (1)积化和差公式 sincos= _; cossin= _; coscos= _; sinsin= _.,(2)和差化积公式 sin+sin= sin-sin= cos+cos= cos-cos=,【即时应用】 (1)已知+= ，则sincos的取值范围为_. (2)已知sincos= ，则cossin的取值范围为_. (3)若+= ，则sin+sin的取值范围为_.,【解析】 (1)sincos= sin(+)+sin(-) = sin + sin(-) = + sin(-)， sincos,
4、(2)由sincos+cossin=sin(+)， 得 cossin ， 又sincos-cossin=sin(-)， cossin . 综合上述得 cossin .,(3)sin+sin= = = -1sin+sin1.,答案：(1) (2) (3),三角函数式的求值 【方法点睛】 1.三角函数式求值的类型 三角函数式求值分为直接求值和条件求值,直接求值就是直接根据所给的三角函数式选择恰当的公式化简变形求得三角函数式的值.条件求值是要根据条件选择合适的公式进行三角恒等变换求得所需要的值，同时注意所给角的范围.,2.条件求值的一般思路 (1)先化简所求式子或所给条件; (2)观察已知条件与所求
5、式子之间的联系(从三角函数名及角入手); (3)将已知条件代入所求式子,化简求值. 【提醒】公式的逆用、变形用十分重要，特别是1+cos2= 2cos2,1-cos2=2sin2,形式相似，容易出错，应用时要加强“目标意识”.,【例1】化简下列各式： (1) =_. (2) _.【解题指南】(1)若注意到化简式是开平方根和2是的二倍， 是 的二倍，以及其范围不难找到解题的突破口；(2)由于分 子是一个平方差，分母可通过二倍角公式化简，若注意到这两大 特征，不难得到解题的切入点.,【规范解答】 (1)因为 2, 所以 =|cos|=cos, 又因为 , 所以 = , 所以，原式=sin .,(2
6、)原式= = = =1.答案：(1)sin (2)1,【互动探究】 把本例中的(2)改为求= _.,【解析】原式= = = = 答案：,【反思感悟】1.在二倍角公式中，两个角的倍数关系，不仅 限于2是的二倍，要熟悉多种形式的两个角的倍数关系， 同时还要注意2, , 三个角的内在联系，cos2 =sin( 2)=2sin( )cos( )是常用的三角 变换.,2.常用的公式变形：cos= ，,【变式备选】不查表求 的值.,【解析】 = (1cos40)+ (1+cos160)+ sin20cos80 =1 cos40+ cos160+ sin20cos(60+20) =1 cos40+ (cos
7、120cos40sin120sin40)+ sin20(cos60cos20sin60sin20) =1 cos40 cos40 sin40+ sin40 =1 cos40 (1cos40)= .,三角函数式的化简 【方法点睛】 三角函数式化简的原则、要求及方法 (1)三角函数式的化简原则:一是统一角，二是统一函数名.能求值的求值，必要时切化弦，更易通分、约分.,(2),三角 函数 式化 简的 要求,能求出值的应求出值； 尽量使三角函数种数最少； 尽量使项数最少； 尽量使分母不含三角函数； 尽量使被开方数不含三角函数.,(3)三角函数式化简的方法主要是弦切互化，异名化同名，异角化同角. 【提醒
8、】同角三角函数关系式和诱导公式在化简中经常应用，特别是“1”的代换经常用到.,【例2】化简2 + ,(,2). 【解题指南】利用三角函数的倍角公式凑根号下为完全平方式，化无理式为有理式，但要注意的范围.,【规范解答】1+sin= = (sin + ， 2(1+cos)=2(1+ )=4 ， 原式=2| |+2| |. (,2), ( ,), cos 0,当 ,即 时， sin +cos 0， 原式=2(sin +cos )-2cos =2sin , 当 ,即 2时， sin +cos 0,原式=-2sin -4cos =-2 sin( +)(其中tan=2), 原式= 2sin ， -2 si
9、n( +)(其中tan=2)， 2.,【反思感悟】 本题利用了“1”的逆代技巧，即化1为 一般地有 =|sin+cos|, = |cos|,= |sin|.,【变式训练】(2012青岛模拟)化简( - ) .,【解析】原式= = = = =16.,【变式备选】 化简：( ) (1+tantan ).,【解析】方法一: 原式= ( )= = = .,方法二：原式= = = = .,三角恒等式的证明 【方法点睛】 三角恒等式证明的方法及切入点 (1)证明恒等式的方法： 从左到右；从右到左； 从两边化到同一式子. 原则上是化繁为简，必要时也可用分析法.,(2)三角恒等式证明的切入点： 看角：分析角的
10、差异,消除差异,向结果中的角转化; 看函数:统一函数,向结果中的函数转化.,【例3】证明： (1) = ；(2)若2sin( +)=sin+cos， =sin2， 则sin2+ cos2=0.,【解题指南】 (1)从繁到简，左端化弦、通分、化简. (2)由已知把sin2、cos2用的三角函数表示，代入计算即可.,【规范解答】(1) = = = = sin2. 等式成立.,(2)由2sin( +)=sin+cos. 得cos( +2)=1- =1-2( ) =1- = . sin2=-cos( +2)= . 又2 =sin2， cos2=1-2 =1-sin2， sin2+ cos2= + =0
11、.,【反思感悟】1.三角函数式的化简与证明的类型及思路 (1)对三角的和式，基本思路是降幂、消项和逆用公式； (2)对三角的分式，基本思路是分子与分母约分和逆用公式，最终变成整式或数值； (3)对二次根式，则需要运用倍角公式的变形形式.,2.化简与证明的过程中体现了化归的思想，是一个“化异为同”的过程，涉及切弦互化，即“函数名”的“化同”；角的变换，即“单角化倍角”、“单角化复角”，“复角化单角”、“复角化复角”等具体手段.,【变式训练】(2012东营模拟)若 = +1. 求证： =2 -1.,【证明】 由已知得 =2 +1, 即 =2 +1, 即 = , 即 = +1- - . =2 -1,
12、即等式成立.,【满分指导】三角函数性质综合题的规范解答 【典例】(12分)(2011四川高考)已知函数f(x)=sin(x+ )+cos(x- ),xR. (1)求f(x)的最小正周期和最小值; (2)已知cos(-)= ,cos(+)=- , 0 ,求证： -2=0.,【解题指南】(1)把f(x)化成Asin(x+)的形式； (2)利用两角和与差的余弦公式展开，两式相加可得2coscos=0，结合0 可得= .,【规范解答】 (1)f(x)=sin(x+ -2)+sin(x- + ) =sin(x- )+sin(x- ) =2sin(x- ).3分 f(x)的最小正周期T=2，f(x)的最小
13、值为-2. 5分,(2)由已知得 coscos+sinsin= , coscos-sinsin=- , 两式相加得2coscos=0.8分 0 ,= , -2= -2=0.12分,【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：,1.(2012济南模拟)已知sin= ,sincos0，则sin2的值为( ) (A) (B) (C) (D) 【解析】选A.sin= ,sincos0 cos= sin2=2sincos=2 ( )=,2.(2011大纲版全国卷)已知( ,)，sin= ,则tan2=_. 【解析】由( ,),sin= ，得cos= - , tan= ,tan2= . 答案：,3.(2011天津高考)已知函数f(x)=tan(2x+ ), (1)求f(x)的定义域与最小正周期； (2)设(0, )，若f( )=2cos2,求的大小.,【解析】(1)由2x+ +k,kZ， 所以x + ,kZ. 所以f(x)的定义域为xR|x + ,kZ, f(x)的最小正周期为 .,(2)由f( )=2cos2得tan(+ )=2cos2,整理得 =2(cos-sin)(cos+sin)， 因为(0, )，所以sin+cos0, 因此 , 即sin2= ，因为(0, )， 所以= .,
