1、1配餐作业(十六) 导数与不等式(时间：40 分钟)一、选择题1(2017丹东模拟)若 f(x) ，ef(b) B f(a) f(b)C f(a)1解析 因为 f( x) ，当 xe时， f( x)f(b)。故选 A。答案 A2 f(x)是定义在(0，)上的非负可导函数，且满足 xf( x) f(x)0，对任意正数 a， b，若 a0，由2xf( x)0，所以 00)，则 h( x) 。3x x 3 x 1x2当 x(0,1)时， h( x)0，函数 h(x)单调递增，所以 h(x)min h(1)4，所以 a h(x)min4。故选 B。答案 B5已知函数 F(x)( x a)2(ln x2
2、2 a)2(x0， aR)，若存在 x0，使得 F(x0) 成45立，则实数 a的值是( )A1 B.12C. D.25 15解析 函数 F(x)可视为两个动点 M(x，ln x2)， N(a,2a)之间的距离的平方，若存在 x0使得 F(x0) 成立意味着 F(x)min ，注意到点 M(x，ln x2)， N(a,2a)分别是曲线 f(x)45 452ln x和直线 g(x)2 x上的动点， f( x) ，令 2，解得 x1，则函数 f(x)图象上2x 2x切线斜率为 2的点 M(1,0)，该点到直线 g(x)2 x的距离的平方 d2 2 ，此时 y2 x(25) 45与 y (x1)的交
3、点的横坐标即为实数 a的值 。故选 D。12 15答案 D二、填空题6若 f(x) xsinxcos x，则 f(3)， f ， f(2)的大小关系为_。(2)解析 函数 f(x)为偶函数，因此 f(3) f(3)。3又 f( x)sin x xcosxsin x xcosx，当 x 时， f( x)f(2)f(3) f(3)。(2)答案 f(3)1， f(0)4，则不等式 f(x)1(e 为自然对数的底数)的解集为_。3ex解析 由 f(x) 1 得，e xf(x)3e x，构造函数 F(x)e xf(x)e x3，对 F(x)求3ex导得 F( x)e xf(x)e xf( x)e xe
4、xf(x) f( x)1。由 f(x) f( x)1，e x0，可知 F( x)0，即 F(x)在 R上单调递增，又 F(0)e 0f(0)e 03 f(0)40，所以 F(x)0的解集为(0，)。答案 (0，)8(2016衡水模拟)已知函数 f(x) x2lnx a(x21)， aR。若当 x1 时， f(x)0 恒成立，则 a的取值范围是_。解析 f( x)2 xlnx(12 a)x x(2lnx12 a)，当 a 时，因为 x1，所以 f( x)0。12所以函数 f(x)在1，)上单调递增，故 f(x) f(1)0。综上 a的取值范围是 。( ，12答案 ( ，12三、解答题49(201
5、6全国卷)已知函数 f(x)( x1)ln x a(x1)。(1)当 a4 时，求曲线 y f(x)在(1， f(1)处的切线方程；(2)若当 x(1，)时， f(x)0，求 a的取值范围。解析 (1) f(x)的定义域为(0，)。当 a4 时，f(x)( x1)ln x4( x1)， f( x)ln x 3， f(1)2， f(1)0。1x曲线 y f(x)在(1， f(1)处的切线方程为 2x y20。(2)当 x(1，)时， f(x)0等价于 lnx 0。a x 1x 1设 g(x)ln x ，则a x 1x 1g( x) ， g(1)0。1x 2a x 1 2 x2 2 1 a x 1
6、x x 1 2()当 a2， x(1，)时， x22(1 a)x1 x22 x10，故 g( x)0， g(x)在(1，)上单调递增，因此 g(x)0；()当 a2时，令 g( x)0 得x1 a1 ， x2 a1 。 a 1 2 1 a 1 2 1由 x21和 x1x21 得 x10时， f(x)2 a aln 。2a解析 (1) f(x)的定义域为(0，)，f( x)2e 2x 。ax当 a0 时， f( x)0， f( x)没有零点；当 a0时，设 u(x)e 2x， v(x) ，ax因为 u(x)e 2x在(0，)上单调递增， v(x) 在(0，)上单调递增，ax所以 f( x)在(0
7、，)上单调递增。又 f( a)0，当 b满足 00时， f( x)存在唯一零点。5(2)证明：由(1)，可设 f( x)在(0，)上的唯一零点为 x0，当 x(0， x0)时，f( x)0。故 f(x)在(0， x0)上单调递减，在( x0，)上单调递增，所以当 x x0时， f(x)取得最小值，最小值为 f(x0)。由于 2e2x0 0，ax0所以 f(x0) 2 ax0 aln 2 a aln 。a2x0 2a 2a故当 a0时， f(x)2 a aln 。2a答案 (1)当 a0时，存在唯一零点 (2)见解析(时间：20 分钟)1(2017唐山模拟)已知函数 f(x) a(tanx1)e
8、 x。(1)若函数 f(x)的图象在 x0 处的切线经过点(2,3)，求实数 a的值；(2)对任意 x ，不等式 f(x)0 恒成立，求 a的取值范围。(0，2)解析 (1)因为 f(x) a(tanx1)e x，所以 f( x) e x，acos2x所以 f(0) a1，又 f(0) a1，且 f(x)的图象在 x0 处的切线经过点(2,3)，故a1 ， a 1 30 2 a2。(2)由 f(x)0 得 a ，extanx 1令 g(x) ，extanx 1则 g( x) ，extanx 1 tanx tanx 1 2当 x 时， g( x)0；(0，4)当 x 时， g( x) e 1 x
9、在区间(1，)内恒成立1x(e2.718为自然对数的底数)。解析 (1) f( x)2 ax (x0)。1x 2ax2 1x当 a0 时， f( x)0时，由 f( x)0，有 x 。12a此时，当 x 时， f( x)0， f(x)单调递增。(12a， )(2)令 g(x) ， s(x)e x1 x。1x 1ex 1则 s( x)e x1 1。而当 x1时， s( x)0，所以 s(x)在区间(1，)内单调递增。又由 s(1)0，有 s(x)0，从而当 x1时， g(x)0。当 a0， x1时， f(x) a(x21)ln xg(x)在区间(1，)内恒成立时，必有 a0。当 01，12 12a由(1)有 f 0，(12a) (12a)所以此时 f(x)g(x)在区间(1，)内不恒成立。当 a 时，令 h(x) f(x) g(x)(x1)。当 x1时， h( x)2 ax e 1 xx12 1x 1x27 0。1x 1x2 1x x3 2x 1x2 x2 2x 1x2因此， h(x)在区间(1，)内单调递增。又 h(1)0，所以当 x1时， h(x) f(x) g(x)0，即 f(x)g(x)恒成立。综上， a 。12， )答案 (1)见解析 (2) 12， )
