2013年各省高考理科数学试题分类3：三角函数.doc

1、2013 年各省高考理科数学试题分类 3：三角函数一、选择题1 （2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯 WORD 版） ）已知210cossin,R,则 tanA. 34 B. 43 C. 43 D. 34【答案】C 2 （2013 年高考陕西卷（理） ）设 ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若cossinbCBaA, 则 ABC 的形状为(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定【答案】B 3 （2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案） ）在 ABC 中, ,2,3,4ABCC则 s

2、inA = (A) 10 (B) 105(C) 10(D) 5【答案】C 4 （2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案） ）将函数sin(2)yx的图象沿 x轴向左平移 8个单位后,得到一个偶函数的图象,则 的一个可能取值为(A) 34(B) 4(C)0 (D) 4【答案】B 5 （2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版） ）在 ABC,内角,AC所对的边长分别为 ,.abc1sinosinco,2BCAb且 a,则 A. 6 B. 3 C. 23 D. 56 【答案】A 6 （2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD

3、版含答案（已校对） ）已知函数 =cosin2fxx,下列结论中错误的是(A) y的图像关于 0中心对称 (B) yfx的图像关于直线 2x对称(C) fx的最大值为 32 (D) f既奇函数,又是周期函数【答案】C 7 （2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案） ）函数cosinyxx的图象大致为【答案】D 8 （2013 年高考四川卷（理） ）函数 ()2sin(),(0,)2fx的部分图象如图所示,则 ,的值分别是( )(A)2,3 (B)2,6 (C)4,6 (D)4,3【答案】A 9 （2013 年上海市春季高考数学试卷(含答案)）既是偶函数又在区间 (0 )

4、、上单调递减的函数是( )(A) sin yx (B) cos yx (C) sin 2yx (D) cos 2yx【答案】B 10 （2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案） ）004cos5ta4( )A. 2 B. 23 C. 3 D.21【答案】C 11 （2013 年高考湖南卷（理） ）在锐角中 ABC,角 所对的边长分别为 ,ab.若2sin3,aBbA则 角 等 于A.12 B. 6 C. 4 D. 3 【答案】D 12 （2013 年高考湖北卷（理） ）将函数 cosinyxR的图像向左平移0m个长度单位后,所得到的图像关于 轴对称,则 m的最小值是(

5、) A. 12 B. 6 C. 3 D. 56 【答案】B 二、填空题13 （2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯 WORD 版） ） ABC中,09C,M是 B的中点,若 31sinBAM,则 BACsin_.【答案】 63 14 （2013 年高考新课标 1（理） ）设当 x时,函数 ()sin2cosfxx取得最大值,则cos_【答案】 25. 15 （2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯 WORD 版） ）如图 ABC中,已知点 D 在 BC 边上,AD AC, 2sin,32,BACAD则 B的长为_ 【答案】 3 16 （2013 年上海

6、市春季高考数学试卷(含答案)）函数 2sin yx的最小正周期是_【答案】 2 17 （2013 年高考四川卷（理） ）设 sin2si, (,)2,则 ta的值是_.【答案】 3 18 （2013 年高考上海卷（理） ）若 12cosins,in2si3xyxyxy,则sin()_xy【答案】 2i()3. 19 （2013 年高考上海卷（理） ）已知ABC 的内角 A、B、C 所对应边分别为 a、b、c,若2230abc,则角 C 的大小是_(结果用反三角函数值表示)【答案】 1aros3C 20 （2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对） ）已知是

7、第三象限角, in,则 cta_.【答案】 2 21 （2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学） （已校对纯 WORD 版含附加题） ）函数 )4sin(3xy的最小正周期为_.【答案】 22 （2013 年上海市春季高考数学试卷(含答案)）在 ABC中,角 、所对边长分别为 abc、,若 5 860bB， ， ,则 b=_【答案】7 23 （2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯 WORD 版） ）设 ABC的内角 ,ABC所对边的长分别为 ,ac.若 2a,则 3sin5i,AB则角 _.【答案】 32 24 （2013 年普通高等学校招生统一考试新课

8、标卷数学（理） （纯 WORD 版含答案） ）设 为第二象限角,若 1tan()42,则 sinco_.【答案】 105 25 （2013 年高考江西卷（理） ）函数 2sin3siyxx的最小正周期为 T为_.【答案】 26 （2013 年上海市春季高考数学试卷(含答案)）函数 4in3cosyx的最大值是_【答案】5 三、解答题27 （2013 年高考北京卷（理） ）在ABC 中, a=3,b=2 6, B=2 A.(I)求 cosA 的值; (II)求 c 的值.【答案】解:(I)因为 a=3,b=2 6, B=2 A. 所以在ABC 中,由正弦定理得 326siniA.所以 2sinc

9、o23A.故 cos3. (II)由(I)知 6s,所以 23in1cosA.又因为B=2A,所以21cos3BA.所以 2siB. 在ABC 中, 53sini()incossin9CAB. 所以 5iacA. 28 （2013 年高考陕西卷（理） ）已知向量 1(cos,)(3sin,co2),2xxabR, 设函数()fxab. () 求 f (x)的最小正周期. () 求 f (x) 在 0,2上的最大值和最小值. 【答案】解:() ()fxab= )62sin(co21sin32co1sin3co xxxx . 最小正周期 2T. 所以 ),6sin()xf最小正周期为 . () 上

10、 的 图 像 知 ，在， 由 标 准 函 数时 ，当 65,-sin65,-)2(,0 xy . 1,2)(,-)6sin() ffxf. 所以, f (x) 在 0,2上的最大值和最小值分别为 2,. 29 （2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案） ）在 ABC中,内角,ABC的对边分别是 ,abc,且 22abc.(1)求 ; (2)设 2oss32os,55ABAB,求 tan的值.【答案】由题意得 30 （2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案） ）已知函数2()2sin6sincos41,fxxxxR. () 求 f(x)的最小正周期

11、; () 求 f(x)在区间 0,2上的最大值和最小值. 【答案】31 （2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版） ）设向量3sin,cos,inx0,.2axb(I)若 .求 的 值 ； (II)设函数 ,.fabfxA求 的 最 大 值【答案】32 （2013 年高考上海卷（理） ）(6 分+8 分)已知函数 ()2sin()fx,其中常数 0;(1)若 ()yfx在 2,43上单调递增,求 的取值范围;(2)令 2,将函数 ()yfx的图像向左平移 6个单位,再向上平移 1 个单位,得到函数()ygx的图像,区间 ,ab( R且 ab)满足: ()ygx在

12、,ab上至少含有 30 个零点,在所有满足上述条件的 ,ab中,求 a的最小值.【答案】(1)因为 0,根据题意有 34243(2) ()sin()fx, 2sin()12sin()163gxxx 10233gk或 7,kZ, 即 ()x的零点相离间隔依次为 和 , 故若 y在 ,ab上至少含有 30 个零点,则 ba的最小值为 2431453. 33 （2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对） ）设ABC的内角 ,的对边分别为 ,ac,()()ca.(I)求(II)若 31sin4,求 C.【答案】34 （2013 年高考四川卷（理） ）在 ABC中,

13、角 ,的对边分别为 ,abc,且2 3cossin()sico()5ABA.()求 的值;()若 42a, 5b,求向量 BA在 C方向上的投影.【答案】解: 由 2 3cossinsico5BAC,得 3cos1inco5AB, 即 cssiAB, 则 3s5,即 3co5 由 co0,得 4sin, 由正弦定理,有 siniabAB,所以, sin2ibAa. 由题知 b,则 ,故 4. 根据余弦定理,有 22355c, 解得 1c或 7(舍去). 故向量 BA在 C方向上的投影为 2cosBA 35 （2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案） ）设 ABC的内角,

14、所对的边分别为 ,abc,且 6, 2b,7cs9B.()求 ,ac的值; ()求 sin()A的值.【答案】解:()由余弦定理 22cosba,得 22(1cos)acB, 又 6ac, 2b,7cos9B,所以 ,解得 3a, . ()在 AC中,24in1s9, 由正弦定理得 isi3aBb, 因为 ac,所以 A为锐角,所以21cosin3A因此 102sin()sicosin7ABAB. 36 （2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯 WORD 版） ）已知函数()4cosi(0)4fxx的最小正周期为 .()求 的值; ()讨论 fx在区间 ,2上的单调性.【答

15、案】解: ()2)42sin()1cos(sin2)cos(sinco2 xxx1.所以 ,2)4xf () ；解 得， 令时 ，当 8,)4(2,0xxx 所以 .288)( 上 单 调 递 减，上 单 调 递 增 ； 在在fy 37 （2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯 WORD 版） ）已知函数()sin)(0,)fx的周期为 ,图像的一个对称中心为 (,0)4,将函数 ()fx图像上的所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变),在将所得图像向右平移 2个单位长度后得到函数 ()gx的图像.(1)求函数 f与 的解析式;(2)是否存在 0(,)64x,使得

16、00(),()fxgfx按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定 0的个数;若不存在,说明理由(3)求实数 a与正整数 n,使得 ()()Fxfax在 ,)n内恰有 2013 个零点.【答案】解:()由函数 sif的周期为 , 0,得 2 又曲线 ()yfx的一个对称中心为 (,0)4, () 故 (sin204f,得 2,所以 cos2fx 将函数 )x图象上所有点的横坐标伸长到原来的 倍(纵坐标不变)后可得 cosyx的图象,再将 cosy的图象向右平移 个单位长度后得到函数 singx ()当 (,)64x时, 12sinx, 10cos2x 所以 sinco2co 问题转化为方程 sis

17、在 (,)64内是否有解 设 ()si2Gxxx, 则 cocsin(si) 因为 (,)64x,所以 ()0Gx, )在 ,64内单调递增 又 10G, 2 且函数 ()x的图象连续不断,故可知函数 ()Gx在 ,)64内存在唯一零点 0x, 即存在唯一的 0(,)64满足题意 ()依题意, sinco2Fxax,令 ()sinco20Fax 当 sin,即 ()kZ时, s1,从而 ()kZ不是方程 ()0Fx的解,所以方程 ()0x等价于关于 x的方程 inx, 现研究 ,)(,2)U时方程解的情况 令 cos()inhx, 0(,)x 则问题转化为研究直线 ya与曲线 (yhx在 (0

18、,),2)U的交点情况 2cos(i1)()nxh,令 ()0x,得 2或 3 当 变化时 , ()和 h变化情况如下表x02(,)23(,)23(,2)()h0xZ1Z当 0且 趋近于 0时, ()hx趋向于 当 x且 趋近于 时, ()hx趋向于 当 且 趋近于 时, 趋向于 当 2x且 趋近于 2时, ()x趋向于 故当 1a时,直线 ya与曲线 yh在 (0,)内有无交点,在 (,2)内有 个交点; 当 时,直线 与曲线 )x在 内有 2个交点,在 内无交点; 当 时 ,直线 y与曲线 (y在 ,)内有 个交点,在 (,)内有 2个交点 由函数 ()hx的周期性,可知当 1a时,直线

19、ya与曲线 )yhx在 0n内总有偶数个交点,从而不存在正整数 n,使得直线 y与曲线 ()hx在 0,n内恰有 13个交点;当 1a时,直线 ya与曲线 ()yhx在 0,(,2U内有 3个交点,由周期性, 267,所以671234n综上,当 , 12n时,函数 ()()Fxfagx在 0,)n内恰有 013个零点 38 （2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学） （已校对纯 WORD 版含附加题） ）本小题满分 14 分.已知 (cos,in)(cos,i)ab ， , .(1)若 |2ab,求证: b;(2)设 01,若 a,求 的值.【答案】解:(1) 2|a 2|a

20、 即 22bab, 又 1sinco|22 a, 1sinco| b 0 ba (2) ),0(si,(b i0cos即 sin1sico 两边分别平方再相加得: in21 21sin 2n 6,539 （2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯 WORD 版） ）已知函数()2cos1fxx, R.() 求 6f的值; () 若 3cos5, ,2,求 3f. 【答案】() 2cos2cos2cos16614f; () 2 in33f 因为 cos5, ,2,所以 4sin5, 所以 4in2icos5, 227cosin5 所以 3f2in7415. 40 （2013 年

21、高考湖南卷（理） ）已知函数 2()sin)cos().(sin63xfxxg.(I)若 是第一象限角,且 3()5f.求 g的值;(II)求使 ()fxg成立的 x 的取值集合.【答案】解: (I) 53sin)(sin3i2cos12sin3 fxxf . 51in)(,54co)2,0(,53sin g且(II) 2)6si(co21si31sin xxxgxf Zkkk ,62,6 41 （2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学） （已校对纯 WORD 版含附加题） ）本小题满分 16 分.如图,游客从某旅游景区的景点 A处下山至 C处有两种路径.一种是从 A沿直线步

22、行到 C,另一种是先从 A沿索道乘缆车到 B,然后从 沿直线步行到 .现有甲.乙两位游客从 处下山,甲沿 匀速步行,速度为 min/50.在甲出发 in2后,乙从 A乘缆车到 B,在 处停留 min1后,再从匀速步行到 C.假设缆车匀速直线运动的速度为 min/130,山路 长为 260,经测量, 132cos,cs.(1)求索道 的长;(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在 C处互相等待的时间不超过 分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?【答案】解:(1) 132cosA, 5csC ），（、 20CA in, 4i 653sincosinssin CAB）

23、（）（ 根据 ii得 mCAB104in (2)设乙出发 t 分钟后,甲.乙距离为 d,则 132)50(132)01()3(22 ttttd )5073(202td 14t即 8 375时,即乙出发 37分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短. (3)由正弦定理 sinBiAC得 501362sinA(m) 乙从 B 出发时,甲已经走了 50(2+8+1)=550(m),还需走 710 m 才能到达 C 设乙的步行速度为 V min/,则 35071v 350713v 462 为使两位游客在 C处互相等待的时间不超过 3分钟,乙步行的速度应控制在 14625,30范围内 法二:解:(1)如图作 B

24、D CA 于点 D, 设 BD=20k,则 DC=25k,AD=48k, AB=52k,由 AC=63k=1260m, 知: AB=52k=1040m. (2)设乙出发 x 分钟后到达点 M, 此时甲到达 N 点,如图所示. 则: AM=130x,AN=50(x+2), 由余弦定理得: MN2=AM2+AN2-2 AMANcosA=7400 x2-14000 x+10000, CBA其中 0 x8,当 x= (min)时, MN 最小,此时乙在缆车上与甲的距离最短. 3537(3)由(1)知: BC=500m,甲到 C 用时: = (min). 126050 1265若甲等乙 3 分钟,则乙到

25、 C 用时: +3= (min),在 BC 上用时: (min) . 1265 1415 865此时乙的速度最小,且为:500 = m/min. 865125043若乙等甲 3 分钟,则乙到 C 用时: -3= (min),在 BC 上用时: (min) . 1265 1115 565此时乙的速度最大,且为:500 = m/min. 56562514故乙步行的速度应控制在 , 范围内. 125043 6251442 （2013 年高考湖北卷（理） ）在 ABC中,角 , , 对应的边分别是 a,b,c.已知cos231ABC.(I)求角 的大小;(II)若 的面积 53S,b,求 sin的值

26、.【答案】解:(I)由已知条件得: co231A 2cos320A,解得 ,角 60 (II) 1in5Sb4c,由余弦定理得: 2a,28sinaRA2si47cBCR43 （2013 年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学（理） （纯 WORD 版含答案） ）A在内角 ,的对边分别为 ,abc,已知 cosinbCB.CBADMN()求 B;()若 2b,求 AC面积的最大值.【答案】44 （2013年高考新课标1（理） ）如图,在ABC中,ABC=90,AB= ,BC=1,P为ABC内一点,3BPC=90(1)若 PB= ,求 PA;(2)若APB=150,求 tanPBA12【答案】(

27、)由已知得,PBC= o60,PBA=30 o,在PBA 中,由余弦定理得 2PA=o132cs304= 74,PA= 2; ()设PBA= ,由已知得,PB= sin,在PBA 中,由正弦定理得, oo3sinsin150(),化简得, 3cos4in, tan= , taPBA= 3. 45 （2013 年上海市春季高考数学试卷(含答案)）本题共有 2 个小题,第一小题满分 4 分,第二小题满分 9 分.在平面直角坐标系 xOy中,点 在 y轴正半轴上,点 nP在 x轴上,其横坐标为 nx,且 是首项为 1、公比为 2 的等比数列,记 1nPA, N.(1)若 3arctn,求点 的坐标;

28、(2)若点 A的坐标为 (0 8)， ,求 n的最大值及相应 n的值.解(1)(2)【答案】解(1)设 (0 )At， ,根据题意, 12nx.由 31arctn,知 31ta, 而344334322()tant()1txttOP, 所以 241t,解得 t或 8t. 故点 A的坐标为 (0 4)， 或 ( ， . (2)由题意,点 nP的坐标为 12 0)n， ,12ta8nOAP. P20 xyAP1 P3 P4111 228tant() 6288nnnn nOAP. 因为 16228n,所以 1ta42n, 当且仅当nn,即 4时等号成立. 易知 0 ta2nyx， 在 (0 )2， 上为增函数, 因此,当 4时, n最大,其最大值为 2arctn4. 46 （2013 年高考江西卷（理） ）在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知cosC+(conA- sinA)cosB=0.(1) 求角 B 的大小;若 a+c=1,求 b 的取值范围【答案】解:(1)由已知得 cos()cso3sinco0ABAB 即有 sin3sin0A 因为 0,所以 cs,又 cs0,所以 ta, 又 B,所以 3. (2)由余弦定理,有 22cosbaB. 因为 1,cosa,有 21()4. 又 0,于是有 24,即有 b.