1、第七节 双曲线1. 已知双曲线 的左、右焦点分别是 、 其中一条渐近线方程为y=x21(0)yxb1F2，点 在双曲线上,则 等于( ) 0(3)P 12PFA.-12 B.-2 C.0 D.4 答案:C 解析:由渐近线方程为 y=x知双曲线是等轴双曲线,双曲线方程是 于是两焦点坐标2xy分别是(-2,0)和(2,0),且 或 .不妨设 则(31)P()(31)P.12(23)PFF . ()(2)02.设双曲线 b0)的渐近线与抛物线 相切,则该双曲线的离心率等102yxab 21yx于 ( ) A. B.2 3C. D. 5 6答案:C 解析:由题可知双曲线 b0)的一条渐近线方程为 代入
2、抛物线方程整理21(0yxab bxay得 bx+a=0, 因渐近线与抛物线相切,所以 即 故选2ax 240b25ceC. 3.已知双曲线 的离心率为 2,焦点与椭圆 的焦点相同,那么双曲线的焦12yab25x19y点坐标为,渐近线方程为 . 答案: (40)30xy解析:椭圆 的焦点坐标为 所以双曲线的焦点坐标为 .在双曲线2159(40) (40)中,c=4,e=2, 21yxab . 3渐近线方程为 . 0xy4.直线 l:ax-y-1=0与双曲线 C: 相交于点 P 21xyQ、(1)当实数 a为何值时,|PQ| ; a(2)是否存在实数 a,使得以 PQ为直径的圆经过坐标原点?若存
3、在,求出 a的值;若不存在,说明理由. 解:设 12()()PxyQ由 得 . 20a21430ax从而 12124x|PQ| 1212()axx2a即 整理得: =0,解得 243()44121a即 . 1a 2221()()yxax12()ax. 341a由题意得 , OPQ 120xy即 舍去).故不存在. 231(aa见课后作业 B 题组一 双曲线的离心率 1.下列曲线中离心率为 的是( ) 62A. B. 214yx214yxC. D. 6 0答案:B 解析:由 得 选 B. 2e2311cbaa2.过双曲线 b0)的右顶点 A作斜率为-1 的直线,该直线与双曲线的两条渐近(0yxb
4、线的交点分别为 B,C.若 ,则双曲线的离心 率是( ) AB12CA. B. C. D. 23510答案:C 解析:对于 A(a,0),则直线方程为 x+y-a=0,直线与两渐近线的交点为 2()abB 则有2(aCb)= B2()abAB(ab)2 = , . . A245e3.设 和 为双曲线 b0)的两个焦点 ,若 是正三角形的三个1F21(0yxab 12(0)FPb顶点,则双曲线的离心率为( ) A. B.2 C. D.3 3 52答案:B 解析:由 tan 得 则 故选 B. 362cb24()cbcace4.设双曲线 b0)的虚轴长为 2,焦距为 则双曲线的渐近线方程为( )
5、1(0yxa 23A. B. 2yyxC. D. 2yx 12yx答案:C 解析:由已知得到 因为双曲线的焦点在 x轴上,故渐近线方程为213bcacby= . xa25.若双曲线 的渐近线方程为 则 b等于 . 1(0)4yb12yx答案:1 解析:椭圆 的渐近线方程为 又渐近线方程为 故 b=1. 2yxbbyx 12yx题组二 双曲线的综合应用 6.已知双曲线 b0)的一条渐近线方程是 它的一个焦点在抛物线21(0yxa 3yx的准线上,则双曲线的方程为( ) 24yA. B. 13608x2197yxC. D. 2y2答案:B 解析:双曲线 b0)的渐近线方程为 1(02yxab by
6、xa . 3ba抛物线 的准线方程为 x=-6, 24yx-c=-6. 又 . 22cab由得 . 3 . 297双曲线方程为 . 21yx7.方程 表示焦点在 x轴上的双曲线,则 k的取值范围是 . 22(1)xky答案:-10) 的一条渐近线方程是 它的一个焦点与抛物1(02yxab 3yx线 的焦点相同,则双曲线的方程为 . 216y答案: 4x解析:由条件知双曲线的焦点为(4,0), 所以 解得 . 2163ab23ab故双曲线方程为 . 142yx10.过双曲线 C: b0)的一个焦点作圆 的两条切线,切点分别为(0ab 22xyaA,B,若 (O是坐标原点 ),则双曲线 C的离心率
7、为 . 12AOB答案:2 解析: . 060AF30AO2ca2ce11.已知以原点 O为中心, 为右焦点的双曲线 C的离心率 . (5) 5(1)求双曲线 C的标准方程及其渐近线方程; (2)如图,已知过点 的直线 : 与过点 其中1()Mxy1lx14y2()Nxy) 的直线 : 的交点 E在双曲线 C上,直线 MN与双曲线的两条渐近线21x2l24分别交于 G 的值.求OGH 的面积. HO、 两 点 求 H解:(1)设 C的标准方程为 b0),则 21(0yxab由题意 又 5c5cea因此 . 21abC的标准方程为 . 24xyC的渐近线方程为 即 x-2y=0和x+2y=0.
8、1(2)方法一:如图,由题意点 在直线 : 和 : 上,因此()Exy1l14xy2l24xy有 . 112244Exy故点 M x 上,因此直线 MN的方程为 . N、 均 在 直 线 4Ey4Exy设 G 20Hxxy、 分 别 是 直 线 与 渐 近 线 及 的 交 点由方程组 及 420Exy420Exy解得 2GExy2HxyE故 . OH4xyxy 2124xyxyE因为点 E在双曲线 上,有 2142E24所以 . OGH3xy方法二:设 由方程组 ()E11224Exy解得 ()121Exyxy因 则直线 MN的斜率 . 2 21kx4xE故直线 MN的方程为 1()4Ey注意
9、到 因此直线 MN的方程为 . 114Ex 4Exy下同方法一. 12.已知斜率为 1的直线 l与双曲线 C: b0)相交于 B 21(0ab(13)DBM、 两 点 且 的 中 点 为(1)求 C的离心率; (2)设 C的右顶点为 A,右焦点为 F,|DF| |BF|=17, 证明过 A x、 、 三 点 的 圆 与 轴 相 切解:(1)由题设知,l 的方程为 y=x+2. 代入 C的方程,并化简,得 222()40baxab设 、D(x 1By2)则 1212244aabxxb 由 M(1,3)为 BD的中点知 故 2411ab即 23故 2ca所以 C的离心率 . cae(2)由知,C 的方程为 223xyaA(a,0),F 0, 1212(0)a43故不妨设 . x|BF| 2221111()()3ayxaxax|FD| . 2222x|BF| |FD| 1()x2124xa. 58又|DF| |BF|=17, 故 2417a解得 a=1或 舍去). 9(5故|BD| | | . 212x211()46xx连结 MA,则由 A(1,0),M(1,3)知|MA|=3,从而 MA=MB=MD,且 轴,因此以 M为圆心,MA 为Ax半径的圆经过 A BDAx 、 、 三 点 且 在 点 处 于 轴 相 切所以过 A x、 、 三 点 的 圆 与 轴 相 切
