1、1突破点 7 随机变量及其分布(对应学生用书第 26 页)核心知识提炼提炼 1 离散型随机变量的分布列离散型随机变量 X 的分布列如下：X x1 x2 x3 xi xnP p1 p2 p3 pi pn则(1) pi0.(2)p1 p2 pi pn1( i1,2,3， n)(3)E(X) x1p1 x2p2 xipi xnpn为 X 的均值或数学期望(简称期望)D(X)( x1 E(X)2p1( x2 E(X)2p2( xi E(X)2pi( xn E(X)2pn叫做随机变量 X 的方差(4)均值与方差的性质 E(aX b) aE(X) b； D(aX b) a2D(X)(a， b 为实数)(5
2、) 两点分布与二项分布的均值、方差若 X 服从两点分布，则 E(X) p， D(X) p(1 p)；若 X B(n， p)，则 E(X) np， D(X) np(1 p).提炼 2 几种常见概率的计算(1)相互独立事件同时发生的概率P(AB) P(A)P(B)(2)独立重复试验的概率如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p，那么它在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率为 Pn(k)C pk(1 p)n k， k0,1,2， n.kn高考真题回访回访 1 离散型随机变量及其分布列1(2013浙江高考)设袋子中装有 a 个红球， b 个黄球， c 个蓝球，且规定：取出一个红球得 1 分，
3、取出一个黄球得 2 分，取出一个蓝球得 3 分(1)当 a3， b2， c1 时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2 个球，记随机变量 为取出此 2 球所得分数之和，求 的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1 个球，记随机变量 为取出此球所得分2数若 E ， D ，求 a b c. 【导学号：68334087】53 59解 (1)由题意得 2,3,4,5,6.故 P( 2) ， 1 分3366 14P( 3) ， 2 分23266 13P( 4) ， 3 分231 2266 518P( 5) ， 4 分22166 19P( 6) . 5 分1166 136所以 的
4、分布列为 2 3 5 5 6P 14 13 518 19 1366 分(2)由题意知 的分布列为 1 2 3P aa b c ba b c ca b c所以 E( ) ， 10 分aa b c 2ba b c 3ca b c 53D( ) 2 2 2 ，(153) aa b c (2 53) ba b c (3 53) ca b c 59化简得Error! 13 分解得 a3 c， b2 c，故 a b c321. 15 分回 访 2 离散型随机变量的均值与方差2(2017浙江高考)已知随机变量 i满足 P( i1) pi， P( i0)1 pi， i1,2.若 0D( 2)C E( 1)E(
5、 2)， D( 1)E( 2)， D( 1)D( 2)A 由题意可知 i(i1,2)服从两点分布， E( 1) p1， E( 2) p2， D( 1) p1(1 p1)， D( 2) p2(1 p2)3又0p2， E( 1)E( 2)C p1p2， E( 1)E( 2)D p10，所以 p1p2.n6 m n4(2014浙江高考)随机变量 的取值为 0,1,2.若 P( 0) ， E( )1，则 D( )154_.设 P( 1) a， P( 2) b，25则Error! 解得Error!所以 D( ) 0 1 .15 35 15 25(对应学生用书第 27 页)热点题型 1 相互独立事件的概率
6、题型分析：高考主要考查相互独立事件概率的求解及实际应用，对事件相互独立性的考查相对较频繁，难度中等.【例 1】 (1)投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )A0.648 B0.432 C0.36 D0.312(2)如图 71，由 M 到 N 的电路中有 4 个元件，分别标为 T1， T2， T3， T4，电流能通过T1， T2， T3的概率都是 p，电流能通过 T4的概率是 0.9.电流能否通过各元件相互独立已知 T1， T2， T3中至少有一个能通过电流的概率为 0.999.图
7、 71求 p；求电流能在 M 与 N 之间通过的概率(1)A 3 次投篮投中 2 次的概率为 P(k2)C 0.62(10.6)，投中 3 次的概率为23P(k3)0.6 3，所以通过测试的概率为 P(k2) P(k3)C 0.62(10.6)230.6 30.648.故选 A.(2)记 Ai表示事件：电流能通过 Ti， i1,2,3,4， A 表示事件： T1， T2， T3中至少有一个能通过电流，B 表示事件：电流能在 M 与 N 之间通过 1 2 3， 1， 2， 3相互独立， 2 分A A A A A A A P( ) P( 1 2 3)A A A A P( 1)P( 2)P( 3)(
8、1 p)3. 3 分A A A 5又 P( )1 P(A)10.9990.001， 4 分A 故(1 p)30.001， p0.9. 6 分 B A4 4A1A3 4 1A2A3， 10 分A A A P(B) P(A4 4A1A3 4 1A2A3)A A A P(A4) P( 4A1A3) P( 4 1A2A3)A A A P(A4) P( 4)P(A1)P(A3) P( 4)P( 1)P(A2)P(A3)A A A 0.90.10.90.90.10.10.90.90.989 1. 15 分方法指津求相互独立事件和独立重复试验的概率的方法(1)直接法：正确分析复杂事件的构成，将复杂事件转化为
9、几个彼此互斥的事件的和事件或几个相互独立事件同时发生的积事件或独立重复试验问题，然后用相应概率公式求解(2)间接法：当复杂事件正面情况比较多，反面情况较少，则可利用其对立事件进行求解对于“至少” “至多”等问题往往也用这种方法求解变式训练 1 (2017杭州学军中学高三模拟)商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖每次抽奖都是从装有 4 个红球、6 个白球的甲箱和装有 5 个红球、5 个白球的乙箱中，各随机摸出 1 个球在摸出的 2 个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有 1 个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖，则顾客抽奖 1 次能获奖的概率是_；若某顾客有 3 次抽奖机会
10、，记该顾客在 3 次抽奖中获一等奖的次数为 X，则 E(X)_. 【导学号：68334089】由题得，在甲箱中抽中红球、白球的概率分别为 ，在乙箱中抽中红球、白710 35 2535球的概率分别为 ， .抽奖一次不获奖的概率为 ，所以其(对立事件)获奖的概12 12 35 12 310率为 1 .因为每次获得一等奖的概率为 ，3 次抽奖相互独立，故 E(X)310 710 25 12 15 np3 .15 35热点题型 2 离散型随机变量的分布列、期望和方差题型分析：离散型随机变量的分布列问题是高考的热点，常以实际生活为背景，涉及事件的相互独立性、互斥事件的概率等，综合性强，难度中等.6【例
11、2】 (1)(2017萧山中学高三仿真考试)随机变量 X 的分布列如下表，且 E(X)2，则 D(2X3)( )X 0 2 aP 16 p1 13A.1 B2 C4 D5C 由题可得 p1 1，解得 p1 .所以 E(X)0 2 a 2，解得 a3.16 13 12 16 12 13所以 D(X)(02) 2 (22) 2 (32) 2 1，所以 D(2X3)4 D(X)4，故16 12 13选 C.(2)(2017绍兴市方向性仿真考试)设 X 是离散型随机变量， P(X x1) ， P(X x2)23，且 x1 x2，若 E(X) ， D(X) ，则 x1 x2( )13 43 29A. B
12、. 53 73C. D3113D 由已知得Error!解得Error!或Error!因为 x1 x2，所以Error!所以 x1 x2123，故选 D.方法指津解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路：1 明确随机变量可能取哪些值.2 结合事件特点选取恰当的计算方法，计算这些可能取值的概率值.3 根据分布列和期望、方差公式求解.提醒：明确离散型随机变量的取值及事件间的相互关系是求解此类问题的关键.变式训练 2 (1)(2017温州九校协作体高三期末联考)将四位同学等可能地分到甲、乙、丙三个班级，则甲班级至少有一位同学的概率是_，用随机变量 表示分到丙班级的人数，则 E _. 【导学号：6
13、8334090】甲班级没有分到同学的概率为 ，所以甲班级至少有一位6581 43 1 1 C14 C24 C3434 1681同学的概率为 1 .随机变量 的可能取值为 0,1,2,3,4，则 P( 0)1681 6581 ， P( 1) ， P( 2) ， P( 3)1681 C14 1 1 C23 C1334 3281 C24 1 1 234 2481 ， P( 4) ，于是C34234 881 134 1817E 0 1 2 3 4 .1681 3281 2481 881 181 43(2)(2017金华十校高考模拟考试)设随机变量 X 的分布列为X 1 2 3P 12 15 a则 a_； E(X)_.由分布列的概念易得 a1，解得 a ，则 E(X)310 95 12 15 3101 2 3 .12 15 310 95
