1、317映 射 空 间在数学分析中我们曾利用多项式函数去逼近连续函数.在数学分析中逼近的概念与度量有关,也就是说把一类特殊的函数作成一个度量空间,然后去研究这个度量空间的性质,然而拓扑概念的引入使得我们可以在更广泛的意义下去研究相应的问题,在本章中我们介绍映射集合的点式收敛拓扑,一致收敛拓扑和紧致开拓扑.1 点式收敛拓扑设 X 是一个集合,Y 是一个拓扑空间,我们把从 X 到 Y 的所有映射构成的集合记作 YX,由笛卡尔积的定义可见 YX 就是笛卡尔积.Xx对任意 ,令 为 YX 的第 x 个投射,则对任意eXx:， 恰是映射 在 x 处的象，因此我们Yf)(fxf称投射 为 在点 处的赋值映射
2、.eX另一方面, YX 的积拓扑已有定义, YX 的积拓扑 T 有一个子基为:S= 是 Y 中的一个开集.Uxx|)(1我们称 YX 的积拓扑 T 为 YX 的点式收敛拓扑,将拓扑空间(YX,T )称为从集合 X 到拓扑空间 Y 的点式收敛拓扑映射空间.在点式收敛拓扑映射空间(Y X,T )中,一个基成员结构如图 1.1)(3121eeUxxx318图 1.1结构图，其中 U1，U 2，U 3 是 Y)()(3121eUexx中开集.由于从集合 X 到拓扑空间 Y 的点式收敛拓扑映射空间是一类特殊的积空间(各坐标空间相同 ),因此关于积空间的一般结论全部适用于它,我们简要归纳如下:定理 1.1
3、 设 X 是一个集合,Y 是一个拓扑空间,则点式收敛拓扑映射空间 YX 是 T0(T1, T2, T3, T3.5,正则,完全正则,或紧致 )的当且仅当拓扑空间 Y 是 T0(T1, T2, T3.5,正则,完全正则,或紧致)的.定理 1.2 设 X 是一个集合,Y 是一个拓扑空间,则点式收敛拓扑映射空间 Y X 满足第二可数性公理(满足第一可数性公理 )当且仅当或者 Y 是一个平庸空间 ,或者 X 是一个可数集并且 Y 满足第二可数性公理( 满足第一可数性公理 ).定理 1.3 设 X 是一个集合,Y 是一个拓扑空间,则点式收敛拓扑映射空间 Y X 中的序列 收敛于 当且仅当对于每一Zif)
4、(Xf个 ，拓扑空间 Y 中的序列 收敛于 f(x).xZiix)(319定义 1.1 设 X 和 Y 是两个拓扑空间,记 C(X,Y)为从 X 到 Y 的所有连续映射构成的集合,因此 C(X,Y) Y X,C(X,Y)作为点式收敛拓扑映射空间 Y X 的子空间称为从拓扑空间 X 到拓扑空间 Y 的点式收敛拓扑连续映射空间.C( X,Y)的拓扑也叫做点式收敛拓扑.C(X,Y)作为 YX 的子空间,它可以继承 YX 的许多性质.例如 ,当Y 是 Hausdorff 空间时,由定理 1.1 知,点式收敛拓扑映射空间 YX 也是 Hausdorff 空间,从而 C(X,Y)作为 YX 的子空间也是
5、Hausdorff 空间,其它相应结论由读者自行写出并完成证明.定理 1.4 设 X 是一个 T3.5 空间,则从 X 到实数空间 R 的所有连续映射构成的集合 C(X,R)是点式收敛拓扑映射空间 RX中的一个稠密子集.证明:需要证明的是点式收敛拓扑映射空间 RX 中的任意非空开集与 C(X,R)有非空的交,也就是需证明点式收敛拓扑映射空间RX 中的任何一个非空开集中都有 C(X,R)中的元素,这又只需证明RX 中的某一个基中的每一个非空元素中都有 C(X, R )中的元素.由点式收敛拓扑映射空间的定义, R X 有一个子基S= 是 R 中一个开集, .Uex|)(1 x其中 是在点 x 处的
6、赋值映射,e x(f)=f(x),则 S 的非X:空有限子族之交的全体构成的集族 B 是点式收敛拓扑映射空间 R X 的一个基.设 B, ,令.)()(11nxxe其中 ,Ui 是 中的非空开集 , ,且 i j 时 xiiRni21xj.对于 ,取 使得 ai 1,由于 X 是一个2 ii320Tychonoff 空间 ,x1, xn-xi是 X 中闭集,故存在连续映射使得RXgi:.,2,)( ijiaiji 定义映射 ，使得对于任意 ，g: xg(x)=g1(x)g2(x)gn(x)显然,对于 , ,因此 ,又 gi 都i, iiiUa连续,因此 也连续,因此 C(X,R) U.RX:
7、推论 1.5 设 X 是一个 Tychonoff 空间, ,则对于任意Xf:给定的实数 ,和 X 中有限个点 x1, x2,xn,存在一个连续映射0使得对 , .g: ni2,1)(iigf由推论 1.5 能够直观的感觉到,点式收敛拓扑是刻画映射在有限个点处连续逼近的拓扑,也能够使我们体会到讨论映射集合上不同拓扑的必要性.习 题 11. 设 X 是一个 Tychonoff 空间，并且只包含可数多个点，映射空间 取点式收敛拓扑，证明如果 ，则存在RXfRC(X， )中的一个序列 收敛于 f.Zif2. 考虑点式收敛拓扑空间 I，其中 I=0,1.对于每一个，定义 使得对于 ， ，证明： IZiI
8、ifxiixf)(中的序列 收敛，但其极限不是一个连续函数.Z3212 紧致开拓扑为了叙述方便,我们先引进一个记号 :),(BEW设 X 和 Y 是两个集合，对于 E X，B Y，令.)(|),(ffBEWX定义 2.1 设 X 是一个集合,Y 是一个拓扑空间,E 是 X 的一个子集族,则全体从 X 到 Y 的映射构成的映射族 Y X 的子集族 :SE= E,U 是 Y 的一个开集的并是 YX，|),(所以 YX 有唯一拓扑 TE 以 SE 为它的一个子基，Y X 的拓扑 TE 称为YX 的 E 开拓扑，拓扑空间(Y X，T E)称为 E 开拓扑映射空间.显然,如果以 P 记 X 中所有单点子
9、集构成的族,那么 TP 就是YX 的点式收敛拓扑 ,因此点式收敛拓扑又称为点开拓扑.在定义 2.1 中,如果 E1 和 E2 都是 X 的子集族,并且 E1 E2,则,于是 .21ES21定义 2.2 设 X,Y 是两个拓扑空间,C 是 X 的全体紧致子集构成的集族,则从 X 到 Y 的全体映射构成的集合 YX 的 C 开拓扑 TC称为 YX 的紧致开拓扑 .拓扑空间( YX,TC)称为紧致开拓扑映射空间.在紧开拓扑映射空间(Y X,TC)中,拓扑基的一个成员的结构如图2.1322结构，其中 K1，K 2 是 X 中紧致),(),(21UKWU子集，U 1，U 2 是 Y 中开集.图 2.1从
10、 X 到 Y 的全体连续映射构成的集合 C(X,Y)作为紧致开拓扑映射空间的子空间称为紧致开拓扑连续映射空间,并且 YX 的紧致开拓扑在 C(X,Y)上的限制也叫做 C(X,Y)的紧致开拓扑.由于每一个单点集都是紧致子集,因此有 P C(P 为 X 的单点集族), 从而有:定理 2.1 设 X 和 Y 是两个拓扑空间,分别记 TP 和 TC 为从 X到 Y 的全体映射构成的集合 YX 的点式收敛拓扑和紧致开拓扑 ,则TP TC,因此对于每一个 ,赋值映射 对于 YX 的紧xeXx:致开拓扑而言是一个连续映射.根据同样的理由可见,当 Y 是 T0,T1 或 T2 空间时,紧开拓扑映射空间 YX
11、以及紧开拓扑连续映射空间 C(X,Y)相应地也是 T0,T1 或T2 空间,但是当 Y 是正规,满足第二可数性公理或满足第一可数性公理时并不蕴涵紧致开拓扑映射空间 YX 和紧致开拓扑连续映射空间具有相应的性质,然而当 Y 是正则空间时 ,紧致开拓扑连续映射空间 C(X,Y)仍然是正则空间.323引理 2.2 设 X 是一个拓扑空间,Y X,如果 S 是 X 的一个子基,并且对于每一个 y Y 和 S 中任何一个包含 y 的元素 S,存在 S 中一个包含 y 的元素 T,使得 T 在拓扑空间 X 中的闭包 ,则 Y 作为TX 的子空间是一个正则空间.证明:首先,对于 y Y 和 y 在 X 中的
12、一个开邻域 U,存在 y 在X 中的一个开邻域 V 使得 .这是因为根据子基定义可见,存在US 中有限个元 S1,Sn 使得 ,又当 S 满足引理条件时,对in1存在 Ti S,使得 y Ti,而且 Si,于是 V= 是i2,i inT1y 的一个邻域,并且 :.ininin111)(现设 U1 是 y Y 在子空间 Y 中的一个开邻域，由子空间拓扑定义知，存在 y 在 X 中的开邻域 U 使得 ，由前面结Y论知存在 y 在 X 中的开邻域 V 使得 ，令 V1=V ，则V1 是 y 在子空间 Y 中的一个开邻域，又 V1 在 Y 中的闭包即为 V1在 X 中的闭包 与 Y 的交，因此包含于
13、U1 中，从而证明了子空1间 Y 是一个正则空间.定理 2.3 设 X,Y 是两个拓扑空间,如果 Y 是一个正则空间,则紧致开拓扑连续映射空间 C(X,Y)也是一个正则空间.证明:紧致开拓扑连续映射空间 C(X,Y)是紧致开拓扑映射空间 YX 的一个子空间 ,由定义 2.1 知紧致开拓扑映射空间 YX 有一个子基.SC= K 是 X 中的一个紧致子集,U 是 Y 中一个开|)(W集, 因此紧致开拓扑连续映射空间 C(X,Y)有一个子基:=SC|C(X,Y) 现应用引理 2.2 证明定理 2.3324设 C(X,Y),其中 K 是 X 中一个紧致子集，U),(UKWf是 Y 中一个开集 ,由于
14、Y 是一个正则空间 ,所以对 存Kfy)(在 y 的一个开邻域 Vy 使得 ,集族 是 f(K)的y|V一个开覆盖.由于 f 是一个连续映射,因此 f(K)是 Y 的一个紧致子集,因此 f(K)的开覆盖 有一个有限子覆盖)(|fy,令 ,则 V 是一个开集,并且易见nyV,21 iyn1,由此 SC ,此外:fWf=)(1iyiUiyni1因此 ),(,K又由于 xx),(VYXKWYx其中对 是相对于 YX 的紧致开拓扑的一),(,x个开集,从而 是一个闭集.由于 ,因此)V)(),(K,)(UKW从而根据引理 2.2 可知紧致开拓扑连续映射空间 C(X,Y)是一个正则空间.习 题 2 1.
15、 设 X,Y 是两个拓扑空间，定义映射r:C(X,Y )C (X1,Y ) (其中 X1 X )325使得对 ， ，证明对于 ，),(YXfC1|(Xfr),(YXC的紧致开拓扑而言，映射 r 连续.),(12. 设 X 和 Y 是两个拓扑空间，映射 e:C(X,Y )XY 使得对每个( f,x) C(X,Y)X，有e(f,x)=f(x)则称 e 为赋值映射 ,证明对于 C(X,Y)的紧致开拓扑而言,赋值映射e 是一个连续映射 .3 一致收敛度量和一致收敛拓扑定义 3.1 设 X 是一个集合,( Y,d)是一个度量空间,记 YX 为从X 到 Y 的全体映射构成的集合,定义,使得对于 ,Rd:
16、XYgf,.,|)(, ,)(),( 11其 它 情 形使 得存 在 xfdSupxgf易证 是一个度量，称之为 YX 的一致收敛度量.度量空间(Y X,)称为一致收敛度量映射空间 .由一致收敛度量 诱导出来的 YXd d的拓扑 称为 YX 的一致收敛拓扑,拓扑空间(Y X, )称为一致收dTT敛拓扑映射空间.在(Y X, )中,映射 f:XY 的 一邻域 ，如图 3.1.,(fBd当 X 也是一个拓扑空间时,从 X 到 Y 的所有连续映射构成的集合 C(X,Y)作为度量空间(Y X, )的度量子空间称为一致收敛度量连续映射空间.这时,它的度量也称为一致收敛度量,它作为拓326扑空间(Y X,
17、 )的子空间称为一致收敛拓扑映射空间,这时它的拓dT扑也称为一致收敛拓扑.映射 f 的 -邻域 结构图，图中实线为 f，虚线为),(fBdg， ，两条平行虚线为 的边界.),(d),(fd图 3.1定义 3.2 设 X 是一个集合,(Y, )是一个度量空间,称映射集合YX 中的一个序列 一致收敛于映射 ,如果对于任意给ZifXYf定的实数 0，存在整数 N0 使得当 iN 时，对于任何 ， x有 .)(,xfi定理 3.1 设 X 是一个集合, (Y, )是一个度量空间,在一致收敛度量映射空间中的一个序列 收敛于 当且仅当序ZifXf列 一致收敛于 .ZifXf证明:充分性设 是 YX 中的一
18、个序列,序列 一致收敛于i Zif,则对任意给定的实数 0,存在整数 N0 使得当 iN 时，Xf 对于任何 ，有x.)(,xfi327因此对于任意给定的实数 0,存在整数 N0 使得当 iN 时，,其中 是 YX 的一致收敛度量,因此序列 相对),(fi Zf于 YX 的一致收敛度量而言收敛于 .Xf必要性由读者自行完成.引理 3.2 设 X 是一个拓扑空间,( Y,d)是一个度量空间, 是一个连续映射序列,如果 一致收敛于Znnf: Znf,那么 f 是连续映射.证明:设 V 是 Y 中开集, ,根据习题3.2.1 我们只)(10Vfx需证明存在 x0 的邻域 U 使得 .由于 ,因此必存
19、在球形邻域 使得f)( ),(0xfB.Bf(0由于 一致收敛于 f，因此存在 N0 使得 nN 时对Znf任意 有Xx,因此有 ,31)(,(xffdn 3)(,(xffd.)0N又由于 是连续映射,由习题3.2.1 知存在 x0 的邻Yf:域 UN 使得 ,因此对 有:)()(30xfBNNUx1,d因此,对 ,Nx )(,)(,)()( 000 xfdxfxffd NN因此 .VB,0328定理 3.3 设 X 是一个拓扑空间,( Y,d)是一个度量空间,则在一致收敛拓扑映射空间( YX, )中,如果集合 C(X,Y)中的序列dT收敛于 ,那么 C(X,Y),(其中 是 YX 的一致收敛
20、Znfffd度量), 从而 C(X,Y)是一致收敛拓扑映射空间中的一个闭集.证明:这是引理 3.2,定理 3.1 的直接结果 . C(X,Y)是一个闭集的根据是定理 6.1.3 和(Y X, )是一个度量空间.d定理 3.4 设 X 是一个集合,( Y, )是一个完备的度量空间,则一致收敛度量映射空间(Y X, )也是一个完备的度量空间.证明:设 是 YX 中相对于一致收敛度量而言的一个ZifCauchy 序列,因而对 存在 N0 使得 i,jN 时,1,0(,因此不妨假设对 ,因此,对于每)(jif 1)(,jifZji一个 ,x(见定义 3.1),)(jiji fxf因此 是 Y 中的一个
21、 Cauchy 序列,由度量空间 (Y, )的Zf 完备性和度量空间是 Hausdorff 空间知 有唯一的极限Ziixf)(f(x),这样便定义了一个映射 .YXf:现在证明: flimn给定实数 0,选取 N0 使得对于 i,jN 有 . 21),(jif因此对每个 有 ,再对 ,由于x21)(,(xfji Xx,取 MxN,使得当 jM x 时有)(ffli,21(jx329因此当 iN 时有: )(,(),()(,( xffxfxf xMMi从而当 iN 时有 .,i下面指出度量空间的一致收敛度量拓扑和紧致开拓扑之间的一个关系.定理 3.5 设 X 是一个紧致空间,( Y, )是一个度
22、量空间,则连续映射空间 C(X,Y)的一致收敛拓扑和紧致开拓扑是一致的.证明:设 T, 分别是 C(X,Y)的一致收敛拓扑和紧开拓扑, 是映射集合 YX 的一致收敛度量.第一步:证明 设 ,其中 K 是 X 中紧致子集,U 是 Y)(),(UKWf中开集,我们只需证 W(K,U)是 f 相对于 C(X,Y)的一致收敛拓扑 T而言的一个邻域,即证存在 使得 .0),(WfB当 K= 或 U=Y 时均有 W(K,U) C(X,Y)=C(X,Y),结论显然成立,当 K 且 U Y 时,由于 f 是一个连续映射,因此 f(K)是开集 U 中的一个非空紧致子集，并且 YU 是 Y 的一个非空闭集,因此=
23、 (f(K),YU)=inf (y1,y2)|y1 f(K),y2 YU0,取满足 ,因此可见 (f, ) W(K,U)，(其min0B中 (f, )是相对于度量 而言的球形邻域 ),这是因为如果B,则对每个 有 ,从而 (g(x),f(x)gXx)gf ,因此当 时,g(x ) ,因此 g(K) U,即 g .第二步: ,只需证明 C(X,Y)的相对于度量 而言的球Tf 形邻域 也是 f 相对于紧致开拓扑 而言的一个邻域 .),(f T330设 ,由于 f 是连续映射,X 是紧致空间,因此 f(X)是 Y10的一个紧致子集,又集族 是 f(X)的一个覆|)(31xfB盖,所以有有限子覆盖,设
24、为 ),(,),(),( 31312 fBfxfBn对于 ,令 和 ,2,ni,311iixfK52iixfU则 Ki 是 X 中闭集,从而是 X 中的紧致子致，U i 是 Y 中开集,此时有:,和 Uin21 ),()(31iixfBf因此，令 ,(),(Wii C)(),21 nK则有 .f下证 .),(fB如果 ,由于对 ,存在 使得 ,gXxni,21ix则有 ,从而有 , 1 iiUKx)( 5)(ifxg,从而 , 2 )(3iifBf31,ix因此 )()(,( fxxg ii1552由 x 的任意性知 :331.|)(,),( XxgfSupfg因此 ,因此 .BfBW习 题
25、31. 试用图在一致收敛度量映射空间中给出 f:XY 的一个球形邻域.2. 设 X 是一个集合，(Y , )是一个度量空间，令F =f YX | f (X)是 Y 中一个有界子集 定义 d:F F R，对 f，g Fd(f,g)=sup (f(x)，g(x)|x X验证(1) d 是 F 的一个度量.(2) 对 f,g F，如果 d(f,g)1，则 ，如果1),(gfd(f,g)1，则 .其中 是 YX 中的一致收敛度量.,),(ff2. 设 X 是一个拓扑空间，令F =f RX| f(X)是 R 中一个有界子集.证明 F 是一致收敛度量映射空间 RX 的一个闭子集，从而它作为 RX 的度量子空间是完备的 .
