1、孤立子的 matlab 数值计算及模拟第 27 卷第 3 期2006 年 6 月首都师范大学(自然科学版)JournalofCapitalNormalUniversity(NaturalScienceEdition)Vo1.27.No.3June2006孤立子的 matlab 数值计算及模拟饶泽浪吴辛烨(北京师范大学物理系,北京 1oo875)摘要从数值模拟及图像中得到 KdV 方程的性质和特点,阐述了孤波形成的物理意义,并以此论证理论推导的结果,形象准确地得到了在不同初值条件下波形的变化.通过模拟 KP 方程演示孤立子在三维下的运动,揭示孤立子在三维运动时的一些性质,并与 KdV 方程比较.
2、关键词:孤立子,matlab,数值计算,KdV 方程,KP 方程.中图分类号:O415;0411.3I刖再孤波是一种特殊的波,又是不难在自然界中出现的波,具有保持其波形和速度不变的特点.能发生强烈的相互作用,但相互作用后仍能保持其各自特点,形状,速度不变或只有一些位相改变的那些孤波称为孤子.孤波被称为自然界的相干结构,混沌运动所呈现的是非线性系统中奇妙的无序状态,相干结构则反映了非线性系统中的惊人有序性,因而孤立子理论的产生与发展是非线性偏微分方程研究中的一个重要组成部分.孤波的方程描述有多种形式,但以 KdV 方程最为常见,其次是 KP 方程,本文将分别进行模拟研究.1KdV 方程的数值模拟
3、1.1 孤波运动的模拟1895 年荷兰数学家科特韦格(D.J.Korteweg)和德弗里斯(G.de.Vries) 在浅水和小振幅假定下得到了浅水波单向运动方程.KdV 方程经过变换,可得到各种不同的形式.为了方便,本文取以下一般形式:收稿日期:20051017HI+6HHI+H:0;此方程的孤波解为:.f):_sercn2rt)】;因为 KdV 方程的行波解都为同向运动的,则在进行单个孤立子运动的模拟时.我们把 KdV 方程的初始条件(r:4,.:0)设为:H(,0):2sech()利用差分法:,ff,;r一一Ah一 2El_一 12Ah在 matlab6.5 下编程模拟, 程序见附录.其运
4、行结果如图 1.图 1 单孤子运动(r=4)再令初始值 r:12,.:0 得初始条件30 首都师范大学(自然科学版)2006 正u(,0):6sech)用 matlab 运行结果得图 2.图 2 单孤子运动(r=12)比较图 11,12,21,22.可得到如下结论:,即 r 越大,移动速度越快,波高越大,但宽度越窄.这和行波解表达的物理意义是相符的:r和.是由初始条件决定的常数,.为孤波的初始位置,r 为孤波解的传播速度,波高为 r/2,波宽反比于r.由计算模拟得到的结果证实了这些结论的正确性.下面我们进一步讨论孤立波形状保持不变的物理内涵和物理意义.1.2 波形的色散方程和色散关系色散方程的
5、形式各异.为了对应 KdV 方程,本文取对应色散方程为:/Zf+u=0;我们同样利用 matlab 进行模拟 ,为了和 KdV 的方程结果有所比较,我们仍取初始条件为/Z(,0)=2sech(X);运行结果如图 3.由图我们不难发现初始时刻出现的波形会随着时间的推移发生变化,发生弥散.其体现的物理内涵如下,色散方程的通解为:u(,t):Aexpi(kxwt);色散方程对应的色散关系为:w+k=0;由=: 一 k;我们不难得到对不同的 k 值,其传播速度 I-)不等.则初始时刻因分波的 k 各不相同,分波的传播速度不同,波形会发生变化,发生弥散,如图 32.1.3 波动中的非线性汇聚为与 KdV
6、 方程保持一致,我们取方程:/Zf+6/Z/Zf:0;利用 matlab 进行模拟,仍取初始条件为 /Zr,0)=2sech(),得到图 4.由图 4 不难发现波速随着振幅的增加而增大,图 31(t=0)图 32(t=ls)图 33(t=2s)图 3 波包色散模拟图 41(t=0)图 42(t=0.04s)图 43(t=0.85s)图 4 非线性汇聚模拟所以随着波的传播,波包的上端会越来越陡,最后坍塌,这就是汇聚效应.,观察汇聚效应和色散效应的模拟图,不难发现,色散效应和汇聚效应的传播速度相反.这就是孤立波能稳定传播的原因,一个线性的波动在传播时由于存在色散效应,波动不能持续;只有当一个线性波
7、动中存在非线性的汇聚效应时,且只有这两种作用达到某种平衡时,才能出现波形稳定的孤立波.1.4 利用数值模拟验证 KdV 的初值问题KdV 方程在不同的初始条件下,孤子的数目和运动情况都有所不同,一般情况下是采用反散射方法进行解决_2,但本文将采用数值模拟的方式直观地得到一些结论.在程序中,取/Z(,0)=Vsech()=2sech()时,得到了图 1,得到的是 1 个稳定的孤子.现取/Z(,0)=Vsech()=6sech()时,得到图 5.可以发现,在此初始条件下,给出了 2 个孤子,而 2=12;6=23:则我们可猜想当=(+1),即/Z(,0)=N*(+1)sech(),为正整数.在此初
8、始条件下,将得到个孤立子.为了验证,我们可取 u(,0)=*( +1)sech()=3*4sech()限于篇幅,读者可以自行带人程序验证,即可发现猜想的正确性.其物理意义及理论推导可见 J.现在取 V=一 1 即/Z(,0)=一 seeh(),得到图 6.不难发现未产生孤波,只有色散波.当 V0,读者取其它值仍会得到同样的结果,则当 V0,不能产生稳定的孤立子.第 3 期饶泽浪等:孤立子的 matlab 数值计算及模拟 31用同样的方法,代人不同的初始值,则会发现当V0,(N 一 1)NV(N+1)时,初始条件在 KdV方程下将给出个孤立子,但也有色散波,限于篇幅,在此我们就不做演示,读者可自
9、行演示.由图形我们得到的这些结论,与由反散射方法理论推导的结果是一致的.图 5 初值模拟(V=6)图 6 初值模拟(V= 一 1)1.5 孤立子在 KdV 方程下的相互作用KdV 方程只能实现单向运动,速度不同且互相追赶的多孤子碰撞.为了达到这个条件,取初始条件为:(,0)=6sech(3(+12)+2sech(+4);则可得到两孤立子的碰撞模拟,如图 7;再取初始条件为:(,0):6sech( (+21)+4sech(43(+14)+2sech(+8);得到图 8,其对应的就是三孤立子碰撞的情况.由图 7 和图 8 可知:孤立子在碰撞的时候不满足一般线性波动的叠加原理.一般线性波动叠加遵循振
10、幅叠加原理,但孤立子的碰撞,由图可发现振幅图 7-1(碰撞前 )图 7-2(碰撞中 )图 7-3(碰撞后 )图 8-1(碰撞前 )图 8-2(碰撞中 )图 8-3(碰撞后 )图 7 双孤于碰撞图 8 三孤子碰撞非但没有加,反而减了.碰撞过程就像大的孤子把小的孤子吞掉后,然后又把小的孤子吐了出来,并且各自都毫发无伤.这种现象很显然的是一种非线性的叠加,这也正是孤立波最重要的性质之一.至此我们把孤立子在一维 KdV 方程下的形成过程,及其在 KdV 方程下的一些最重要的性质,完全以 matlab 数值模拟的方式做了形象且正确的介绍.但是到此为止我们都是在一维的 KdV 方程下对孤立波进行模拟.下面
11、我们将模拟在二维的 KdV方程(即 KP 方程)下的孤立子运动.2KP 方程的数值模拟作为二维的 KdV 方程,和 KdV 方程一样,KP方程有着多种不同形式,但以两种形式为主.2.1KPI 方程的数值计算及模拟为了和本文的 KdV 方程保持一致.我们取 KPI方程为:U+6UU+Ux)一 3UYY=0;我们取它的行波解为:6簪蔷掌等32 首都师范大学(自然科学版)2006 住进行模拟可得到相应的图 9:642O.2_420图 9KPI 方程孤波解模拟由图 9 我们不难发现,孤立子在 KPI 方程可以出现波包的形状,且碰撞时也是非线性叠加.但和KdV 方程不同,它对横向的扰动不具有稳定性.2.
12、2KIP1I 方程的模拟KP1I 方程如下:(+6UUx+一),+3=0与 KdV 方程一样,它拥有孤波解:U(,Y,t)=2ksechk+,一(4Ii+33.)*f+0利用孤波的解析解,我们进行模拟得到图 10.;l0:一lO图 10KPII 方程的孤波解模拟双孤立子的解为:(,y,f):2 妄 ln,(,y,f);U,(,Y,t)=1+exp(叩 1)+exp(2)+exp(l+172+Al2);=2k+y 一(4k:+33.)t+;exp(Al2)=一(|:L. 一|:L)一(.一)利用双孤立子的解析解,我们进行模拟得到图 11:由图可形象地发现,KP不能产生波包,但是它有着与 KdV
13、很接近的性质,即对横向扰动的稳定性.图 11KP方程的双孤子解模拟3 结束语本文通过数值模拟得到了孤立波不同初始条件下的运动图像,并进一步从图像中得到了孤立波的运动方式及运动规律.但本文在模拟孤立子碰撞时,只能考虑追赶碰撞,因为 KdV 方程只能适用于追赶碰撞,但若通过 Boussinesq 方程则能实现孤立子的对碰模拟.本文通过模拟展现了孤立波一些奇妙的特性,也正是由于孤立波非线性现象的特殊性,孤立波理论已在通信等方面得到了很好的应用.感谢北京师范大学物理学系彭芳麟老师的指导和帮助.附录程序如下:dt=0.0001;dx=0.1;C=dt/dx3;d=dr/dx;x=一 6:0.1:25;n
14、=length(x);y(:.1)=2*(sech(x).2;%初始条件h=plot(x(1:end),y(1:end.1),linewidth,2);axis(一 6,25,0,3)set(h,EraseMode,xor,MarkerSize,ts);y(3:(n 一 2),2)=一 c/2*(y(5:n,1)一 2*y(4:(n 一 1),1)+2*y(2:(n 一 3),1)一 y(1:(n 一 4),1)y(3:(n 一 2),1)一6*y(3:(n 一 2),1).*d.*(y(4:(n 一 1),1)一 y(2:(n 一 3),1);-forJ=1:1000OO;y(3:(n 一
15、2),3)=一 C*(y(5:n,2)一 2y(4:(n 一 1),2)+2y(2:(n 一 3).2)一 y(1:(n 一 4),2)+y(3:(n 一 2),1)一6*y(3:(n 一 2).2).*d.*(y(4:(n 一 1),2)一 y(2:(n 一 3),2);y(3:(n 一 2),1)=y(3:(n 一 2),2);第 3 期饶泽浪等:孤立子的 matlab 数值计算及模拟 33y(3:(n 一 2),2):y(3:(n 一 2),3);ifmoa(j,4o)=:O;set(h.XData.x,YData,Y(:,2);drawnow;参考文献1陆同兴.非线性物理概论M.合肥:
16、中国科技大学出版社,2002:249-283.2倪皖荪,魏荣爵 .水槽中的孤波M.上海:上海科技出版社,1997:1 26.3刘式适,刘式达 .物理学中的非线性方程M.北京:北京大学出版社,2000:170 178.4AblowitzMJ,ClarksonPA.Solitons,nonlinearevolutionequationsandinversescatteringM.Indon:MathematicalSocietyNoteSeries,1991:195225.567XUQuaJ1,TIANQians.Thekink.solitonandantikink?solitoninquasi?
17、one-dimensionalnonlinearmonoatomielatticeJ.中国科学 G 辑(英文版),2005Vo1.48:150157.谷超豪等.孤立子理论与应用M.杭州:浙江科学科技出版社,1990.彭芳膦.数学物理方程的 MATLAB 解法与可视化M.北京: 清华大学出版社,2004:262311.NumericalSolutionandSimulationofSolitonUsingMatlabRaoZelangWuXinye(DepartmentofPhysics.BeijingNormalUniversity,Beijing100875,China)Abstractec
18、haractersofKdVfunctionareanalyzedvisuallybycomputationalmethods,andthephysicalmeaningofsolitarywaveisexpounded.Basedontheseworks,thetheoreticresultsareprovedpractica1.Also,themotionsofsolitarywavesunderthedifferentinitialconditionsaredescribedaccurately.esimulationsofKPfunctionshowsomecharactersofso
19、litoninthree-dimensionalspace,comparingwiththoseofKdVfunction.Keywords:soliton,matlab,numericalcomputation,KdVfunction,KPfunction.(上接第 28 页)DigitalizedElectroncardiogrambyUsingInformationDimensionYiXiangdongZhaoHuiminWuXiumeiLiJieWeiWeiGuoJingWuLi(PhysicsDepartment0fCapitalNormalUniversity.Beiji“g100037)AbstractByusinginformationdimensionmethod,fromviewpointsofstudyingdimensionchangesthepaperdefinesillnessheartpulseenergySelectroncardiogramSdimensionnewmeasuringmethod.Italsoprovide
