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高中《数学课程标准》中的“空间向量”.doc

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1、高中数学课程标准中的“空间向量”2004 年第 19 期数学通讯 1?.,.Oo.,.,to.oa.oo,.,.,.,., .,.,.,Oo,.n.,.,oo.,. .,00.高中 数学课程标准 中的 “Ie-向量“苏洪雨江雪萍(华南师范大学,广东广州 510631).,.,.,.,.,.,.,.,.,“.,“.,/,.,.,“.,“,.,.,“中图分类号:G633.65 文献标识码:A 文章编号:0488 7395(2o04)19000103“向量 “在中学数学中的地位日益显着.在最新的 2002 年高中数学教学大纲中,除了包含必修的“平面向量“, 还在 “直线,平面,简单几何体“中增添了新

2、的(B) 方案,“ 空间向量“ 在该方案中占有重要地位.而在新研制的高中数学课程标准(实验稿 )(以下简称标准) 中,“向量“的份量进一步加重,“平面上的向量“ 是必修的数学 4 中的重要内容,“空间中的向量“则是选修课程系列 2 的主要组成部分.本文在研究数学课程标准的基础上,通过教学实践,探讨“空间向量 “这一部分内容的特点及其教育价值.1 引入空间向量的背景1.1 现代数学的需要向量是高中数学的一项基本内容,它是研究解析几何,尤其是空间解析几何的重要工具,也是学习和研究力学,电学以及现代科学技术的有力工具.空间向量的引入,通过使用向量代数方法研究空间图形的性质,使得空间结构代数化,空间问

3、题的研究数量化和运算化,达到用代数方法研究几何问题的目的.利用向量分析传统问题,可以帮助学生更好的建立代数与几何的联系,也为中学生以后进一步学习高等数学奠定直观的基础.1.2 立体几何学习的需要空间向量的引入,有利于处理立体几何问题.它可以把一些复杂的逻辑推理过程转化为简单的计算,有利于学生克服空间想象力的障碍和空间作图的困难,既直观又容易接受,降低了立体几何学习的难度,有利于丰富学生的思维结构,提高学生运用数学解决问题的能力.2 空间向量在标准中的重要地位标准中的必修课程由 5 大模块组成,选修课程有 4 个系列,其中选修课程的前两个系列由 5 个模块组成,后 2 个系列每个由若干专题组成,

4、结构清晰,层次分明,一改数学教学大纲(下简称为大纲)的“总分 “结构,这对于理解和执行标准 有很大帮助.空间向量是标准中选修课程系列 2 的重要内容之一.从结构上看,它虽然不是必修内容,但是希望在理工(包括部分经济类)等方面发展的学生,必须选修.实际上,如果按照以往的文理分科,“空间向量“ 是理工科学生必修的知识,可见它是限制性的选修内容,虽然选学的主动权由学生个人掌握;从内容上看,空间向量是新知识,用它解决立体何问题,有着其自身的特点,“提供了新的视角“. 然而,对于这样的新内容,从教材的编写和教学的实施,都有待于探索研究.因此,这在标准中的地位是极其重要的.3标准处理空间向量的几个特点3.

5、1 逻辑结构自成体系标准在空间向量知识体系中的逻辑结构处理上不同于以往的大纲.在大纲中,首先使用综合推理的方法,学习空间图形的一些基本性质,为后面学习空间向量作好铺垫;接着安排了“夹角和距离“的内容,体现了向量的一些应用;然后是?简单几何体和球“,既学习简单几何体的知识,又对前面空间收稿日期:20040510作者简介 苏洪雨 (17 一),男,山东省汶上人,华南师范大学硕士,.,.,.,._2 数学通讯 2004 年第 19 期图形基本性质与空间向量等相关知识进行综合运用.而标准在必修 2 中已经先安排学习立体几何初步,希望帮助学生逐步形成空间想象能力.在立体几何初步中,学生先从整体观察空间几

6、何体,认识空间图形,再以长方体为载体,直观认识和理解空间的点,线,面的位置关系,并使用数学语言表述几何对象的位置关系和证明有关线面平行,线面垂直关系的性质定理.而相应的线面平行,线面垂直关系的判定定理就在选修课程系列 2 中利用向量方法加以论证,从而引出了空间向量的学习.在标准中空间向量的逻辑结构自成体系,内容丰富,比较符合学生的认识规律,从而有利于学生的学习和发展.3.2 知识点顺序自然流畅标准中空间向量的学习分成空间向量及其运算和空间向量的应用两部分,安排的知识点顺序如下:平面向量的推广一空间向量的概念一空间向量基本定理一空间向量的正交分解与坐标表示一空间向量的线性运算与坐标表示一空间向量

7、的数量积与坐标表示一直线的方向向量与平面的法向量一用向量语言表述线面的位置关系一用向量方法证明一些定理一用向量方法解决空间中的夹角计算问题.从上面所列的知识点的顺序可看出:标准在先引人空间向量的正交分解与坐标表示后,要求掌握空间向量的线性运算与坐标表示,再学习空间向量的数量积,使得向量计算完全坐标化,这很自然地用向量的坐标表示给出数量积的几个运算性质的证明,以及空间中的夹角和距离公式;而且非常重视空间向量的应用,为呼应前面必修课程数学 2 中的“立体几何初步“,特别先给出直线的方向向量和平面的法向量的概念,然后要求使用向量语言表述线面之间的位置关系,并用向量方法证明有关线面位置关系的一些定理;

8、接着介绍用向量方法来解决空间两直线的夹角,线面的直角,二面角的计算问题,这部分的内容可以特别用一些典型的例题(例如,实际生活中的距离问题等)来说明向量方法在立体几何中的进一步运用.3.3 对几个特殊知识点的处理3.3.1 加强对直线的方向向量和平面的法向量的理解标准在空间向量的应用部分,着重介绍了直线的方向向量和平面的法向量的概念,这两个概念的引人使得线线,线面,面面的位置关系可以用简洁的向量语言表述;而且在证明一些有关线面位置关系的定理(包括三垂线定理)和空间中的夹角计算问题中,运用直线的方向向量和平面的法向量,能够使得证明过程简捷又不失逻辑性,计算过程清晰,简明;甚至在解决一些实际生活中的

9、应用问题上,也可以采用将其转化为用这两个基本向量来简化解题过程的方法.这有利于用代数结构思想处理向量问题,达到立体几何问题研究代数化的目的.3.3.2 对三垂线定量的证明要求双“管:齐下标准因空间向量知识体系的完整性,不仅仅要求用传统的方法证明三垂线定理及其逆定理,而且在“ 用向量方法证明一些定理“ 中要求用向量的方法给予证明.这样要求用向量的方法来探讨重要定理的证明,使得证明简单,明了,容易接受,从而显示了向量方法在处理有关线线,线面,面面问题中的威力.4 对空间向量教学的建议对空间向量这一知识体系的教学,标准建议在教学中引导学生运用类比的方法,经历向量及其计算由平面向空间推广的过程,并且在

10、教学中应注意由于维数的增加而带来的影响.在教学中应鼓励学生灵活选择向量方法与综合方法,从不同角度解决立体几何问题.除此之外,笔者有以下几点建议:4.1 由实例进行平面向量的推广,引入数量积概念标准在必修模块 4 学习平面向量有关知识的基础上,要求经历向量及其运算由平面向空间推广的过程,如果用一个空间图形的向量运算问题把平面向量推广到空间,接着介绍空间直角坐标系,从而引入向量的模,零向量,负向量,单位向量等概念,就能使得内容前后联系有所依据,并且可以解决维数问题,有利于用代数结构思想处理向量问题.标准要求掌握空间向量的数量积及其坐标表示.对空间向量的数量积,若采用物理上的在空间中力对物体做功的表

11、示法来引人,并且在建立向量在轴上的投影的概念的同时,给出空间两个向量的数量积的几何意义,接着用空间的数量积及其坐标表示来处理空间两个向量的平行,垂直,夹角和两点问的距离,就可以交待数量积的物理意义,充分发挥数量积的功能,有利于用空间向量解决实际问题.4.2 用框图表示解题思路和方法使用向量方法解决立体几何问题时,合理建立2004 年第 19 期数学通讯 3空间直角坐标系是关键,它是完成从几何问题向代数问题转化的基础.在运用空间直角坐标系解决问题时,可以引导学生总结解题思路和方法,并用解法结构框图来表示,这能够使学生比较系统地掌握向量方法,而且通过空间向量的工具性,提高学生解决立体几何问题的自觉

12、性和灵活性.如下例以使问题更直观生图 2动化,有助于师生的观察,思考.例如在空间向量的正交分解与坐标表示,线面的平行与垂直的教学过程中,我们通过多媒体电脑形象生动的视图,帮助学生思维,轻松掌握主要内容,并且节省了大量时间.当然,并非所有的问题都可以用信息技术完成,但是通过合理使用信息技术,在很多问题上,我们可以处理的比原来更好.4.4 培养学生使用空间向量进行实验和探索的能力在教学过程中,我们不仅仅要使学生学习掌握空间向量的基本知识,以及解决有关的立体几何问题,更重要是要培养学生使用空间向量进行实验和探索的能力.这种能力可以通过教师潜移默化的培养,即在授课过程中,注意使用空间向量解决问题;教师

13、也可以重点培养这种能力,例如,可以编制下面的练习,使学生有意识的去提高使用向量探索的能力.例 2 如图 3,在边长为1 的立方体中,若 P,Q 分别是 CD,AE 上的点,CP=AQ,若 AC,PQ 的中点分别为 M,R 请问:器与之间有何等量关系? 为什么?并说明理由例 3 如图 4,正方体AB(A1B1C1D1 中,-d球停在 D 点.现着沿着荫,面三个方向的力 F.,F2,F3 作用在小球上,使它沿着面方向运动.图 4 例 3 图问:1.小球作变速运动还是匀速动动?2.三个力 F.,F2,F3 之间有什么关系?或者,通过研究实际问题,建立数学模型,进一步提高空间向量的使用能力.对于空间向量的教学,还处于数学教学的初级阶段,完善的合理的教学还有待广大教育工作者的共同探讨和实践,在此希望能有抛砖引玉的作用.参考文献:1国家教育部.全日制普通高级中学教学大纲.2002.2国家教育部.普通高中的数学课程标准.2003.4.3孙晓天等. 空间观念的内容及意义与培养.数学教育,2002.5(2)50 53.4蔡上鹤.高中数学 “空间向量“部分教学回答.中学数学教学参考,2003.12.5王建明.数学课程改革中的向量背景和前景分析.数学通报,2002.5.6胡明健.向量应进入高中新教材.课程? 教材?教法.1996.7.

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