1、2009 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)理科数学一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若 2log0a， 1()b，则【 D 】A , B 1a, 0bC. , D. , 2对于非零向量 ab“ ”是“ /”的【 A 】A充分不必要条件 B. 必要不充分条件C充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件3将函数 sinyx的图象向左平移 (02)个单位后，得到函数 sin()6yx的图象，则 等于【 D 】A 6 B 56 C. 76 D.14如图 1，当参数 12,时，连续函数 (0)1xy 的图像分别对应曲
2、线 1C和 2 , 则【 B 】A 120 B 210C D 5从 10 名大学生毕业生中选 3 个人担任村长助理，则甲、乙至少有 1 人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为【 C 】A 85 B 56 C 49 D 286已知 D 是由不等式组 20,3xy所确定的平面区域，则圆 24xy在区域 D 内的弧长为【 B 】A 4 B 2 C 34 D 32图1c2c1oyxC1D1B1A1 D CBA7正方体 1ABCD的棱上到异面直线 AB，C 1的距离相等的点的个数为【 C 】A2 B3 C 4 D58设函数 ()yfx在 ,)内有定义.对于给定的正数 K，定义函数 ,()().KKff取
3、函数 ()fx2xe。若对任意的,x，恒有 Kxf，则【 D 】AK 的最大值为 2 BK 的最小值为 2CK 的最大值为 1 DK 的最小值为 1二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上9某班共 30 人，其中 15 人喜爱篮球运动，10 人喜爱兵乓球运动，8 人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_ 12_ _.10在 333(1)()(1)xx的展开式中， x的系数为_7_(用数字作答).11若 0,2，则 tan2的最小值为 2 .12已知以双曲线 C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中有一个内
4、角为 60，则双曲线 C 的离心率为 62 13一个总体分为 A，B 两层，其个体数之比为 4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为 10 的样本.已知 B 层中甲、乙都被抽到的概率为 28，则总体中的个体数为 40 。14在半径为 13 的球面上有 A , B, C 三点，AB=6，BC=8，CA=10，则（1）球心到平面 ABC 的距离为 12 ；（2）过，B 两点的大圆面与平面 ABC 所成二面角（锐角）的正切值为 3 .15将正 AC分割成 2*(,)nN个全等的小正三角形（图 2，图 3 分别给出了n=2,3 的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于ABC 的三边及平行于
5、某边的任一直线上的数（当数的个数不少于 3 时）都分别依次成等差数列.若顶点 A ,B ,C 处的三个数互不相同且和为 1,记所有顶点上的数之和为 ()fn，则有 (2)f， (3)f103 ， ， ()fn 1()26n .BACAB C图3图2三解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16（本小题满分 12 分）在 AB中，已知 2233AB，求角 A，B，C 的大小解： 设 ,Cabc由 23C得 2os3bc，所以 3os2.又 (0,)A因此 6 由 233B得 23bca，于是 23sinsin4CBA.所以 5sin()64C， 13si
6、(coi)2，因此 22ico3in,is0，既 sin(2)03C.由 6A知 506，所以 43C，从而 ,3C或 2,3，既 ,6或 2,故 ,B或 AB。17（本小题满分 12 分）为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类.这三类工程所含项目的个数分别占总数的 12， 3， 6.现在 3 名工人独立地从中任选一个项目参与建设。（I）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；（II）记 为 3 人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求 的分布列及数学期望。解: 记第 i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别
7、为事件 ,iiABCi=1，2，3.由题意知 123,A相互独立， 123,B相互独立，123相互独立， ,ijkBC（i，j，k=1，2，3，且 i，j，k 互不相同）相互独立，且 (),(),().6iiiPP（）他们选择的项目所属类别互不相同的概率P= 123!()ABC123()()BC16.26（）解法 1：设 3 名工人中选择的项目属于民生工程的人数为 ，由已知， :B（3， ），且 =3-。所以 P（ =0）=P（ =3）= 31()C= 27，P（ =1）=P（ =2）= 23 = 9，P（ =2）=P（ =1）= 1()2= 4，P（ =3）=P（ =0）= 03C = 87
8、.故 的分布列是0 1 2 3P 1272949827的数学期望 E=0+ + 4+ 837=2.解法 2: 记第 i名工人选择的项目属于基础工程或产业建设工程分别为事件 iD，i=1,2,3 . 由已知， 123,D相互独立，且 P（ iD）=（ iiAC）= P（ iA）+P（ iC）= + 6= ，所以 :(,)3B,即 3321()()kkC， 0,23.故 的分布列是0 1 2 3P 127294982718（本小题满分 12 分）如图 4，在正三棱柱 1ABC中， 12AB，点 D 是 1AB的中点，点 E 在 上，且 DE（I）证明：平面 平面 1；（II）求直线 和平面 ABC
9、所成角的正弦值。解：（I） 如图所示，由正三棱柱 1的性质知1A平面 1B.又 DE平面 1AC，所以 DE1A.而 DE AE， 1AAE=A，所以 DE 平面 1.又 DE平面 ADE，故平面 DE平面 1CA（2）解法 1： 如图所示，设 F 是 AB 的中点，连接DF，DC ，C F，由正三棱柱 1AB的性质及 D 是 1AB的中点知，1C D， DF又 C DDF=D，所以 1平面 C1DF.而 AB 1，所以 AB 平面 C DF.又 AB平面 ABC ，故平面 AB C1平面 C1DF。过点 D 做 DH 垂直 C1F 于点 H，则 DH平面 AB C 。连接 AH，则 HAD
10、是 AD 和平面 ABC1所成的角。由已知 AB= 2A A1，不妨设 A A = 2，则 AB=2，DF= 2，D C1= 3，C 1F= 5，AD=ABCDA1 B1 C1EABCDA1 B1 C1EFH21AD= 3，DH= FC1= 532= 0.所以 sin HAD= H= 50。即直线 AD 和平面 AB C1所成角的正弦值为 510.解法 2： 如图所示，设 O 是 AC 的中点，以 O 为原点建立空间直角坐标系，不妨设 A A1=，则 AB=2，相关各点的坐标分别是 A(0,-1,0)， B（ 3，0，0）， C1（0，1， 2）， D（ 3， 12， ）。易知 AB=( 3，
11、1，0)， 1AC=(0，2， )， AD=( 23， 1， ）.设平面 ABC1的法向量为 (,)nxyzr,则有130,2.nxyACz解得 ,.3xy故可取 (1,6)nr.所以， cos,nADru= 3102= 5。由此即知，直线 AD 和平面 AB C1所成角的正弦值为 10。19（本小题满分 13 分）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距 m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为 256 万元，距离为 x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为 (2)x万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素.记余下工程的费用为 y万元。（）试
12、写出 关于 的函数关系式；（）当 m=640 米时，需新建多少个桥墩才能使 y最小？A B CDA1 B1 C1Exozy解：（）设需新建 n个桥墩，则 (1)1mnxx， 即 n=，所以 ()yfx (2)x=256+256(-)+.m（）由（）知， 21322() (51).mfxx令 ()0f，得3251，所以 =64.当 00. x在区间（64，640）内为增函数.所以 ()fx在 =64 处取得最小值，此时 64019.mn故需新建 9 个桥墩才能使 y最小。20（本小题满分 13 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 到点 F（3，0）的距离的 4 倍与它到直线 x=2 的距离
13、的 3 倍之和记为 d. 当点 P 运动时，d 恒等于点 P 的横坐标与 18 之和（）求点 P 的轨迹 C；（）设过点 F 的直线 l与轨迹 C 相交于 M，N 两点，求线段 MN 长度的最大值。解：（）设点 P 的坐标为（x，y），则 24(3)|2|.dxyx由题设， 18d，即 24(3)|18y. 当 x2 时，由得 6,xx 化简得21.367xy当 时，由得 2(3)3,xyx化简得 21y.故点 P 的轨迹 C 是椭圆21:367xy在直线 x=2 的右侧部分与抛物线 2:1Cyx在直线 x=2 的左侧部分（包括它与直线 x=2 的交点）所组成的曲线，参见图 1.（）如图 2
14、所示，易知直线 x=2与 1C， 的交点都是 A（2， 6），B（2， 6），直线 AF，BF 的斜率分别为 AFk= ， BFk= .当点 P 在 1C上时，由 知 162Px. 当点 P 在 2上时，由知 3. 若直线 l的斜率 k 存在，则直线 l的方程为 (3)ykx.（）当 k AF，或 k BFk，即 k 26或 k 时，直线 l与轨迹 C 的两个交点 12(,)(,)MxyN都在 1C上，此时由知626x，从而MN= MF+ NF= （6 - 1）+（6 - 2x）=12 - 12( x+ 2).由 2(3),167ykx得 22(4)308kxk.则 1x， y是这个方程的两根
15、，所以 1+ 2=243k，MN=12 - 12（ x+ 2）=12 -234k.因为当 26,4,k或 时 所以221110.3334MNk当且仅当 26k时，等号成立。（）当 ,26AFAFkk时，直线 l与轨迹 C 的两个交点12(,)(,)MxyN分别在 1C上，不妨设点 M在 1上，点 N在 2上，则由知， 126,32MFxNx.设直线 AF 与椭圆 1C的另一交点为 E 0012(,),.yx则02xFAF，所以 NFA。而点 A，E 都在 1C上，且 26,AEk由（）知 10,EMN所 以若直线 l的斜率不存在，则 1x= 2=3，此时120()9MN.综上所述，线段 MN
16、长度的最大值为 1.21（本小题满分 13 分）对于数列 nu,若存在常数 M0,对任意的 *nN，恒有 1121nnuuM,则称数列 n为 B数列.（）首项为 1，公比为 ()q的等比数列是否为 B-数列？请说明理由;请以其中一组的一个论断条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题判断所给命题的真假，并证明你的结论；（）设 nS是数列 nx的前 项和，给出下列两组论断；A 组：数列 是 B-数列, 数列 nx不是 B-数列;B 组：数列 n是 B-数列, 数列 S不是 B-数列.请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题。判断所给命题的真假，并证明你的结论；()若数
17、列 ,nab都是 B数列，证明：数列 nab也是 B数列。解:（）设满足题设的等比数列为 na,则 1q，于是212,nnq.因此 1121|nnaaa = 21(.).nqq因为 ,q所以 2 ,nnq 即1121nn qaaa .故首项为 1，公比为 q()的等比数列是 B-数列。（）命题 1：若数列 nx是 B-数列，则数列 nS是 B-数列.此命题为假命题。事实上，设 ,nN，易知数列 nx是 B-数列，但 nS,1121nSS .由 的任意性知，数列 不是 B-数列。命题 2：若数列 n是 B-数列，则数列 nx是 B-数列.此命题为真命题.事实上，因为数列 nS是 B-数列，所以存在正数 M，对任意的 ,nN有1121nS ，即 12nxxM 。于是1121nnx 1.x Mx，所以数列 n是 B-数列。（注：按题中要求组成其它命题解答时，仿上述解法）（III）若数列 ,nab是 B数列，则存在正数 12,，对任意的 ,nN有1121n aM ；2nbb，注意到 1 1naa12211nnaaaMa .同理， 2bM . 记 1K， 22b，则有 11nnnnnnbb211naa.因此 11nnnnba2 21( )K11212nnbbkM .故数列 ab是 B数列.
