1、3.1.1 空间向量及其运算【学习目标】1. 理解空间向量的概念，掌握其表示方法；2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题【重点难点】理解空间向量的概念、运算律【学习过程】一、 自主预习（预习教材 P84 P86，找出疑惑之处）复习 1：平面向量基本概念：具有 和 的量叫向量， 叫向量的模（或长度） ； 叫零向量，记着 ； 叫单位向量. 叫相反向量， a的相反向量记着 . 叫相等向量. 向量的表示方法有 ， ，和 共三种方法. 复习 2：平面向量有加减以及数乘向量运算：1. 向量的加法和减法的运算法则有 法则
2、和 法则. 2. 实数与向量的积：实数 与向量 a 的积是一个 量，记作 ，其长度和方向规定如下：(1)| a| .(2)当 0 时， a 与 A. ；当 0 时， a 与 A. ；当 0 时， a .3. 向量加法和数乘向量，以下运算律成立吗？加法交换律： a b b a加法结合律：( a b) c a（ b c）数乘分配律： (a b) a b二、合作探究 归纳展示探究任务一：空间向量的相关概念问题： 什么叫空间向量？空间向量中有零向量，单位向量，相等向量吗？空间向量如何表示？新知：空间向量的加法和减法运算：空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，变为两个平面向量的加法和减法运算，例如右图
3、中，OB， AB ，试试：点 C 在线段 AB 上，且 52C,则 A B, C AB.反思：空间向量加法与数乘向量有如下运算律吗？加法交换律： a +b = b+ a；加法结合律：( a+ b) + c =a + (b + c)；数乘分配律： (a + b) =a +b 三、讨论交流 点拨提升空间向量的运算法则四、学能展示 课堂闯关例 1 已知平行六面体 ABCD（如图） ，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量： ABC ； D ； 121()2A 变式：在上图中，用 ,ABD表示 ,ACB和 D.小结：空间向量加法的运算要注意：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的
4、终点的向量，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量例 2 化简下列各式： ABC; ;ABMO D DC.变式：化简下列各式： OACB; D; NQPM.小结：化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则，遇到减法既可转化成加法，也可按减法法则进行运算，加法和减法可以转化. 动手试试练 1. 已知平行六面体 ABCD, M 为 A1C 与 B1D 的交点 ， 化简下列表达式： 1A; 12B; 112A AC.五、学后反思 学习小结1. 空间向量基本概念；2. 空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律 知识拓展平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度” ，空间的平移包含平面的平移. 课后作业 1. 在三棱柱 ABC-ABC中，M, N 分别为 BC,BC的中点，化简下列式子： AM + BN A MC+ B2. 如图，平行六面体 1ABCD中，点 M为 AC与的BD的交点， a， b， c，则下列向量中与1M相等的是（ ）A. 12bc B. 2abC. a D. 1c
