1、3.1 不等关系与不等式（1）教学目标：1知识与技能：通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式2过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法3情感、态度与价值观：通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯重 点：理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值；掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式难 点：利用不等式的性质证明简单的不等式教学过程：一、不等关系在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系如两点之间
2、线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系在数学中，我们用不等式来表示不等关系下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系问题 1：设点 A 与平面 的距离为 d，B 为平面 上的任意一点，则 d AB问题 2：某种杂志原以每本 2.5 元的价格销售，可以售出 8 万本根据市场调查，若单价每提高 0.1 元，销售量就可能相应减少 2000 本若把提价后杂志的定价设为 x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于 20 万元？分析：若杂志的定价为 x 元，则销售的总收入为 2.501x万元那
3、么不等关系“销售的总收入不低于 20 万元”可以表示为不等式 .8x20问题 3：某钢铁厂要把长度为 4000mm 的钢管截成 500mm 和 600mm 两种，按照生产的要求，600mm 钢管的数量不能超过 500mm 钢管的 3 倍怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？分析：假设截得 500mm 的钢管 x 根，截得 600mm 的钢管 y 根根据题意，应有如下的不等关系：（1）解得两种钢管的总长度不能超过 4000mm；（2）截得 600mm 钢管的数量不能超过 500mm 钢管数量的 3 倍；（3）解得两钟钢管的数量都不能为负由以上不等关系，可得不等式组：506403xy二、数运算性
4、质与大小顺序之间的关系 ba0；三、不等式的性质定理 1：（对称性）如果 ab，那么 bb；即 ab bb，bc，那么 ac 即 ab，bc ac证明：说明：由定理 1，可知定理 2 还可以表示为： acbc,定理 3：（加法保序性）若 ab，则 a+cb+c，即 ab a+cb+c证明： 推论 1：（移项法则）不等式中任何一项的符号变成相反的符号后，可以把它从一边移到另一边推论 2：（加法法则）ab，cd a+cb+d证明： 推广：两个或几个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向定理 4：（乘法保序性）若 ab，c0，则 acbc；若 ab，cb，c0 acbc；ab，cb0，cd
5、0 acbc证明： 推广：两个或几个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向推论 2：（乘方法则）ab0 nba(nN,且 n1) 定理 5：（开方法则）若 ,0 则 ( )1,nN且 即.0nba证明：练习：课本：P74小结：1不等式的性质是进行不等式的证明和解不等式的依据2在运用不等式的性质时，一定要严格掌握它们成立的条件四、应用举例例 1已知 ,abcd，求证 acbd证明：例 2已知 0,，求证： 证明：例 3已知 0dcba，求证 0dcba证明： , 1， cdab故 ca例 4设 3612,08b，求 ba,2,的取值范围解：由 5a；2473612bb，且
6、 128a， 4264ba由 3908a例 5设 bxxf2)(， 2)1(f且 4)1(f求 (2)f的取值范围解： 1,(),afaab设 )2(nmf ，即 4()()()()bbmn123n 213ff由 )(1f得， 6()f514小结：1应用不等式的性质证明不等式，一般是从已知的不等式出发，应用不等式的性质进行变形，直至变换出所要证的不等式2根据不等式的性质，同向不等式可以相加，同向且两边均为正数的不等式可以相乘；同向不等式不能相减和相除，异向不等式的相减或相除应转化继同向不等式后用相加或相乘来进行3同号两数的顺序关系与其倒数的顺序相反4用不等式的性质求变量的范围时，是通过同向不等式相加或相乘来完成的，如果是有等号的还应注意两端能否取得等号五、课堂练习： 六、作业： 七、补充题：1设 ab，四个不等式 2ba， ,1baba21,0)lg(中，能成立的不等式的个数是（ ）（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 答：选（A）
