1、复习总结:导数应用1了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度,加速度,光滑曲线切线的斜率等) ;掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;理解导函数的概念.2. 熟记八个基本导数公式(c, mx(m 为有理数), xaexaxlog,n,cos,sin 的导数);掌握两个函数和、差、积、商的求导法则,了解复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数.3理解可导函数的单调性与其导数的关系;了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号);会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值 导 数 导 数 的 概 念导 数 的 求 法 和 、 差 、 积 、 商 、 复 合
2、函 数 的 导 数导 数 的 应 用 函 数 的 单 调 性函 数 的 极 值函 数 的 最 值导数的应用价值极高,主要涉及函数单调性、极大(小)值,以及最大(小)值等,遇到有关问题要能自觉地运用导数.例 1求函数 y= 12x在 x0 到 x0+x 之间的平均变化率.解 y= 1)()( 2000 xx.)(2,1)(2 200200 xxyxx变式训练 1. 求 y= 在 x=x0 处的导数.典型例题知识网络导读高考导航解 )()(limlimli 000000 xxxxyx.211li 00x例 2. 求下列各函数的导数:(1) ;sin25xy (2) );3(2)1(xxy(3) ;
3、4co1i (4) .解 (1) ,sinsin23225xxxyy .cossi)si()( 23532 xx (2)方法一 y=(x 2+3x+2) (x+3)=x 3+6x2+11x+6,y=3x 2+12x+11.方法二 y=)()1(3)(1xx=2)(21xx(x+3 )+(x+1) (x+2 )=(x+2+x+1) (x+3)+ (x+1) (x+2)= (2x+3) ( x+3)+(x+1) (x+2)=3x2+12x+11.(3)y= ,sin21co2sinxx .s)(si1sixxy(4) xxx12)(11 , .)(2)(2y变式训练 2:求 y=tanx 的导数
4、.解 y .cos1csinocos)(in)(sincosi 222 xxxx 例 3. 已知曲线 y= .341(1)求曲线在 x=2 处的切线方程;(2)求曲线过点(2,4)的切线方程.解 (1)y=x 2,在点 P(2,4)处的切线的斜率 k= y|x=2=4. 曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y-4=4(x-2),即 4x-y-4=0. (2)设曲线 y= 31x与过点 P(2,4)的切线相切于点 341,0xA,则切线的斜率 k= y| 0x= 2. 切线方程为 ),(3410x即 .34200xy 点 P(2,4 )在切线上, 4= ,32即 ,04,03230 xx ,0
5、)1(4)1(00xx(x 0+1)(x0-2)2=0,解得 x0=-1 或 x0=2,故所求的切线方程为 4x-y-4=0 或 x-y+2=0. 变式训练 3:若直线 y=kx 与曲线 y=x3-3x2+2x 相切,则 k= .答案 2 或 41例 4. 设函数 bxaf)( (a,bZ),曲线 )(xfy在点 )2(,f处的切线方程为 y=3.(1)求 xf的解析式;(2)证明:曲线 )(xfy上任一点的切线与直线 x=1 和直线 y=x 所围三角形的面积为定值,并求出此定值.(1)解 2)(1)(bxaf,于是 ,0)2(1,3ba解得 ,1或 .38,49ba因为 a,bZ,故 .)(
6、xf(2)证明 在曲线上任取一点 1,00x由 200)1()(xf知,过此点的切线方程为 )(02002 xxy令 x=1,得 10xy,切线与直线 x=1 交点为 1,0x令 y=x,得 20,切线与直线 y=x 的交点为 )2,(00直线 x=1 与直线 y=x 的交点为 (1,1)从而所围三角形的面积为 2121210000 xx所以,所围三角形的面积为定值 2.变式训练 4:偶函数 f(x)=ax 4+bx3+cx2+dx+e 的图象过点 P(0,1) ,且在 x=1处的切线方程为 y=x-2,求 y=f(x)的解析式.解 f(x)的图象过点 P(0,1) ,e=1. 又f( x)为偶函数,f(-x)=f (x).故 ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-dx+e.b=0, d=0. f(x )=ax 4+cx2+1.函数 f(x)在 x=1 处的切线方程为 y=x-2,可得切点为(1,-1 ).a+c+1=-1. )1(f=(4ax3+2cx)|x=1=4a+2c,4a+2c=1. 由得 a= 25,c= 9.函数 y=f(x)的解析式为 .1295)(4xxf1理解平均变化率的实际意义和数学意义。2要熟记求导公式,对于复合函数的导数要层层求导.3搞清导数的几何意义,为解决实际问题,如切线、加速度等问题打下理论基础.小结归纳