1、2.3 变量的相关性自主学习学习目标1通过收集现实问题中两个有关联变量的数据，作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系2经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程自学导引1两个变量间的相互关系变量与变量之间的关系常见的有两类：一类是确定性的_关系，另一类是带有随机性的_关系2相关关系的分类(1)正相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也_，这种相关称为正相关(2)负相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值_，这种相关称为负相关3散点图在一个统计数表中，为了更清楚地看出 x 和 y 是否具有相关关系
2、，常将 x 的取值作为_，将 y 的相应取值作为_，在直角坐标中描点_，这样的图形叫散点图4回归直线方程一般地，设 x 和 y 是具有相关关系的两个变量，且对应于 n 个观测值的 n 个点大致分布在一条直线的附近，若所求的直线方程 x，则Error!y a b 我们将这个方程叫做 y 对 x 的_， 叫做_，相应的直线叫b 做回归直线5最小二乘法设 x、y 的一组观察值为(x i，y i)，i 1,2，n，且回归直线方程为 abx，当 x 取y 值 xi(i 1,2， ，n)时，y 的观察值为 yi，差 yi i(i1,2，n)刻画了实际观察值 yi与回y 归直线上相应点纵坐标之间的偏离程度，
3、通常是用离差的平方和，即Q_作为总离差，并使之达到 _这样，回归直线就是所有直线中 Q 取_的那一条，由于平方又叫二乘方，所以这种使“_”的方法，叫最小二乘法对点讲练知识点一 相关关系的判断例 1 根据你的生活经验及掌握的知识，将下列所有你认为正确的结论填入题空中一般的，学生的数学成绩与物理成绩之间是正相关的；一般的，学生的数学成绩与英语成绩是负相关的；一块农田的水稻产量与施肥量之间是相关关系；对于在校儿童，脚的大小与阅读能力有很强的相关关系以上正确的结论是_变式迁移 1 下列两变量中具有相关关系的是( )A角度和它的余弦值 B正方形的边长和面积C人的年龄与身高 D人的身高和体重知识点二 散点
4、图的应用例 2 某地农业技术指导站的技术员，经过在 7 块并排大小相同的试验田上进行施化肥量对水稻产量影响的试验，得到如下表所示的一组数据：( 单位：千克)施化肥量 x 15 20 25 30 35 40 45水稻产量 y 330 345 365 405 445 450 455施化肥量 x 和水稻产量 y 是否具有相关关系？变式迁移 2 5 个学生的数学和物理成绩如下表：学生学科 A B C D E数学 80 75 70 65 60物理 70 66 68 64 62画出散点图，并判断它们是否有相关关系知识点三 回归直线方程及应用例 3 随着人们经济收入的不断增长，个人购买家庭轿车已不再是一种时
5、尚车的使用费用，尤其是随着使用年限的增多，所支出的费用到底会增长多少，一直是购车一族非常关心的问题某汽车销售公司做了一次抽样调查，并统计得出某款车的使用年限 x 与所支出的总费用 y(万元)有如下的数据资料：使用年限 x 2 3 4 5 6总费用 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0若由资料，知 y 对 x 呈线性相关关系试求：(1)线性回归方程 x 的回归系数 、；y b a a b (2)估计使用年限为 10 年时，车的使用总费用是多少？变式迁移 3 某厂某产品的产量 x(单位：千件) 与单位成本 y(单位：万元/千件)的对应数据如下：x 29 28 28.5 29.5 30 31
6、30 29y 500 510 504 494 493 485 492 498(1)对变量 y 与 x 作出散点图；(2)若 y 与 x 具有线性相关关系，求回归直线方程；(3)预测产量 x25 千件时的单位成本1相关关系与函数关系(1)相同点：两者均是指两个变量的关系(2)不同点：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系2用回归直线进行拟合两变量关系的线性相关的一般步骤为：(1)作出散点图，判断散点是否在一条直线附近；(2)如果散点在一条直线附近，用公式求出 、，并写出线性回归方程a b 3在回归直线方程 x 中
7、的含义容易理解成增加的单位数，而实际上，它代表y b a b x 每增加一个单位， y 平均增加的单位数一般地说，当回归系数 0 时，说明两个变量b 呈正相关关系，它的意义是：当 x 每增加一个单位时 y 就增加 个单位；当 0 时，说明b b 两个变量呈负相关关系，它的意义是：当 x 每增加一个单位时， y 就减少| |个单位. b 课时作业一、选择题1下列两变量中不属于相关关系的是( )A产品的成本与产量 B家庭的收入与支出C球的表面积与体积 D吸烟与健康2下列有关线性回归的说法，不正确的是( )A变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B在平面直角坐标系
8、中用描点的方法得到表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图C回归直线方程最能代表观测值 x、y 之间的线性关系D任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归直线方程3设一个回归方程为 31.2x，则变量 x 增加一个单位时( )y Ay 平均增加 1.2 个单位 By 平均增加 3 个单位Cy 平均减少 1.2 个单位 Dy 平均减小 3 个单位42003 年春季，我国部分地区 SARS 流行，党和政府采取果断措施，防治结合，很快使病情得到控制下表是某同学记载的 5 月 1 日至 5 月 12 日每天北京市 SARS 病患治愈者数据及根据这些数据绘制的散点图.日期 5.1 5.2 5.
9、3 5.4 5.5 5.6人数 100 109 115 118 121 134日期 5.7 5.8 5.9 5.10 5.11 5.12人数 141 152 168 175 186 203下列说法：根据此散点图，可以判断日期与人数具有线性相关关系；根据此散点图，可以判断日期与人数具有一次函数关系；后三天治愈出院的人数占这 12 天治愈出院人数的 30%；后三天中每天治愈出院的人数均超过这 12 天内北京市 SARS 病患治愈者总人数的10%.其中正确的个数是( )A1 B2 C3 D45回归方程为 1.5x 15，则( )y A. 1.5 15 B15 是回归系数y x a C1.5 是回归系
10、数 Dx10 时，y0a 二、填空题6命题：路程与时间、速度的关系是相关关系；同一物体的加速度与作用力是函数关系；产品的成本与产量之间的关系是函数关系；圆的周长与面积的关系是相关关系；广告费用与销售量之间的关系是相关关系其中正确的命题序号是_7已知回归直线方程为 0.50x0.81，则 x25 时，y 的估计值为_y 8在研究硝酸钠的可溶性程度时，观测它在不同温度的水中的溶解度，得观测结果如下：温度 x() 0 10 20 50 70溶解度 y 66.7 76.0 85.0 112.3 128.0则由此得到回归直线的斜率为_三、解答题9一般来说，一个人的身高越高，他的手就越大，为调查这一问题，
11、对某校 10 名高一男生的身高与右手长度进行测量得到如下数据(单位：cm) ：身高 168 170 171 172 174 176 178 178 180 181右手长度 19.0 20.0 21.0 21.5 21.0 22.0 24.0 23.0 22.5 23.0(1)根据上述数据制作散点图，判断两者有无线性相关关系；(2)如果具有线性相关关系，求回归方程；(3)如果一名同学身高为 185 cm，估计他的右手长(精确到小数点后一位)2.3 变量的相关性自学导引1函数 相关2(1)由小变大 (2) 由大变小3横坐标 纵坐标 (x i，y i)(i1,2，n)4. 回归直线方程 回归系数 n
12、 i 1xiyi nx y n i 1x2i nx2 y b x5. (yiabx i)2 最小 最小值 离差平方和为最小n i 1对点讲练例 1 解析 由于数学是自然科学的基础，数学成绩好，往往有利于学好与之相关联的学科，特别是物理，实际统计情况也是如此所以是正确的在时间有限的情况下，数学学习投入多，英语学习投入就少，反之亦然于是就断定二者成绩是负相关的这种主观臆断是错误的因为实际情况是：有不少学生数学成绩与英语成绩都好或者是都不好所以是错误的一般情况下，一块农田的水稻产量与施肥量之间是相关的有很强的相关关系这是因为在校儿童随着年龄的增长阅读能力在变强，而年龄增长了，脚也在长大脚的大小和阅读
13、能力之间无因果关系，而是通过第三个因素“年龄”沟通起来的变式迁移 1 D A、B 具有确定性的函数关系 C 无相关关系一般地，身高越高，体重越重，是相关的例 2 解 作出散点图进行分析散点图如下：从散点图可以看出施化肥量 x 和水稻产量 y 的确存在一定相关关系，大体上随着施化肥量的增加，水稻的产量也在增加可见散点图能直观形象地反映两个变量的相关程度变式迁移 2 解 以 x 轴表示数学成绩，y 轴表示物理成绩，可得相应的散点图如图所示：由散点图可知，两者之间具有相关关系例 3 解 (1)列表：i 1 2 3 4 5xi 2 3 4 5 6yi 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0xiyi 4
14、.4 11.4 22.0 32.5 42.0x2i 4 9 16 25 364， 5， 90， iyi112.3x y5i 1x2i5i 1x于是 1.23；b 112.3 54590 542 12.310 51.2340.08.a y b x(2)线性回归直线方程是 1.23x0.08，y 当 x10(年) 时， 1.23100.0812.38(万元) ，y 即估计使用 10 年时，支出总费用是 12.38 万元变式迁移 3 解 (1)散点图如下：(2) 29.375， 497，x yx 6 909.5， y 1 976 494，8 i 12i 8 i 12ixiyi116 744.8 i
15、1 8，b 8 i 1xiyi 8x y 8 i 1x2i 8x2 516.375497 (8)29.375732 ，a 8x732.y (3)当 x25 时， 825732532( 万元/ 千件) y 课时作业1C 球的表面积与体积是函数关系2D3C4B5A6711.6980.880 9解析 30， 93.6，x yx 7 900，5 i 12ixiyi17 035，5 i 1所以回归直线的斜率 b 5 i 1xiyi 5xy 5 i 1x2i 5x2 17 035 53093.67 900 4 5000.880 9.9解 (1)散点图如下图所示：可见，身高与右手长之间的总体趋势成一条直线，即它们线性相关(2)设回归直线方程是 x.y a b 根据以上数据可由计算器计算得174.8， 21.7，x yx 305 730， xiyi37 986.10 i 12i 10 i 1 b 10 i 1xiyi 10x y10 i 1x2i 10x2 0.303，37 986 10174.821.7305 730 10174.82 31.264.a y b x回归直线方程为 0.303x31.264.y (3)当 x185 时， 0.30318531.264y 24.791.故该同学的右手长可估测为 24.8 cm.
