1、第 2 章 推理与证明2.1 合情推理与演绎推理21.1 合情推理 (一)一、基础过关1数列 5,9,17,33，x，中的 x 等于_2f(n)1 (n N*)，计算得 f(2) ，f(4)2，f(8) ，f(16)3，f(32) ，推测12 13 1n 32 52 72当 n2 时，有_3已知 sin230sin 290sin 2150 ，sin 25sin 265sin 2125 . 通过观察上述两等式32 32的规律，请你写出一个一般性的命题：_.4已知 a13，a 26 且 an2 a n1 a n，则 a33_.5数列3,7，11,15，的通项公式是_二、能力提升6设 xR，且 x0
2、，若 xx 1 3，猜想 x2nx2 n(nN *)的个位数字是_7如图，观察图形规律，在其右下角的空格处画上合适的图形，应为_8如图所示四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前 4 项，则这个数列的一个通项公式为_9如图所示，图(a)是棱长为 1 的小正方体，图(b)、图(c)是由这样的小正方体摆放而成按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第 1 层，第 2 层，第 n 层第 n 层的小正方体的个数记为 Sn.解答下列问题(1)按照要求填表：n 1 2 3 4 Sn 1 3 6 (2)S10_.(3)S n_.10传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数他们
3、研究过如图所示的三角形数：将三角形数 1,3,6,10，记为数列a n，将可被 5 整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列b n，可以推测：(1)b2 012 是数列a n中的第_项；(2)b2k1 _.(用 k 表示)11已知数列a n的前 n 项和为 Sn，a 11 且 Sn1 20(n2)，计算1SnS1，S 2，S 3，S 4，并猜想 Sn的表达式12一条直线将平面分成 2 个部分，两条直线最多将平面分成 4 个部分(1)3 条直线最多将平面分成多少部分？(2)设 n 条直线最多将平面分成 f(n)部分，归纳出 f(n1) 与 f(n)的关系；(3)求出 f(n)三、探究与拓展1
4、3在一容器内装有浓度 r%的溶液 a 升，注入浓度为 p%的溶液 a 升，搅匀后再倒出溶14液 a 升，这叫一次操作，设第 n 次操作后容器内溶液的浓度为 bn，计算 b1、b 2、b 3，14并归纳出计算公式答案1652f(2 n)n 223sin 2(60)sin 2sin 2(60)32435a n(1) n(4n1)6778a n3 n1 (nN *)9(1)10 (2)55 (3)nn 1210(1)5 030 (2)5k5k 1211解 当 n1 时，S 1a 11；当 n2 时， 2S 13，1S2S 2 ；13当 n3 时， 2S 2 ，1S3 53S 3 ；35当 n4 时，
5、 2S 3 ，1S4 75S 4 .57猜想：S n (nN *)2n 32n 112解 (1)3 条直线最多将平面分成 7 个部分(2)f(n 1)f(n)n1.(3)f(n)f( n)f(n1) f( n1)f(n2) f(2)f(1)f (1)n(n1)( n2)22 .n2 n 2213解 b 1 ( r p)；a r100 a4p100a a4 110045 15b2 ( )2r p p；ab1 a4p100a a4 1100 45 15 452b3 ( )3r p p p；ab2 a4p100a a4 1100 45 15 452 4253归纳得 bn ( )nr p p p.1100 45 15 452 4n 15n
