1、第四章 定积分1 定积分的概念11 定积分的背景面积和路程问题一、基础过关1 把区间1,3n 等分，所得 n 个小区间的长度均为 ( )A. B. C. D.1n 2n 3n 12n2 把区间a，b ( ab)n 等分之后，第 i 个小区间是 ( )A ， B (ba)， (ba)i 1n in i 1n inCa ，a D a (b a)，a (ba)i 1n in i 1n in3 当 n 很大时，函数 f(x)x 2 在区间 ， 上的值，可以近似替代为 ( )i 1n inAf( ) Bf ( )1n 2nCf( ) Df(0)in4 对于以 vv(t)在0 ，t内汽车作直线运动经过的路
2、程 S，下列叙述正确的是 ( )A将 0， tn 等 分 ， 若 以 每 个 小 区 间 左 端 点 的 速 度 近 似 替 代 时 ， 求 得 的 s 是 S 的 不 足 估 计值B将 0， tn 等 分 ， 若 以 每 个 小 区 间 右 端 点 的 速 度 近 似 替 代 时 ， 求 得 的 s 是 S 的 过 剩 估 计 值C将0，tn 等分，n 越大，求出的 s 近似替代 S 的精确度越高D将0，t n 等分，当 n 很大时，求出的 s 就是 S 的准确值5 一物体沿直线运动，其速度 v(t)t，这个物体在 t0 到 t1 这段时间所走的路程为( )A. B. C1 D.13 12
3、32二、能力提升6 由直线 x1，y 0，x 0 和曲线 yx 3 所围成的曲边梯形，将区间 4 等分，则曲边梯形面积的的近似值(取每个区间的右端点 )是 ( )A. B.119 111256C. D.1127 25647 直线 x0，x 2，y0 与曲线 yx 21 围成的曲边梯形，将区间0,2 5 等分，按照区间左端点和右端点估计梯形面积分别为_、_.8 已知某物体运动的速度为 vt ，t0,10，若把区间 10 等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为_9 试估计由曲线 y ，x 1 及 x 轴所围成的平面图形的面积，并写出估计值的误差x10弹簧在拉伸
4、过程中，力与伸长量成正比，即为：F(x )3x(x 是伸长量，单位：m，力的单位：N) 试估计弹簧从平衡位置拉长 5 m 所做的功，并写出估计值的误差11如果汽车在某一段时间内的速度函数为 v(t)10t,0t5，试估计汽车在这段时间走过的路程，并写出估计值的误差三、探究与拓展12设力 F 作用在质点 m 上，使 m 沿 x 轴正方向从 x0 运动到 x10，已知 FF(x) 且和 x 轴正向相同求 F 对质点 m 所做的功1x 1答案1B 2D 3C 4C 5 B 6D 73.92 5.52 8559解 首先画出图像：将区间0,15 等分，即插入 4 个分点，在每个分点处作与 y 轴平行的直
5、线段，将整个曲边梯形分成 5 个小曲边梯形；若用 f(0.2)，f(0.4)，f(0.6) ，f(0.8)，f(1)分别表示这 5 个小曲边梯形的高，则得出曲边梯形的过剩估计值为S1( )0.20.75.0.2 0.4 0.6 0.8 1若用 f(0)，f(0.2)，f(0.4) ，f(0.6)，f(0.8)分别表示这 5 个小曲边梯形的高，则得出曲边梯形的不足估计值为S2( )0.20.55.0 0.2 0.4 0.6 0.8无论是过剩估计值还是不足估计值，误差都不超过 0.20.10解 将0,55 等分，即插入 4 个分点，则将整个功分成 5 个小位移段内的功；若用 F(1)，F (2)，
6、F (3)，F(4)，F(5)分别近似替代 F 引起的物体在 01 m,12 m，23 m,34 m,45 m 段内运动时所受的力的平均大小，则得出功的过剩估计值为W131323 33435145(J)；若用 F(0)，F (1)，F (2)，F(3)，F(4)分别近似替代 F 引起的物体在 01 m,12 m，23 m,34 m,45 m 段内运动时所受的力的平均大小，则得出功的不足估计值为W230313 23334130(J)无论是过剩估计值还是不足估计值，误差都不超过 15 J.11解 将区间0,55 等分，即插入 4 个分点，则将整个路程分成 5 个时间段内的路程若用 v(1)，v(2
7、)，v(3) ，v(4)，v(5)分别近似替代这 5 个时间段内的平均速度，则得出所求路程的过剩估计值为S(101102103 104105) 1150.若用 v(0)，v(1)，v(2) ，v(3)，v(4)分别近似替代这 5 个时间段内的平均速度，则得出所求路程的不足估计值为s(100101102 103104) 1100.无论是过剩估计值还是不足估计值，误差都不超过 50 m.12解 (1)将0,10 10 等分，即插入 9 个分点，则将整个功分成 10 个小位移段内的功(2)若用 F(0)，F(1) ，F(2) ，F (3)，F(4)，F(5)，F(6)，F(7)，F(8)，F(9)
8、分别近似替代 F引起的物体在 01 m,12 m，23 m，34 m,45 m,56 m,67 m，78 m,89 m,910 m 段内运动时所受的力的平均大小，则得出功的过剩估计值为W1( )12.93；11 12 13 110若用 F(1)，F (2)，F (3)，F(4)，F(5)，F(6)，F(7)，F(8)， F(9)，F(10)，分别近似替代F 引起的物体在 01 m，1 2 m，23 m,34 m,45 m,56 m，67 m,78 m，89 m，910 m 段内运动时所受的力的平均大小，则得出功的不足估计值为W2( )12.02.12 13 110 111无论是过剩估计值还是不足估计值，误差都不超过 0.91.
