1、选修 4-1 几何证明选讲第 1 讲 相似三角形的判定及有关性质(时间：30 分钟 满分：60 分)一、填空题(每小题 5 分，共 40 分)1. 如图，在 RtABC 中，ACB90，CDAB 于点D，AD 4，sinACD ，则45CD_，BC_.解析 在 RtADC中，AD4，sinACD ，得ADAC 45AC5，CD 3，AC2 AD2又由射影定理 AC2AD AB，得 AB .AC2AD 254BDABAD 4 ，254 94由射影定理 BC2BD AB ， BC .94 254 154答案 3 1542. (2013揭阳模拟 )如图，BD AE，C90 ，AB4，BC2，AD 3
2、，则EC_.解析 在 RtADB中，DB ，AB2 AD2 7依题意得， ADBACE， ，可得 EC 2 .DBEC ADAC DBACAD 7答案 2 73. (2013茂名模拟)如图，已知 ABEF CD，若AB4，CD12，则 EF _.解析 ABCDEF， ， ，ABEF BCCF BCBF CDEF ， ，4EF BCBC BF BCBF 12EF4(BCBF)12BF ，BC4BF， ，EF3.BCBF 14 12EF答案 34. (2013湛江模拟)如图，在ABC 中，D 是 AC 的中点，E 是 BD 的中点，AE 交于 BC 于 F，则_.BFFC解析 如图，过点 D作 D
3、GAF，交 BC于点G，易得 FGGC，又在三角形 BDG中，BEDE，即 EF为三角形 BDG的中位线，故BFFG，因此 .BFFC 12答案 125. 如图，C90 ，A30 ，E 是 AB 中点，DEAB于 E，则ADE 与ABC 的相似比是_解析 E 为 AB中点， ，即 AE AB，AEAB 12 12在 RtABC中， A30 ，AC AB，32又 RtAEDRtACB，相似比为 .AEAC 13故ADE 与ABC 的相似比为 1 .3答案 1 36. 如图，AEBFCGDH，AB BCCD，AE12，DH1612，AH 交 BF 于 M，则 BM_，CG_.解析 AEBF CGD
4、H，AB BCCD，AE12，DH16， ，12 ABAD 14 . ， BM4.BMDH ABADBM16 14取 BC的中点 P，作 PQDH交 EH于 Q，如图，则 PQ是梯形 ADHE的中位线，PQ (AEDH) (1216)14.12 12同理：CG (PQDH) (1416)15.12 12答案 4 157. 在ABC 中，D 是 BC 边上的中点，且ADAC，DE BC ，DE 与 AB 相交于点E，EC 与 AD 相交于点 F，S FCD 5，BC10，则 DE_.解析 过点 A作 AMBC 于 M，由于 BECD，且ADCACD，得ABC与FCD 相似，那么 SABCSFCD
5、2 4 又 SFCD5，那么 SABC20，(BCCD)由于 SABC BCAM，由 BC10，得12AM4，又因为 DEAM，得 ， DM DC ，因此 ，DEAMBDBM 12 52 DE4 55 52得 DE .83答案 838. 如图，在梯形 ABCD 中，AB CD，且AB2CD，E、F 分别是 AB、BC 的中点，EF 与 BD相交于点 M.若 DB9，则 BM_.解析 E 是 AB的中点，AB2EB.AB2CD ，CDEB .又 ABCD， 四边形 CBED是平行四边形CBDE，Error!EDMFBM. .DMBMDEBFF是 BC的中点，DE2BF.DM 2BM.BM DB3
6、.13答案 3二、解答题(共 20 分)9(10 分) 如图，在等腰梯形 ABCD 中，ADBC，AB DC ，过点 D 作 AC 的平行线 DE，交 BA 的延长线于点 E，求证：(1)ABCDCB；(2)DEDCAE BD.证明 (1)四边形 ABCD 是等腰梯形，ACBD.ABDC，BCCB，ABCDCB.(2)ABCDCB.ACBDBC，ABCDCB.AD BC，DACACB，EADABC .DACDBC，EADDCB.ED AC，EDA DAC.EDA DBC， ADECBD.DE BD AECD.DEDC AEBD.10(10 分) 如图， ABC 中，AB AC，BAC90，AE AC，BD AB，点 F 在 BC 上，且13 13CF BC.求证：13(1)EFBC；(2)ADEEBC.证明 设 ABAC3a，则 AEBD a，CF a.2(1) ， CECB 2a32a 23 CFCA 2a3a 23.又C 为公共角，故BACEFC，由BAC90.EFC90，EFBC.(2)由(1)得 EF a，2故 ， ，AEEF a2a 22 ADBF 2a22a 22 .DAE BFE90，AEEF ADFBADE FBE，ADE EBC.
