1、- 1 -23.3 & 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质第一课时 直线与平面、平面与平面垂直的性质直线与平面垂直的性质提出问题世界上的高楼大厦太多了：中国上海中心大厦 632 米，天津高银 117 大厦 621 米，位于深圳的平安国际金融大厦 600 米(如右图)问题 1：上海中心大厦外墙的每列玻璃形成的直线与地面有何位置关系？提示：垂直问题 2：每列玻璃形成的直线是什么位置关系？提示：平行导入新知直线与平面垂直的性质定理(1)文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行(2)图形语言：(3)符号语言：Error! a b.(4)作用：线面垂直线线平行；作平行线化解疑难对于线面垂直的性
2、质定理的理解(1)直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法(2)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据- 2 -平面与平面垂直的性质提出问题教室内的黑板所在的平面与地面所在的平面垂直问题 1：在黑板上任意画一条线与地面垂直吗？提示：不一定，也可能平行、相交(不垂直)问题 2：怎样画才能保证所画直线与地面垂直？提示：只要保证所画的线与两面的交线垂直即可导入新知平面与平面垂直的性质定理(1)文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直(2)图形语言：(3)符号语言：Error!a .(4)作用：面面垂直线面
3、垂直；作面的垂线化解疑难对面面垂直的性质定理的理解(1)定理成立的条件有三个：两个平面互相垂直；直线在其中一个平面内；直线与两平面的交线垂直(2)定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直(3)已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直.线面垂直性质定理的应用例 1 如图，已知 AB平面 ACD， DE平面 ACD， ACD 为等边三角形，AD DE2 AB， F 为 CD 的中点- 3 -求证：平面 BCE平面 CDE.解 证明：取 CE 的中点 G，连接 FG， BG， AF. F 为 CD 的中点， GF DE，且 GF DE.12 AB平面 ACD， D
4、E平面 ACD， AB DE.则 GF AB.又 AB DE， GF AB.12则四边形 GFAB 为平行四边形于是 AF BG. ACD 为等边三角形， F 为 CD 的中点， AF CD. DE平面 ACD， AF平面 ACD， DE AF.又 CD DE D， CD， DE平面 CDE， AF平面 CDE. BG AF， BG平面 CDE. BG平面 BCE，平面 BCE平面 CDE.类题通法1此类问题是证明两个平面垂直比较难的问题，证明时要综合题目中的条件，利用条件和已知定理来证，或从结论出发逆推分析2若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行， 可考虑利用线面垂直的性
5、质定理，证明另一条直线和这个平面垂直，证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质活学活用如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为菱形， PB平面 ABCD.(1)若 AC6， BD8， PB3，求三棱锥 APBC 的体积；(2)若点 E 是 DP 的中点，证明： BD平面 ACE.解：(1)四边形 ABCD 为菱形， BD 与 AC 相互垂直平分，底面 ABCD 的面积 S 菱形 ABCD 6824，12 S ABC S 菱形 ABCD12.12- 4 -又 PB平面 ABCD，且 PB3，三棱锥 APBC 的体积 VAPBC VPABC PBS ABC12.13(2)
6、证明：如图，设 BD 与 AC 相交于点 O，连接 OE， O 为 BD 的中点， E 是 DP 的中点， OE PB.又 PB平面 ABCD， OE平面 ABCD. BD平面 ABCD， OE BD，由(1)知 AC BD，又 AC OE O， BD平面 ACE.面面垂直的性质的应用例 2 如图所示， P 是四边形 ABCD 所在平面外的一点，四边形ABCD 是 DAB60，且边长为 a 的菱形侧面 PAD 为正三角形，其所 在平面垂直于底面 ABCD.(1)若 G 为 AD 边的中点，求证： BG平面 PAD；(2)求证： AD PB.解 证明：(1)连接 PG，由题知 PAD 为正三角形
7、， G 是 AD 的中点，则 PG AD.又平面 PAD平面 ABCD， PG平面 PAD， PG平面 ABCD. BG平面 ABCD， PG BG.又四边形 ABCD 是菱形，且 DAB60， ABD 是正三角形则 BG AD.又 AD PG G，且 AD， PG平面 PAD， BG平面 PAD.(2)由(1)可知 BG AD， PG AD.又 BG， PG 为平面 PBG 内两条相交直线， AD平面 PBG. PB平面 PBG， AD PB.- 5 -类题通法证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理利用
8、面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线活学活用如图，菱形 ABEF 所在平面与直角梯形 ABCD 所在平面互相垂直，AB2 AD2 CD4， ABE60， BAD CDA90，点 H 是线 段EF 的中点(1)求证：平面 AHC平面 BCE；(2)求此几何体的体积解：(1)证明：连接 AE，在菱形 ABEF 中，因为 ABE60，所以 AEF 是等边三角形又因为 H 是线段 EF 的中点，所以 AH EF，所以 AH AB.因为平面 ABEF平面 ABCD，且平面 ABEF平面 ABCD AB
9、，所以 AH平面 ABCD，所以 AH BC.在直角梯形 ABCD 中， AB2 AD2 CD4， BAD CDA90，得到 AC BC2 ，2从而 AC2 BC2 AB2，所以 AC BC.又 AH AC A，所以 BC平面 AHC.又 BC平面 BCE，所以平面 AHC平面 BCE.(2)连接 FC，因为 V VEACB VFADC VCAEF，又易得 S ACB4， S ADC2， S AEF4 ，3所以 V VEACB VFADC VCAEF (2 42 224 ) .13 3 3 3 2033线线、线面、面面垂直的综合问题例 3 已知：如图，平面 PAB平面 ABC，平面 PAC平面
10、ABC， AE平面 PBC， E 为垂足(1)求证： PA平面 ABC；- 6 -(2)当 E 为 PBC 的垂心时，求证： ABC 是直角三角形解 证明：(1)在平面 ABC 内任取一点 D，作 DF AC 于点 F，作 DG AB 于点 G.平面PAC平面 ABC，且交线为 AC， DF平面 PAC. PA平面 PAC， DF PA.同理可证， DG PA. DG DF D， PA平面 ABC.(2)连接 BE 并延长交 PC 于点 H. E 是 PBC 的垂心， PC BH.又 AE 是平面 PBC 的垂线， PC AE. BH AE E， PC平面 ABE， PC AB.又 PA平面
11、ABC， PA AB. PA PC P， AB平面 PAC. AB AC，即 ABC 是直角三角形类题通法线线、线面、面面垂直关系的综合应用主要体现了转化思想证明线面垂直常转化为线线垂直，证明面面垂直常转化为线面垂直活学活用如图，在三棱锥 PABC 中， E， F 分别为 AC， BC 的中点(1)求证： EF平面 PAB；(2)若平面 PAC平面 ABC，且 PA PC， ABC90，求证：平面 PEF平面 PBC.证明：(1) E， F 分别为 AC， BC 的中点， EF AB.又 EF平面 PAB， AB平面 PAB， EF平面 PAB.(2) PA PC， E 为 AC 的中点， P
12、E AC.又平面 PAC平面 ABC，- 7 - PE平面 ABC， PE BC.又 F 为 BC 的中点， EF AB. ABC90， BC EF. EF PE E， BC平面 PEF.又 BC平面 PBC，平面 PBC平面 PEF.5.垂 直 性 质 定 理 应 用 的 误 区典例 已知两个平面垂直，有下列命题：一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面其中正确命题的个数是( )A3 B2 C1 D0解析 如图，在正方体 AB
13、CD A1B1C1D1中，对于 AD1平面AA1D1D， BD平面 ABCD， AD1与 BD 是异面直线，所成角为 60，错误；正确对于， AD1平面 AA1D1D，AD1不垂直于平面 ABCD；对于，过平面 AA1D1D 内点 D1作 D1C. AD平面 D1DCC1， D1C平面 D1DCC1， AD D1C.但 D1C 不垂直于平面 ABCD，错误答案 C易错防范对于，很容易认为是正确的，其实与面面垂直的性质定理是不同的， “一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直”与“过一个平面内任意一点作交线的垂线，此垂线与另一个平面垂直”是不同的，关键是过点作的直线不一定在已知平面内成功破障-
14、 8 -如果直线 l， m 与平面 ， ， 之间满足： l ， l ， m 和 m ，那么( )A 且 l m B 且 m C m 且 l m D 且 答案：A随堂即时演练1下列命题中错误的是( )A如果平面 平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面 B如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 C如果平面 平面 ，平面 平面 ， l，那么 l平面 D如果平面 平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面 答案：D2设 ， 为不重合的平面， m， n 为不重合的直线，则下列命题正确的是( )A若 m ， n ， m n，则 B若 n ， n ， m ，则 m C若 m ， n
15、 ， m n，则 D若 ， n ， m n，则 m 答案：B3若 a， b 表示直线(不重合)， 表示平面，有下列说法： a ， b a b； a ， a bb ； a ， a bb ； a ， b a b.其中正确的是_(填序号)答案：4平面 平面 ， l， n ， n l，直线 m ，则直线 m 与 n 的位置关系是_答案：平行5.如图，正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直，EF AC， AB ， CE EF1 ，求证： CF平面 BDE.2证明：如图，设 AC BD G，连接 EG， FG.由 AB 易知 CG1，2则 EF CG CE.又 EF CG，所以四边形 C
16、EFG 为菱形，所以 CF EG.因为四边形 ABCD 为正方形，所以 BD AC.- 9 -又平面 ACEF平面 ABCD，且平面 ACEF平面 ABCD AC，所以 BD平面 ACEF，所以 BD CF.又 BD EG G，所以 CF平面 BDE.课时达标检测一、选择题1若 l， m， n 表示不重合的直线， 表示平面，则下列说法中正确的个数为( ) l m， m n， l n ； l m， m ， n l n； m ， n m n.A1 B2 C3 D0答案：C2如果直线 a 与平面 不垂直，那么平面 内与直线 a 垂直的直线有( )A0 条 B1 条C无数条 D任意条答案：C3(浙江高
17、考)设 l 是直线， ， 是两个不同的平面( )A若 l ， l ，则 B若 l ， l ，则 C若 ， l ，则 l D若 ， l ，则 l 答案：B4已知平面 平面 ， l，点 A ， Al，直线 AB l，直线 AC l，直线m ， m ，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )A AB m B AC mC AB D AC 答案：D5.如图，线段 AB 的两端在直二面角 l 的两个面内，并 与这两个面都成 30角，则异面直线 AB 与 l 所成的角是( )A30 B45 C60 D75答案：B- 10 -二、填空题6.如图，已知平面 平面 l， EA ，垂足为A， EB ，垂足为 B，
18、直线 a ， a AB，则直线 a 与直线 l 的位 置关系是_答案：平行7.如图，四面体 PABC 中， PA PB ，平面 PAB平面13ABC， ABC90， AC8， BC6，则 PC_.答案：78.如图，已知六棱锥 PABCDEF 的底面是正六边形， PA平面ABC， PA2 AB，则下列结论： PB AE；平面 ABC平面 PBC；直线 BC平面 PAE； PDA45.其中正确的有_(把所有正确的序号都填上)答案：三、解答题9.如图，三棱锥 PABC 中，已知 ABC 是等腰直角三角形， ABC90， PAC 是直角三角形， PAC90，平面 PAC平面 ABC.求 证：平面 PA
19、B平面 PBC.证明：平面 PAC平面 ABC，平面 PAC平面 ABC AC， PA AC， PA平面 ABC.又BC平面 ABC， PA BC.又 AB BC， AB PA A， AB平面 PAB，PA平面 PAB， BC平面 PAB.又 BC平面 PBC，平面 PAB平面 PBC.10.如图所示，在四棱锥 PABCD 中， PA底面ABCD， AB AD， AC CD， ABC60， PA AB BC， E 是 PC 的中 点证明：(1)CD AE；(2)PD平面 ABE.证明：(1)在四棱锥 PABCD 中， PA底面 ABCD， CD平面 ABCD， PA CD. AC CD， PA AC A，
