1、3.1.3 空间向量基本定理一、基础过关1 设命题 p：a、b、c 是三个非零向量；命题 q： a，b，c 为空间的一个基底，则命题p 是命题 q 的_条件2 下列命题中真命题有_( 填序号) 空间中的任何一个向量都可用 a，b，c 表示；空间中的任何一个向量都可用基向量 a，b，c 表示；空间中的任何一个向量都可用不共面的三个向量表示；平面内的任何一个向量都可用平面内的两个向量表示3 已知 a、b、c 是不共面的三个向量，则下列选项中能构成一个基底的一组向量是_2a，ab，a2b 2b，ba，b2aa,2b，bc c ，ac ，a c4 下列说法正确的是_( 填序号) 任何三个不共线的向量都
2、可构成空间的一个基底；不共面的三个向量就可构成空间的单位正交基底；单位正交基底中的基向量模为 1 且互相垂直；不共面且模为 1 的三个向量可构成空间的单位正交基底5 在以下三个命题中，真命题的个数是_三个非零向量 a、b、c 不能构成空间的一个基底，则 a、b、c 共面；若两个非零向量 a、b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则 a、b 共线；若 a、b 是两个不共线的向量，而 c a b (、R 且 0)，且a，b，c 构成空间的一个基底6 已知空间的一个基底a，b，c，m abc，n xaybc，若 m 与 n 共线，则x_，y _.7 正方体 ABCDA1B1C1D1 中，点 E
3、、F 分别是底面 A1C1 和侧面 CD1 的中心，若 EF 0 ( R)，则 _.A1D 8 从空间一点 P 引出三条射线 PA，PB，PC，在 PA，PB，PC 上分别取a， b， c，点 G 在 PQ 上，且 PG2GQ，H 为 RS 的中点，则PQ PR PS _.(用 a，b，c 表示)GH 二、能力提升9 若向量 、 、 的起点 M 与终点 A、B、C 互不重合且无三点共线，且满足下列MA MB MC 关系(O 是空间任一点)，则能使向量 、 、 成为空间一个基底的关系是MA MB MC _(填序号) OM 13OA 13OB 13OC MA MB MC OM OA OB OC 2
4、 MA MB MC 10在空间平移ABC 到A 1B1C1(使A 1B1C1 与ABC 不共面) ，连结对应顶点设a， b， c，M 是 BC1 的中点，N 是 B1C1 的中点，用基底 a，b，c表示AA1 AB AC 向量 的结果是 _AM AN 11.如图所示，在正方体 AC1 中，取 a， b， c 作为基底AB AD AA1 (1)求 ；BD1 (2)若 M，N 分别为边 AD，CC 1 的中点，求 .MN 12.如图，平行六面体 OABCOABC，且 a， b， c.OA OC OO (1)用 a，b，c 表示向量 ；AC (2)设 G，H 分别是侧面 BBCC 和 OABC 的中
5、心，用 a，b，c 表示 .GH 三、探究与拓展13已知e 1，e 2，e 3为空间的一个基底，且2e 1e 23e 3， e 12e 2e 3， 3e 1e 22e 3， e 1e 2e 3.OP OA OB OC (1)判断 P、A 、B、C 四点是否共面；(2)能否以 ， ， 作为空间的一个基底？若不能，说明理由；若能，试以这一OA OB OC 基底表示向量 .OP 答案1必要不充分 2 3 4 52 61 1 7 8 a b c12 23 12 129 10 abc3211解 (1) BD1 BD DD1 abc.BA AD DD1 (2) MN MC CN MD DC 12CC1 1
6、2AD AB 12AA1 a b c.12 1212解 (1) AC AC CC bca.OC OA OO (2) GH GO OH OG OH ( ) ( )12OB OC 12OB OO (abcb) (abcc )12 12 (c b)1213解 (1)假设四点共面，则存在实数 x、y、z 使 x y z ，且OP OA OB OC xyz1，即 2e1e 23e 3x(e 12e 2e 3)y(3e 1e 22e 3)z(e 1e 2e 3)，比较对应项的系数，得到关于 x、y、z 的方程组Error!解得Error!与 xyz1 矛盾，故四点不共面；(2)若向量 、 、 共面，则存在实数 m、n 使 m n ，同(1)可证，这不OA OB OC OA OB OC 可能，因此 ， ， 可以作为空间的一个基底令 a， b， c，由OA OB OC OA OB OC e12e 2e 3a ，3e 1e 22e 3b，e 1e 2e 3c，联立得到方程组，从中解得Error!所以 17 5 30 .OP OA OB OC
