1、第四章 变量之间的关系回顾与思考沈阳市南昌中学 董娟一、 学生起点分析：七年级上学期中，教科书已经在代数式求值、探索规律等方面渗透了变化的思想，而本章是第一次集中讨论变量之间的关系，研究现实世界中的变化规律，使学生从常量的世界进入了变量的世界，开始接触一种新的思维方式。函数是研究现实世界变化规律的一个重要模型，对它的学习一直是初中阶段数学学习的一个重要内容。在前面相关知识的学习过程中，学生已经学习了变量之间关系，解决了一些简单的现实问题，感受到了变量之间关系研究的必要性和作用，获得了研究变量内容所必须的一些数学活动经验的基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的
2、合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。二、教学任务分析教科书基于学生对本章知识的认识，提出了本课的具体学习任务：回顾总结表示变量之间的方法，学会用表示变量之间关系的各种形式分析变量之间的关系，能用适当的方式表示实际情境中变量之间的关系，并进行简单的预测。从常量的世界走入变量的世界，开始接触一种新的思维方式用运动变化的观点去认识数学对象，发展符号感和抽象思维。发展有条理的思考和进行表达的能力。能从运动变化的角度解释生活中的数学现象，体验成就感，获得学习的快乐，发展对数学更高层次的认识。能读懂表格、关系式、图象所表示的信息，还能用表格、关系式、图象刻画一些具体情境中变量之间的关系.三、教学
3、设计分析本节课按知识点分类设计了五个教学环节：知识梳理、典型例题、自主反馈、课堂小结、布置作业第一环节：知识梳理1、举例说明常量、变量；2、 举例说明自变量和因变量；3、表示变量之间关系的方法有哪些，各有什么特点。 第二环节：典型例题例 1一名同学在用弹簧做实验，在弹簧上挂不同质量的物体后，弹簧的长度就会发生变化，实验数据如下表：所挂物体的质量/千克 0 1 2 3 4 5弹簧的长度/cm 12 12.5 13 13.5 14 14.5(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？(2)弹簧不挂物体时的长度是多少？如果用 x 表示弹性限度内物体的质量，用 y 表示弹簧的长度
4、，那么随着 x 的变化，y 的变化趋势如何？(3)如果此时弹簧最大挂重量为 15 千克，你能预测当挂重为 10 千克时，弹簧的长度是多少？说明：用表格来表示变量之间关系，其优点是：对于表中的自变量的每一个值，可以不通过计算，直接把因变量的值找到（如本题 0 千克与 12cm 这组对应值） ，其不足之处是：表格只能列出部分自变量与因变量对应的值（如本例10 千克与 17cm 这组对应值，表格中没有反映出来） ，难以反映变量之间变化的全貌。丰富的现实情境自变量和因变量 变量之间关系的探索和表示列表法关系式法图像法利用变量之间的关系解决问题、进行预测变量之间的关系例 2如图：将边长为 20cm 的正
5、方形纸片的四个角截去相同的小正方形，然后将截好的材料围成一个无盖的长方体。(1)这个情境反映了哪两个变量之间的关系？其中自变量是什么？因变量是什么？(2)在以上问题中，若设截去的小正方形的边长是 xcm，围成的无盖长方体的体积是 ycm3,则 y 与 x 之间的关系式是_；(3)若小正方形的边长是 5cm，那么长方体的体积是多少 cm3？当 x=2.5cm 体积是多少 cm3(4)根据以上关系式填下表：(5)当 x 在什么范围变化时，y 随 x 的增大而增大，当 x 在什么范围变化时，y随 x 的增大而减小？你又是根据哪种表示法得到的？(6)请你估计 x 取何值时，制成的无盖长方体的体积最大？
6、说明：用关系式表示变量之间关系，其优点是：比较准确，有了关系式，可以由自变量的一个值，求出相应的因变量的值，反过来知道因变量的一个值，也可以求出相应的自变量的值。 （如本题 5cm 与 500 cm3 这组对应值） ，其不足之处是：关系式反应的两个变量之间的关系比较抽象，只有借助列出部分自变量与因变量对应值表才能看出变化的特点。例 3小红与小兰从学校出发到距学校 5 千米的书店买书，下图反应了他们两人离开学校的路程与时间的x/cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9y/cm3312450 10 20 30 40 50 60 t/分钟s/千米实线-小兰虚线-小红关系。根据图形尝试解决你们提出的问
7、题。（1）小红与小兰谁先出发？谁先达到？（2）描述小兰离学校的路程与时间的变化关系。（3）小兰前 20 分钟的速度和最后 10 分钟的速度是多少？怎样从图像上直观地反映速度的大小？（4）小红与小兰从学校到书店的平均速度各是多少？说明：用图象表示变量之间关系，其优点是：能形象直观反映事物变化的全过程、变化趋势和某些性质，其不足之处是：表示出来的图象是近似的、局部的，观察由图象确定的因变量的值，往往不够准确。例 4一辆汽车以每小时 50 千米的速度行驶了 t 小时，行驶的路程为 s 千米.（1）这个情境中，有哪些变量？其中自变量是什么？因变量是什么？(2)你能用哪种方式表示路程与时间之间的关系？具
8、体做一做。（3）该汽车行驶 2.5 小时的路程是多少千米？（4）一段公路全长 350 千米，这辆汽车行驶完全程需要多少小时？说明：用关系式、表格、图象三种不同的方法表示一个问题中的两个变量之间的关系，进一步体会三种表示方法的优点和不足；体会三种不同方法互相取长补短来共同研究，这也是今后我们学习函数的重要的方法例 5分析下面反映变量之间关系的图，想象一个适合它的实际情境.说明：通过本题培养学生的思维的灵活性和合理的想象能力、语言的表达能力，进一步体会用图像来反映两个变量之间的关系。（1）可以把 x 和 y 分别代表时间和距离，那么这个图可以描述为：小华骑车从学校回家，一段后，停下来修车，然后又开
9、始往家走，直到回家；（2）可以把 x 和 y 分别代表时间和速度，那么这个图可以描述为：一辆汽车，减速行驶一段时间后，匀速行驶了一段时间，然后逐渐减速，到了目的地停下来.（3）可以把 x 和 y 分别代表时间和蓄水量，那么这个图可以描述为：一个水池先放水，一段后，停止，随后，又接着放水直到放完.（4）可以把 x 和 y 分别代表时间和高度，那么这个图就可以描述为：一架飞机从一定的飞行高度慢慢下降一个高度，然后在这一高度飞行了一段时间后，快到机场时，开始降落，最后降落在机场.第三环节：自主反馈1. 2012 年 6 月份某一天沈阳的气温随时间变化的情况如图所示，回答下列问题：(1)这天的最高气温
10、约是 ；(2)这天一共有 个小时的气温在 24以上；(3)这天在 范围内温度在上升；这天在 范围内温度在下降；(4)请你预测一下，次日凌晨 1 点的气温大约多少度。2.果子成熟从树上落到地面，它落下的高度与经过的时间有如下的关系：时间 t/秒 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 高度 h/米 50.25 50.36 50.49 50.64 50.81 51 (1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？(2)如果果子经过 2 秒落到地上，那么请估计这果子开始落下时离地面的高度是多少米？(3)请你列出果子落下的高度 h（米）与时间 t（秒）之间的关系式。3某种油箱容量
11、为 60 升的汽车，加满汽油后，汽车行驶时油箱的油量 Q（升）随汽车行驶时间 t（时）变化的关系式如下：Q606t (1)请完成下表温度/2022242628时间0 3 6 9 12 15 18 21 24汽车行驶时间 t/小时 0 1 2.5 4油箱的油量 Q/升 60(2)汽车行驶 5 小时后，油箱中油量是 升(3)若汽车行驶过程中，油箱的油量为 12 升，则汽车行驶了 小时(4)贮满 60 升汽油的汽车，最多行驶 小时(5)下面哪个图像能够反映变量 Q 与 t 的关系的是（ ）第四环节：课堂小结活动内容：畅谈这节课的收获和体会活动目的：让学生通过畅谈自己的收获的体会，巩固所学知识，感受解
12、决问题的过程中蕴含的数学思想与方法.活动注意事项：本节课是复习课，题目涵盖本章知识点，在解答的过程中学生肯定有不少收获和感想，在小结时让学生互相交流，加深对知识的理解，还可以让学生说说困惑，结合具体题目进行点拨。第五环节：布置作业根据学生基础选择不同层次作业：选择 1、课本 113 页复习题。选择 2、附加水平测试题。水平测试一、选择题：1下列各情景分别可以用哪一幅图来近似的刻画？ 汽车紧急刹车（速度与时间的关系） （ ） Qt（A）Qt（B）Qt（C）人的身高变化（身高与年龄的关系） （ ） 跳高运动员跳跃横杆（高度与时间的关系） （ ） 一面冉冉上升的红旗（高度与时间的关系） （ ） 2如
13、果每盒圆珠笔有 12 支，售价 18 元，那么圆珠笔的售价 y(元)与圆珠笔的支数 x 之间的关系可表示为（ ）A.y= x B. y= x C.y=12x D.y=18x3233张大伯出去散步，从家走了 20 ，到了一个离家 900m 的阅报亭，看了 10min报纸后，用了 15 返回到家，下面图象中能表示张大伯离家时间与距离minin之间关系的是（ ） 4. 下面的表格列出了一项实验的统计数据，表示将弹力球从高处 d 落下时，弹跳高度 b 与下落高度 d 的关系d 50 80 100 150b 25 40 50 75试问：下面的哪一个等式能表示这种关系（ ）A.b=d+25 B.d=b2
14、C.b=d-25 D. 2db5.甲、乙二人在一次赛跑中，路程 s（米）与时间 t(分)的关系如图所示，从图中可以看出，下列结论错误的是（ ）A.这是一次 100 米赛跑 B.甲比乙先到达终点C.乙跑完全程需 12.5 秒 D.甲的速度为 8 米/秒6 “龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起千in时9001020 3040500m千in时90010203040500min9001020 3040500min90010 20 30 4050010012 12.5 t/秒s/米甲 乙(A) (B) (C) (D)3213 33 2 22 11 1 DCBA 60 606
15、0 60 44 4420 20 2020 ss ss tt tt来，睡了一觉。当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点.用 S1、S 2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（ ）7如图，某产品的生产流水线每小时可生产 100 件产品生产前没有产品积压生产 3 小时后安排工人装箱，若每小时装产品 150 件，未装箱的产品数量（y）与时间（t）的大致图象只能是（ ） 8一列火车由甲地驶往相距 600的乙地，火车的速度是 200/时，火车离乙市的距离 s（单位：）随行驶时间 t (单位：小时) 变化的关系用图表示正确的是( )
16、 9下表是我国从 1949 年到 1999 年的人口统计数据（精确到 0.01 亿）从表中获取的的信息错误的是（ ）A.人口随时间的变化而变化，时间是自变量，人口是因变量B.19691979 年 10 年间人口增长最快C.若按 19491999 这 50 年的增长平均值预测，我国 2009 年人口总数为 14 亿D.从 19491999 这 50 年人口增长的速度逐渐加大10.如图是自行车行驶路程与时间关系图，则整个行程过程的平均速度是（ ）时间（年） 1949 1959 1969 1979 1989 1999人口（亿） 5.42 6.72 8.07 9.75 11.07 12.59stS1S
17、2AstBS1S2stS1S2CstS2S1DytytytytO O O OAOB C DA.20 千米/时 B.40 千米/时 C.15 千米/时 D.25 千米/时二、填空题：11.一个四棱柱的底面是一个边长为 10cm 的正方形，它的高变化时，棱柱的体积也随之变化.（1）在这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 ；（2）若棱柱的高度为 h(cm)，则棱柱的体积 V（cm 3）与 h 的关系式为 ；（3）当高由 1cm 变化到 8cm 时，棱柱的体积由 cm3变化到 cm3。12.某水果店卖出的香蕉数量（千克）与售价（元）之间的关系如下表：数量（千克）0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.
18、5 售价（元） 1.5 3 4.5 6 7.5 9 10.5 (1)如果卖出的香蕉数量用 x（千克）表示，售价用 y（元）表示，则 y 与 x 的关系式为 ；(2)当卖出香蕉数量 x=12 千克时，y= 元。如果卖出香蕉数量 x 在 80千克到 100 千克之间，那么售价在 元到 元之间变化。13长方形的周长为 24cm，其中一边为 （其中 ） ，面积为 ，则这样x0y2cm的长方形中 与 的关系式为 yx14. A、B 两地相距 500 千米，一辆汽车以 50 千米/时的速度由 A 地驶向 B 地.汽车距 B 地的距离 y(千米)与行驶时间 t(之间)的关系式为 .在这个变化过程中，自变量是
19、 ，因变量是 .15.某人用新充值的 50 元 IC 卡打长途电话，按通话时间 3 分钟内收 2.4 元，超过 1 分钟加收一元钱的方式缴纳话费.若通话时间为 t 分钟（t 大于等于 3 分钟），那么电话费用 w 可以表示为 ；当通话时间达到 10 分钟时，卡中所剩话费从 50 元减少到 元.三、解答题：16下表中的数据是根据某地区入学儿童人数编制的：0千/ 千/302501505 154132109年份 1998 1999 2000 2001 2002入学儿童人数 2930 2720 2520 2330 2140（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）随着自变
20、量的变化,因变量变化的趋势是什么?（3）你认为入学儿童的人数会变成零吗? 17如图，它表示甲乙两人从同一个地点出发后的情况。到十点时，甲大约走了 13 千米。根据图象回答：（1）甲是几点钟出发？（2）乙是几点钟出发，到十点时，他大约走了多少米？（3）到十点为止，哪个人的速度快？（4）两人最终在几点钟相遇？（5）你能利用图象中得到的信息，编个故事吗？18星期天，小颖骑自行车到郊外游玩，她离家的距离与时间的关系如图所示，请根据图像回答下列问题。（1）小颖到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？（2）她何时开始第一次休息？休息了多长时间？（3）她骑车速度最快是在什么时候？车速多少？（4）玲玲全程的平
21、均速度是多少？20分析右图所反映的变量之间的关系，想象一个适合它的实际情境。 8:009:00 11:0010:00403020100四、教学设计反思1、本节课让学生完成全章知识结构图，使他们亲自经历知识梳理的过程，进一步感受变量之间关系的各种形式，能用适当的方式表示实际情境中变量之间的关系，并进行简单的预测，进而形成自己的知识体系。题目类型设计比较具有综合性、灵活性。2、课后作业可以分层来布置，基础比较薄弱的同学可以采用课本复习题中的题目，基础相对较好的同学可以选用附加的练习题。这样就可以让每一个学生都能感受到成功的快乐，找到学习的自信.。3实际教学时可以根据学生的特点将复习课的上课形式设计得更加灵活多样，除了传统的师生问答，还可以采用分组竞赛、必答抢答等方式，让学生在活泼又不失紧张的学习氛围中快乐的学习.
