1、变化率与导数 知能提升导数是微积分的核心概念之一，学好导数必须正确理解变化率、导数的概念以及其几何意义，下面通过例题来对变化率与导数的知识进行归纳梳理，望能对同学有所启迪。1变化率问题例 1 求 2yx在 0到 x之间的平均变化率（ 0x） 。分析：本题的自变量在分母中出现，因此题目中给出了“ ”的条件，在一些特殊的情况下，如果题干中未给出这一条件，就需要进行分类讨论。本题只需直接套用公式就可以了。解析：当自变量从 0x变到 x时，函数的平均变化率20001()()fxfx02()x。评注：本题运算量相对较大，可对分子运用平方差公式。2瞬时速度问题例 2 已知一物体的运动方程为223(03)9
2、()ttS，求此物体在1t和 4时的瞬时速度。分析：要求瞬时速度就是求 /()t，本题是分段函数，求解时要根据 t的取值选取函数的解析式。解析：当 1t时，223(1)(31)63St tt， /0()lim6)tS，当 1时的瞬时速度为 6。当 4t时，22293(4)93(4)63t tt， /0()lim(6)tS，当 4t时的瞬时速度为 6。评注：在某时刻的速度即瞬时速度，应区别于平均速度。3切线问题例 3 已知直线 410yx，求曲线 21yx上和已知直线垂直的切线方程。分析：利用斜率之间的关系求解。解析：所求切线与直线 410yx垂直，切线的斜率为 k。又22/0()1lim4xt
3、xy， 4， ， 21y，即切点为 (1,)。故所求切线方程为 4yx，即 30xy。评注：充分利用垂直的条件和导数的几何意义是解决该类问题的关键。4倾斜角问题例 4 已知曲线 21yx上的一点 3(1,)2P，则过点 P的切线的倾斜角为（ ）A2 B4 C 26()x D6分析：先求出切线的斜率，再确定倾斜角的大小。解析： 21yx， /2201()()limx x201()limxx0li()2x， /1xy。点 P处切线的斜率等于 1，故切线的倾斜角为 045。答案应选 B评注：若 0limxy存在，则其为切线的斜率，切线自然存在，从而倾斜角可求。5面积问题例 5 求曲线 3yx在点 (,27)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积。分析：由题意知切线与两坐标轴所围成的三角形为直角三角形，故需求出切线方程及其在两坐标轴上的截距。解析：3/0()(3)lim27xf，在点 ,27处的切线方程为 (3)yx，即 2754yx。此切线与 x轴、 y轴的交点分别为 2,0， ,54，故所求三角形的面积为 154S。评注：本题将曲线的切线与求三角形的面积联系在一起，可先作出草图，帮助解题。
