1、课时训练 3 充分条件与必要条件一、综合题1.若 a,b 为实数,则“0”的( ).A.充分不必要条件B.必要不充分条件来源:C.必要充分条件D.既不充分也不必要条件答案: A解析:00,b0 时,a,“0”的充分条件.而取 a=-1,b=1 时,显然有 a”的充 分不必要条件. 来源:2.已知命题 p:x2 或 y3,命题 q:x+y5,则 p 是 q 成立的( ).A.充分不必要条件来源:B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案: B解析:“若 p 则 q”的逆否命题是“若 q,则p ”,由于q:x+y=5;p:x=2 且y=3,所以由p 推得q,而q 不能推得p,所以原
2、命题的否命题成立,则与它等价的逆命题成立,所以 p 是 q 成 立的必要而不充分条件.3.设 a R,则“a=1”是“直线 l1:ax+2y-1=0 与直线 l2:x+2y+4=0 平行”的( ).A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必 要条件 D.既不充分也不必要条件答案: C解析:l 1与 l2平行的充要条件为 a2=21 且 a4-11,得 a=1,故选 C.4.设集合 A=x|-2xa,B=y|y=2x+3,xA,C=z|z=x 2,xA,则 BC=B 的充要条件是( ).A.2 时,c=z|0za 2.当-2a2 时,CB42a+3,a2;当 a2 时,CBa22a+3,2
3、2;q:1,则“p”是“q”的 条件. 答案:既不充分也不必要解析:p:-3x1,q:2x3.来源:7.“m”是“一元二次方程 x2+x+m=0 有实数解”的 条件. 答案:充分不必要解析:若一元二次方程 x2+x+m=0 有实数解,则 =1-4m0,因此 m.故 m是一元二次方程 x2+x+m=0 有实数解的充分不必要条件.8.函数 y=x2+bx+c(x0,+)是单调函数的充要条件是 . 答案:b0解析:二次函数 y=x2+bx+c 的对称轴是 x=-,要使函数在0,+)上是单调函数,需使-0,即 b0,反之也成立.函数 y=x2+bx+c(x0,+)是单调函数的充要条件是 b0.9.设
4、a,b,c 为ABC 的三边,求证:x 2+2ax+b2=0 与 x2+2cx-b2=0 有公共根的充要条件是A=90 .解:充分性:A=90 ,a 2=b2+c2,于是方程 x2+2ax+b2=0 可化为 x2+2ax+a2-c2=0,x2+2ax+(a+c)(a-c)=0,x+(a+c)x+(a-c)=0,x 1=-(a+c),x2=-(a-c),同理方程 x2+2cx-b2=0 的两根为x3=-(a+c),x4=-(c-a),x 1=x3=-(a+c),这两个方程有公共根.必要性:设 d 是这两个方程的公共根,则有 d2+2ad+b2=0 与 d2+2cd-b2=0,两式相加得d=-(a+c)或 d=0(舍去),代入 x2+2ax+b2=0 得 a2=b2+c2,A=90 .10.已知条件 p:A=x|2axa 2+1,条件 q:B=x|x2-3(a+1)x+2(3a+1)0,若条件 p 是条件 q的充分条件,求实数 a 的取值范围.解:A=x|2axa 2+1,B=x|x2-3(a+1)x+2(3a+1)0=x|(x-2)x-(3a +1)0.来源:(1)当 a时,B=x|2x3a+1;(2)当 a时,B=x|3a+1x2.条件 p 是条件 q 的充分条件,AB,或1a3 或 a=-1.实数 a 的取值范围是a|1a3 或 a=-1.
