1、3.2.1 古典概型一、备用习题1.在 40 根纤维中,有 12 根的长度超过 30 mm,从中任取一根,取到长度超过 30 mm 的纤维的概率是（ ）A. 403 B. 4012 C.3012 D.以上都不对解析：在 40 根纤维中,有 12 根的长度超过 30 mm,即基本事件总数为 40,且它们是等可能发生的,所求事件包含 12 个基本事件,故所求事件的概率为 4.答案：B2.盒中有 10 个铁钉,其中 8 个是合格的,2 个是不合格的,从中任取一个恰为合格铁钉的概率是( )A.51 B. 41 C. 5 D.10解析：（方法 1）从盒中任取一个铁钉包含基本事件总数为 10,其中抽到合格
2、铁钉（记为事件 A）包含 8 个基本事件,所以,所求概率为 P（A）= 4108.（方法 2）本题还可以用对立事件的概率公式求解,因为从盒中任取一个铁钉,取到合格品（记为事件 A）与取到不合格品（记为事件 B）恰为对立事件,因此,P（A）=1-P（B）= 5.答案：C3.在大小相同的 5 个球中,2 个是红球,3 个是白球,若从中任取 2 个,则所取的 2 个球中至少有一个红球的概率是_.解析：记大小相同的 5 个球分别为红 1,红 2,白 1,白 2,白 3,则基本事件为：（红 1,红 2）,（红 1,白 1）,（红 1,白 2） ， （红 1,白 3）,(红 2,白 1),(红 2,白 2
3、),（红 2,白 3）,(白 1,白 2),( 白 1,白 3),(白 2,白 3)共 10 个,其中至少有一个红球的事件包括 7 个基本事件,所以,所求事件的概率为 107.本题还可以利用“对立事件的概率和为 1”来求解,对于求“至多” “至少”等事件的概率问题,常采用间接法,即求其对立事件的概率 P（A）,然后利用 P（A）=1-P（A）求解.答案： 1074.抛掷 2 颗质地均匀的骰子,求点数和为 8 的概率.解：在抛掷 2 颗骰子的试验中,每颗骰子均可出现 1 点,2 点,6 点 6 种不同的结果,我们把两颗骰子标上记号 1,2 以便区分,由于 1,2 号骰子分别有 6 种不同的结果,
4、因此同时掷两颗骰子的结果共有 66=36 种,在所有结果中,向上的点数之和为 8 的结果有（2,6）,（3,5）,（4,4）,（5,3）,（6,2）5 种,所以,所求事件的概率为 35.5.豆的高矮性状的遗传由其一对基因决定,其中决定高的基因记为 D,决定矮的基因记为 d,则杂交所得第一子代的一对基因为 Dd,若第二子代的 D,d 基因的遗传是等可能的,求第二子代为高茎的概率（只要有基因 D 则其就是高茎,只有两个基因全是 d 时,才显现矮茎）.解：由于第二子代的 D,d 基因的遗传是等可能的,可以将各种可能的遗传情形都枚举出来.Dd 与 Dd 的搭配方式共有 4 种：DD,Dd,dD,dd,
5、其中只有第四种表现为矮茎,故第二子代为高茎的概率为 43=0.75.答：第二子代为高茎的概率为 0.75.思考：第三子代高茎的概率呢？二、古典概型经典案例分析如果说你们班里有 50 人,那么我愿意和你打赌,你们班里至少有一对生日相同的人,你愿意站在我的反面和我打赌吗？如果说你能够清楚地找到基本事件,分析好复杂事件包含了多少个基本事件,就能够通过有理数的除法计算出概率,当然,分析清楚基本事件不可缺少的就是一种顺序的观点,可能有时候,用顺序的观点看问题会产生一些不必要的麻烦,但是往往在你忽略了顺序的时候,产生了一种错觉,于是就是你的先进的思想在这里就因为你的大意退化到了中世纪以前的水平.那么充分小
6、心的你,可能也会犯错误,甚至会感到头疼,因为记数也是一门技术,不一定都很简单.好了言归正传,我们仍然讨论这个关于生日的赌局.我看起来是有着十分的把握（或者说接近十分的把握,因为十分就成了必然事件,显然,你看得出这个不是一个必然的事件,严格地说我有接近十分的把握）,如果你曾经了解过一些关于这个问题的结论,你也可能不会愿意和我打赌,那么我们是如何来处理这个问题呢？我们想通过两个经典的案例来说明这个问题.设有 n 个人,每个人都等可能地被分配到 N 个房间中的任意一间去住（nN）,求下列事件的概率.指定的 n 个房间各有一个人住；恰好有 n 个房间,其中各住一个人.（这里必须得有一些排列组合的内容,
7、也就要求读者具有排列组合的知识）先看清楚这个问题里面的基本事件是什么呢？是把 n 个人随机地安排到 N 个房间里的所有的情况,分别记 n 个人为 a1,a2,an,房间为 A1,A2,An每个安排的结果作为一个基本事件,比如,可以把所有的人放到房间 A1里,把第一个房间里放一个人假定是 a1,这个就是一个基本事件,也就是每个安排的结果都是一个基本事件.那么有多少个这样的基本事件呢？我们就得借助于乘法原理了,可以考虑到整个的安排是分步进行的,先安排 a1,再安排 a2,依次下去,这个中间的顺序是没有问题的,因为我们只关心某人在某个房间,而不关心他是先到还是后到.第一个人可以有 N 个房间选住,第
8、二个人仍然有 N 个房间选住,也就是说每个人都有 N 种可能的情况,于是,所有人的可能的情况就是 个n=Nn.这就是基本事件的个数,这里面也谈到了一个关于顺序的问题,我们自行地把这个事件里面安排进了顺序,这是一个重要的思想方法.接下来统计我们需要的有利事件的个数,我们要求是指定的 n 个房间各有一个人住,那么,关于这 n 个房间的安排问题就不用我们操心了,我们只是看一下人与房间的搭配问题,于是,就可以得出概率：P(A)= nN!.我们可以换个角度来看一下,如果我们认为是把房间安排给人,那么,n 个指定的房间就会被列成一个顺序,于是,第一个房间有 n 种可能性,第二个房间就会少了一种,即 n-1
9、 种,以此类推,结论与我们前面的一样,那么,我们如果把统计基本事件的方式也变换一下呢？结论可能会有些不妥,因为如果考虑第一个房间有 n 种选择方式,第二个房间也有 n 种选择方式,以此类推,就会得到基本事件的个数是 nn个,显然,结论是不同的,哪一个出了什么问题呢？你只要稍加思考可能就会得出结论,这个问题的对应是有问题的,假设,我们的第一间房间分配给了 a1,那么,第二间房间就不应该再分配给他了,但在刚才的过程中没有体现出来,那么就是说,我们可能统计错了一些情况,同时,有些人也可能分配不到房间.那么,我们做个改进,认为第一间房间有 n 种选择方式,第二间房间有 n-1 种行不行呢？显然这个改进
10、更不成功,甚至有了荒唐的结论,因为这里的有些房间可能是可以不分配给任何的人,那么看来这几个只有最初的一个方案可行.同时,我们也得到了一个关于代数的结论：n!N n.这个命题的具体的限制由你自己完成,当然你还可以运用代数的方法给出让人信服的证明.再对这个问题进行总结,如果你再次地面临这种问题的时候,就要按号入座地找好谁是房子,谁是人.或者我们也可以抽象一些,集合 A 有 n 个元素,集合 B 有 N 个元素,nN,那么,从集合 A 到集合 B 的映射有多少个,就是相当于基本事件的个数,那么,我们的有利事件,就是从集合 A 到集合 B 的一个含有 n 个元素的确定的子集的一一映射的个数,就是 n!
11、个,那么以后用映射的观点来处理就可以了,看看哪一个问题是映射.我们再来探讨第二个问题,看看两者之间的细微的差别是什么？在第二个问题当中提到了一个“恰好”,我们如何来解释呢？显然这个词是与“指定”构成对比的.也就是强调我们要为这 n 个人先选出 n 个房间来,再进行处理,用到映射的观点,就是要从 B 中确定 n 个元素的子集,这个过程也是有很多的,再把这些子集重复第一题的过程,就是全体的有利事件的个数,于是,问题就归结为统计这些子集的个数,很简单地就可以得出有 nC个,那么概率就应该是 P(A)= nNC!.剩下的就是具体的计算了,好了,回味一下,你体会到了什么？你可能感觉到一些困难,如果你没有
12、感到困难的话就太好了,这个问题在历史上称为“分房问题”,我们可以进一步地拓展这个问题,据说在物理中就有一些非常有用的应用,可以参考我们的注解文章.现在考虑有关 n 个人生日问题的事情,这个里面哪些是基本事件呢？那一定是 n 个人的生日情况的所有可能性,也就是与前面提到的分房问题的第一问相同,那么生日相同（即同月同日出生）的具体的有利事件的个数如何来统计呢？看来稍微有些麻烦,我们需要了解的是,两个人,或者两个人以上的生日相同,就得认为是对这个事情很有帮助的例证,那么,我们把这个事情分为几类,只有两个人生日相同,只有三个人生日相同,等等,当然还有一些几组两个人的生日都相同的情况,事情就会变得尤其复
13、杂,而且各类之间有交叉的地方还要注意避免,问题足以烦得你失去信心,我们能否换个角度来考虑.我们完全可以考虑这个事件的反面,其实,如果计算一下你获胜的概率仍然可以表示出我获胜的机会的大小,那么对于你只有一种情况有利,就是所有人的生日都不相同,于是你就可以得到这将是一个上面分房问题叙述的第二类问题,那么你获胜的概率就可以计算出来了：（将 N=365,闰年就不记了,直接套用前面的结论就可以了）P(A)= nNC!.可以借助你的结论得出至少两人生日相同的概率,即： n!1.这次只需要计算就可以了,n 10 20 23 30 40 50概率 0.12 0.41 0.51 0.71 0.89 0.97看来事情的结果对于选择打赌的你有些不利,如果班级里超过 50 人,几乎就是必然的规律了.这可能极大地冲击了你的视觉,原因很简单,我们只是在意与自己生日相同的情况,确切地说,只是关注于在 n 个人中,至少有一个人的生日是特定的某一天的概率,这个不会很大,应该是 365,随着人数的增长,这个比率会平稳地增长,当然,这个与上述表格的数据的差别是很大的,表格中的数据增长是不均匀的,但是你把这个习惯主观推广了,问题就出现了.这里面从反面入手,巧妙地运用分房问题的思路解决了这个问题,这种思想方法要学会运用.
