1、第 5 课时 解三角形的实际应用1.掌握仰角、俯角、方向角、方位角等的含义 .2.学会用正弦定理、余弦定理解决距离、高度、角度等的问题 .3.学会解三角形应用题的一般步骤 .中国的“海洋国土”面积约 300 万平方公里,海洋权益在国家利益中的地位更加凸显 .近几年,我国海军先后参加了为打击海盗进行的亚丁湾护航,并开始走出近海,深入远海进行演习,实力在不断增强,为护卫我们的“蓝色国土”提供了坚实的保障 .2005 年 7 月 11 日,是中国伟大航海家郑和下西洋 600 周年纪念日 .2005 年 4 月 25 日,经国务院批准,将每年的 7 月 11 日确立为中国“航海日”,作为国家的重要节日
2、固定下来,海洋强国正成为 13 亿华夏儿女的共同梦想 .问题 1:海军在海上航行时,定位船只或者自身位置的手段已经非常先进 .在较早时期,人们在海上航行时,定位船只的方法通常是根据方位角、方向角和距离来进行的 .那么何为方位角、方向角呢?方位角: ;方向角: .此外,在测量以及确定方位时,我们能接触到的还有俯角: 和仰角: ,这些是测量中的常用的名词,在我们的学习中也会经常出现 . 问题 2:正弦定理与余弦定理的常见变形有哪些?(1)abc= ; (2)R 为 ABC 外接圆的半径,则 sin A= ,sin B= ,sin C= ; (3)余弦定理的推论可以用式子表示为 cos A= ,co
3、s B= ,cos C= . 问题 3:在解三角形应用问题时,一般在处理问题时要分几个步骤?分如下四个步骤:(1) :理解题意,分清已知与未知,画出示意图 . (2) :根据已知条件与求解目标,将实际问题转化为抽象的数学问题 . (3) :利用正弦定理、余弦定理有序地解三角形,求得数学模型的解 . (4) :检验上述所求的解是否具有实际意义,从而得出实际问题的解 . 问题 4:解斜三角形应用题的步骤是怎么样的?应用正弦定理、余弦定理解三角形应用问题,一般是根据题意,从实际问题中抽象出 ,通过解这些三角形,从而使实际问题得到解决 .解题时应认真审题,未给图形的,可以先画出示意图,要理解好应用题中
4、有关的名词、术语,如 、 、 、 等,要注意解的实际意义以及题目中给出的精确度 . 1.若 P 在 Q 的北偏东 4450,则 Q 在 P 的( ).A.东偏北 4510 B.东偏北 4550C.南偏西 4450D.南偏西 45502.一船向正北航行,看见正西方向相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西 60,另一灯塔在船的南偏西 75,则这艘船的航行速度是每小时( ).A.5 海里 B.5 海里 C.10 海里 D.10 海里3 33.在直径为 30 m 的圆形广场中央上空,设置一个照明光源,射向地面的光呈圆形,且其轴截面顶角为 120,若要光
5、源恰好照到整个广场,则光源的高度为 m. 4.在同一平面内,在 A 处测得 B 点的仰角是 50,且到 A 的距离为 2,C 点的俯角为 70,且到 A 的距离为 3,求 B、 C 间的距离 .利用正、余弦定理求解距离问题如图所示,隔河看两目标 A,B,但不能到达,在岸边选取相距 千米的 C,D 两点,并测得3 ACB=75, BCD=45, ADC=30, ADB=45(A,B,C,D 在同一平面内),求两目标 A,B之间的距离 .利用正、余弦定理求解高度问题如图,山脚下有一小塔 AB,在塔底 B 测得山顶 C 的仰角为 60,在山顶 C 测得塔顶 A 的俯角为 45,已知塔高 AB=20
6、m,求山高 CD.利用正、余弦定理求解角度问题在一次海上联合作战演习中,红方一艘侦察艇发现在北偏东 45方向,相距 12 n mile的水面上,有蓝方一艘小艇正以每小时 10 n mile 的速度沿南偏东 75方向前进,若侦察艇以每小时 14 n mile 的速度,沿北偏东 45+ 方向拦截蓝方的小艇 .若要在最短的时间内拦截住,求红方侦察艇所需的时间和角 的正弦值 .某观测站 C 在目标 A 的南偏西 25方向,从 A 出发有一条南偏东 35走向的公路,在 C处测得与 C 相距 31 km 的公路上的 B 处有一人正沿此公路向 A 走去,走了 20 km 后到达 D 处,此时测得 CD 距离
7、为 21 km,求此人在 D 处距 A 的距离 .如图所示,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D,现测得 BCD= , BDC= ,CD=s,并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 ,求塔高 AB.如图所示,位于 A 处的信息中心获悉:在其正东方向相距 40 海里的 B 处有一艘渔船遇险,在原地等待营救 .信息中心立即把消息告知在其南偏西 30、相距 20 海里的 C 处的乙船,现乙船朝北偏东 的方向即沿直线 CB 前往 B 处救援,求 cos .1.从 A 处望 B 处的仰角为 ,从 B 处望 A 处的俯角为 ,则 、 的关系为( ).A. B.=
8、C.+= 90 D.+= 1802.如图所示,已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20,灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40,则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为( ).A.a km B. a km3C. a km D.2a km23.海上有 A,B,C 三个小岛,测得 A,B 两岛相距 10 n mile, BAC=60, ABC=75,则 B,C间的距离是 n mile. 4.如图,为测一树的高度,在地面上选取 A、 B 两点,从 A、 B 两点分别测得树尖的仰角为30、45,且 A、 B 两点之间的距离为 60 m,求树的高
9、度 h.(2013 年江苏卷)如图,游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径 .一种是从 A 沿直线步行到 C,另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B,然后从 B 沿直线步行到 C.现有甲、乙两位游客从 A 处下山,甲沿 AC 匀速步行,速度为 50 m/min.在甲出发 2 min后,乙从 A 乘缆车到 B,在 B 处停留 1 min 后,再从 B 匀速步行到 C.假设缆车匀速直线运动的速度为 130 m/min,山路 AC 长为 1260 m,经测量,cos A= ,cos C= .1213 35(1)求索道 AB 的长;(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?考题
10、变式(我来改编):第 5 课时 解三角形的实际应用知识体系梳理问题 1:从正北方向顺时针到目标方向线的水平角 从指定方向线到目标方向线的水平角 在同一铅垂面内,视线在水平线下方时与水平线所成的角 在同一铅垂面内,视线在水平线上方时与水平线所成的角问题 2:(1)sin A sin B sin C (2) (3) 2 2 2 2+222 2+2222+222问题 3:(1)分析 (2)建模 (3)求解 (4)检验问题 4:一个或几个三角形 坡角 仰角 俯角 方位角基础学习交流1.C 根据 P 在 Q 的北偏东 4450,可以判断 Q 在 P 的南偏西 4450,故选 C.2.C 如图所示,依题意
11、有 BAC=60, BAD=75,所以 CAD= CDA=15,从而 CD=CA=10(海里),在Rt ABC 中,得 AB=5(海里),于是这艘船的航行速度是 =10(海里 /小时) .50.53.5 3轴截面如图,则光源高度 h= =5 (m).1560 34.解:根据题意得: BAC=120,AB=2,AC=3,BC 2=AB2+AC2-2ABACcos BAC=4+9-223cos 120=19,BC= .19重点难点探究探究一:【解析】在 ACD 中, ADC=30, ACD=120, CAD=30,AC=CD= .3在 BDC 中, CBD=180-45-(45+30)=60,由正
12、弦定理,可得 BC= =2sin(30+45)=2sin 30cos 45+2cos 30sin 3756045= .6+22在 ACB 中,由余弦定理,可得 AB2=AC2+BC2-2ACBCcos BCA,AB 2=( )2+( )36+222-2 cos 75=5+ -(3 + )(cos 30cos 45-sin 30sin 36+22 3 2 645)=5,AB= .5故两目标 A,B 间的距离为 千米 .5【小结】(1)求解三角形中的基本元素,应由确定三角形的条件个数,组织一系列三角形求解,即“三角形链”方法 .(2)本题是测量两个都不能到达的两点间的距离,它是测量学中应用非常广泛
13、的“三角网”测量方法的原理,其中 AB 可视为基线 .(3)计算方法:sin 75=sin(45+30)=sin 45cos 30+cos 45sin 30=.同理 cos 75= .熟记后可直接应用 .6+24 6 24探究二:【解析】如图,过点 C 作 CE DB,延长 BA 交 CE 于点 E,设 CD=x m,则 AE=(x-20)m, tan 60= ,BD= = = x(m).60 3 33在 AEC 中, x-20= x,解得 x=10(3+ ) m.故山高 CD 为 10(3+ ) m.33 3 3【小结】(1)测量高度时,要准确理解仰、俯角的概念;(2)分清已知和待求,分析(
14、画出)示意图,明确在哪个三角形内应用正、余弦定理 .探究三:【解析】如图,设红方侦察艇经过 x 小时后在 C 处追上蓝方的小艇,则 AC=14x,BC=10x, ABC=120.根据余弦定理得(14 x)2=122+(10x)2-240xcos 120,解得 x=2.故 AC=28,BC=20.根据正弦定理得 = ,解得 sin = = . 120 2012028 5314所以红方侦察艇所需要的时间为 2 小时,角 的正弦值为 .5314【小结】(1)测量角度,首先应明确方向角的含义 .(2)在解应用题时,理清已知与所求,再根据题意正确画出示意图,通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的
15、问题,在解题过程中也要注意体会正、余弦定理综合使用的特点 .思维拓展应用应用一:如图, CAD=25+35=60.在 BCD 中,由余弦定理,得cos B=2+222= = .312+20221223120 2331故 sin B= .12331在 ABC 中,由正弦定理,得AC= = =24.311233132由余弦定理,得 BC2=AC2+AB2-2ACABcos A,即 312=AB2+242-2AB24cos 60,AB 2-24AB-385=0,解得 AB=35 或 AB=-11(舍去), AD=AB-BD= 15(km).故此人在 D 处距 A 还有 15 km.应用二:在 BCD
16、 中, CBD= - ,由正弦定理得 = , 所以 BC= = . (+)在 Rt ABC 中, AB=BCtan ACB= .(+)应用三:如图所示,在 ABC 中, AB=40,AC=20, BAC=120,由余弦定理,得 BC2=AB2+AC2-2ABACcos 120=2800,所以 BC=20 .7由正弦定理,得 sin ACB= sin BAC= . 217由 BAC=120,知 ACB 为锐角,故 cos ACB= .277故 cos = cos( ACB+30)=cos ACBcos 30-sin ACBsin 30= - = .277 32 217 12 2114或由 cos
17、 = sin B 及正弦定理有 sin B= sin 120= = . 20207 32 2114基础智能检测1.B 根据仰角与俯角的定义可知 =.2.B 由题意知 ACB=120,AC=BC=a.在 ABC 中,由余弦定理得 AB2=AC2+BC2-2ACBCcos 120=2a2-2a2(- )=3a2,AB= a.12 33.5 在 ABC 中,由正弦定理可得 = ,即 BC= = =5 .6 1060(1806075) 64.解:由正弦定理得: = ,PB= ,h=PB sin 45=(30+30 )m.60(4530) 30 3015 3全新视角拓展(1)在 ABC 中,因为 cos
18、 A= ,cos C= ,所以 sin A= ,sin C= .1213 35 513 45从而 sin B=sin -(A+C)=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C= + = .513351213456365由正弦定理 = ,得 AB= sin C= =1040(m). 12606365 45所以索道 AB 的长为 1040 m.(2)假设乙出发 t 分钟后,甲、乙两游客距离为 d,此时,甲行走了(100 +50t)m,乙距离 A处 130t m,所以由余弦定理得 d2=(100+50t)2+(130t)2-2130t(100+50t) =200(37t2-70t+50)=20037(t- )2+ ,1213 3537 62537因 0 t ,即 0 t8,故当 t= (min)时,甲、乙两游客距离最短 .1040130 3537
