1、第 11 课时 数列在日常经济生活中的应用1.掌握等差、等比数列的定义、通项公式、前 n 项和公式及其应用 .2.了解银行存款的种类及存款计息方式 .3.体会“零存整取” 、 “定期自动转存” 、 “分期付款”等日常经济生活中的实际问题 .4.感受从数学中发现美的乐趣,体验成功解决问题的快乐,激发学习数学的兴趣 .某人有七位朋友 .第一位朋友每天晚上都去他家看他,第二位朋友每隔一个晚上到他家去,第三位朋友每隔两个晚上去他家串门,第四位朋友每隔三个晚上去他家做客,依次类推,直至第七位朋友每隔六个晚上在他家出现 .这七位朋友昨晚在主人家中碰面,请问他们还会在同一个晚上在主人家中碰面吗?我们来分析下
2、,第一位朋友每天晚上都在;第二位朋友第2,4,6,8,天在,是首项为 2,公差为 2 的等差数列,通项公式为 an=2n;第三位朋友第 3,6,9,天在,是首项为 3,公差为 3 的等差数列,通项公式为 an=3n;第四、五、六、七位朋友在的时间的通项公式分别为 an=4n,an=5n,an=6n,an=7n;要使他们在同一晚上出现,这个数应为这六个数列的公共项,即 2,3,4,5,6,7 的公倍数,而 2,3,4,5,6,7 的最小公倍数为 420,因此第420,840,1260,天晚上他们会同时在主人家出现 .问题 1:数列应用问题的常见模型(1) :一般地,如果增加(或减少)的量是一个固
3、定的具体量时,那么该模型是等差模型,增加(或减少)的量就是公差,其一般形式是: an+1-an=d(d 为常数) . (2) :一般地,如果增加(或减少)的百分比是一个固定的数时,那么该模型是等比模型 . (3) :在一个问题中,同时涉及等差数列和等比数列的模型 . (4) :如果容易找到该数列任意一项 an+1与它的前一项 an(或前几项)间的递推关系式,那么我们可以用递推数列的知识求解问题 . 问题 2:解题时怎样判断是用等差数列还是等比数列来求解?一般涉及递增率什么的,用到 ;涉及依次增加或者减少什么的,用到 ,或者有的问题是通过转化得到 的,在解决问题时要往这些方面去联系 . 问题 3
4、:与银行利率相关的几类模型(1)银行储蓄单利公式:利息按单利计算,本金为 a 元,每期利率为 r,存期为 x,则本利和 . (2)银行储蓄复利公式:利息按复利计算,本金为 a 元,每期利率为 r,存期为 x,则本利和 . (3)产值模型:原来产值的基础数为 N,平均增长率为 p,对于时间 x 的总产值 . (4)分期付款模型a 为贷款总额, r 为月利率, b 为月等额本息还款数, n 为贷款月数,则 b= .(尝(1+)(1+)1试去证明)问题 4:数列综合应用题的解题步骤(1) 弄清题意,分析涉及哪些数学内容,在每个数学内容中,各是什么问题 .(2) 把整个大题分解成几个小题或几个“步骤”
5、,每个小题或每个小“步骤”分别是数列问题、函数问题、解析几何问题、不等式问题等 . (3) 分别求解这些小题或这些小“步骤”,从而得到整个问题的解答 . (4) 将所求结果还原到实际问题中 . 具体解题步骤如下框图:1.夏季高山上的气温从山脚起每升高 100 米降低 0.7 度,已知山脚气温为 26 度,山顶气温为14.1 度,那么此山相对山脚的高度为( )米 .A.1600 B.1700 C.1800 D.19002.根据市场调查结果,预测某种家用商品从年初开始的 n 个月内累积的需求量 Sn(万件)近似地满足关系式: Sn= (21n-n2-5)(n=1,2,12),按此预测,在本年度内,
6、需求量超过 1.590万件的月份是( ).A.5、6 月 B.6、7 月 C.7、8 月 D.8、9 月3.阿明存入 5 万元定期存款,存期 1 年,年利率为 2.25%,那么 10 年后共得本息和为 万元 .(精确到 0.001) 4.一件家用电器,现价 2000 元,实行分期付款,每期付款数相同,购买后一个月付款一次,共付 12 次,一年后还清,月利率为 0.8%,按复利计算,那么每期应付款多少元(精确到 0.01 元)?等差数列模型某旅游公司年初用 98 万元购买一艘游艇,第一年各种费用 12 万元,以后每年都增加 4万元,每年旅游收益 50 万元 .(1)问第几年开始获利?(2)若干年
7、后,有两种处理方案: 年平均获利最大时,以 26 万元出售该游艇; 总纯收入获利最大时,以 8 万元出售该游艇 .问哪种方案合算 .分期付款的等比数列模型陈老师购买商品房 92 m2,单价为 10000 元 /m2,首付 432000 元以后向银行申请住房商业贷款 .经协商住房贷款实行分期付款,经过一年付款一次,共付 10 次,10 年后付清,如果按年利率 7.5%,每年按复利计算,那么每年应付款多少元?(参考下列数据:1.07591 .971,1.075102 .061,1.075112 .216)易错易混点(第几年的中低价房的面积与累计面积)假设某市:2004 年新建住房 400 万平方米
8、,其中有 250 万平方米是中低价房 .预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长 8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加 50 万平方米 .那么,到哪一年底,(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以 2004 年为累计的第一年)将首次不少于 4750万平方米?(2)哪年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%?有若干台型号相同的联合收割机,收割一片土地上的小麦,若同时投入工作到收割完毕需要 24 小时 .现在这些收割机是每隔相同的时间顺序投入工作的,每一台投入工作后都一直工作到小麦收割完 .如果第一台收割机时间是最后一台的 5 倍,求用这
9、种方法收割完这片土地的小麦需要多长时间?用分期付款方法购买电器一件,价格为 1150 元,购买当天先付 150 元,以后每月这一天都交付 50 元,并加付欠款的利息,月利率为 1%,分 20 次付完,若交付 150 元以后的第一个月开始算分期付款的第一个月,问分期付款的第十个月该交付多少钱?全部贷款付清后,买这件家电实际花多少钱?为了建设和谐社会,我国决定治理垃圾 .经调查,近 10 年来我国城市垃圾的年平均增长率为 3%,到 2013 年底堆存垃圾已达 60 亿吨,侵占了约 5 亿平方米的土地,目前我国还以年产 1 亿吨的速度产生新的垃圾,垃圾治理已刻不容缓 .(1)问 2004 年我国城市
10、垃圾约有多少亿吨?(2)如果从 2014 年起,每年处理上年堆存垃圾的 ,到 2019 年底,我国城市垃圾约有多110少亿吨?可节约土地多少亿平方米?1.某放射性物质的质量每天衰减 3%,若此物质衰减到其质量的一半以下,则至少需要的天数是(参考数据 lg 0.97=-0.0132,lg 0.5=-0.3010)( ).A.22 B.23 C.24 D.252.现有 200 根相同的钢管,把它们堆放成正三角形垛,要使剩余的钢管尽可能的少,那么剩余钢管的根数为( ).A.9 B.10 C.19 D.293.小王每月除去所有日常开支,大约结余 a 元 .小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起来,每月
11、初存入银行 a 元,存期 1 年(存 12 次),到期取出本息和 .假设一年期零存整取的月利率为 r,每期存款按单利计息 .那么,小王存款到期利息为 元 . 4.某商场今年销售计算机 5000 台 .如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加 10%,那么从今年起大约几年可使总销售量达到 30000 台(结果保留到个位)?1.(2012 年北京卷)某棵果树前 n 年的总产量 Sn与 n 之间的关系如图所示,从目前记录的结果看,前 m 年的年平均产量最高, m 的值为 ( )A.5B.7C.9D.11考题变式(我来改编):2.(2011 年安徽卷)某国采用养老储备金制度 .公民在就业的第一年就交纳
12、养老储备金,数目为 a1,以后每年交纳的数目均比上一年增加 d(d0),因此,历年所交纳的储务金数目a1,a2,是一个公差为 d 的等差数列,与此同时,国家给予优惠的计息政策,不仅采用固定利率,而且计算复利 .这就是说,如果固定年利率为 r(r0),那么,在第 n 年末,第一年所交纳的储备金就变为 a1(1+r)n-1,第二年所交纳的储备金就变为 a2(1+r)n-2,以 Tn表示到第 n年末所累计的储备金总额 .(1)写出 Tn与 Tn-1(n2)的递推关系式;(2)求证: Tn=An+Bn,其中 An是一个等比数列, Bn是一个等差数列 .考题变式(我来改编):第 11 课时 数列在日常经
13、济生活中的应用知识体系梳理问题 1:(1)等差模型 (2)等比模型 (3)混合模型 (4)递推模型问题 2:等比数列 等差数列 等差或等比数列问题 3:(1)y=a(1+xr) (2)y=a(1+r)x (3)y=N(1+p)x问题 4:(1)审题 (2)分解 (3)求解 (4)还原基础学习交流1.1700 从山脚到山顶气温的变化成等差数列,首项为 26,末项为 14.1,公差为 -0.7,设数列的项数为 n,则 14.1=26+(n-1)(-0.7),解得 n=18,所以山的高度为 h=(18-1)100=1700(米) .2.C 由 an=Sn-Sn-1解得 an= (-n2+15n-9)
14、(n2),再解不等式 (-n2+15n-9)1.5,得 60,即 n2-20n+490.85bn,有 250+(n-1)50400(1.08)n-10.85.由于 n 是正整数,将1,2,依次代入可得满足上述不等式的最小正整数 n=6,即到 2009 年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%.【小结】对应用题的审题一定要认真仔细,否则很容易出错 .思维拓展应用应用一:依题意,这些联合收割机投入工作的时间构成一个等差数列,按规定的方法收割,所需要的时间等于第一台收割机所需要的时间,即数列的首项 .设这 n 台收割机工作的时间依次为 a1,a2,an小时,依题意, a
15、n是一个等差数列,且每台收割机每小时的工作效率为 ,则有124 1=5, 124+224+24=1, 由 得 a1+a2+an=24n,即 =24n,(1+)2a 1+an=48. 由 , 联立,解得 a1=40.故用这种方法收割完这片土地上的小麦共需 40 小时 .应用二:购买时付 150 元,欠 1000 元,每月付 50 元,分 20 次付清 .设每月付款数顺次成数列 an,则 a1=50+10001%=60(元), a2=50+(1000-50)1%=59.5=60-0.51(元),a3=50+(1000-502)1%=59=60-0.52(元), a10=50+(1000-509)1
16、%=55.5=60-0.59(元), an=60-0.5(n-1)=-0.5n+60.5(1 n20), an是以 60 为首项, -0.5 为公差的等差数列, 总数=S20+150=20a1+ d+150=1255(元), 第十个月该交 55.5 元,全部付清实际花 125520192元 .应用三:(1)设 2004 年我国城市垃圾约有 a 亿吨,则有a+a(1+3%)+a(1+3%)2+a(1+3%)9=60,a =60,a= 5 .2(亿吨) .11.031011.03 600.031.03101(2)2014 年底有垃圾 60 +1 亿吨;9102015 年底有垃圾(60 +1) +1=60 + +1;910 910 921029102016 年底有垃圾(60 + +1) +1=60 + + +1;92102910 910 93103921029102019 年底有垃圾 60( )6+( )5+( )4+1=60( )6+ 36 .6(亿吨) .910 910 910 910 10.9610.9可节约土地 23.4 2(亿平方米) .560基础智能检测1.B 依题意有(1 -3%)n 22 .8.故选 B.0.50.972.B 1+2+3+n0)为公比的等比数列;1+2Bn是以 - - 为首项, - 为公差的等差数列 .1+2 思维导图构建复利 等差 等比
