1、谈一类递推数列求通项公式的典型方法除了我们经常接触的最基本的等差数列和等比数列之外,我们还经常遇到一类递推数列求通项的问题.它的基本形式是:已知 1a及递推关系 1nnapq(1)0求 na.其求解方法有多种,下面结合具体例子介绍三种较为典型的解法.题目:在数列 na(不是常数数列)中, 12nn且 13,求数列 n的通项公式.解法一:因为 12,所以, a,所以, 1()2naa,所以,数列 1n是公比为 的等比数列.又 216,所以, 16nn,将2a代入上式可得 4()3nn.评注这种方法叫做差分法.即由条件 1nnapq()0进行递推可得1npq,进一步可得 11()n,数列 1na是
2、公比为 p的等比数列,所以, 2()nap,再将 nn代入即可求得12()np.解法二:所给数列对应的特征方程为: 12x,所以,特征根为 4x.因为12nna,所以, 14()nna,即数列 na是公比为 12的等比数列,又43,所以, 132.故 4()3n.评注:这种方法叫做特征根法,因为 p,所以满足 xpq(叫做此数列对应的特征方程)的 x存在,由 1nnaq可得 1()nna )nax,所以,数列na是以 为首项,以 为公比的等比数列或各项均为 0,于是再根据条件11()nxp,所以, 11()nnxp.解法三:设 ()2na,即 2na与已知 12nna对比可得2,所以, 4.所以,可得 14(),即数列 4是公比为 1的等比数列或者各项均为 0.(下同解法二).评注:这种方法通常叫做构造法.即由已知递推式的特点构造一个等比数列,再求通项公式.设 1()nnap,与原递推数列进行对比可以建立方程,求数所设实数 的值即可得 1na是以 1a为首项,以 p为公比的等比数列.以上三种方法虽然各不相同,但是它们有一点是共同的,即构造一个等比数列,这就是本题的实质所在.
