1、第三章归纳总结知识结构知识梳理一、不等关系1.不等关系体现在日常生活中的方方面面，在数学意义上，不等关系可以体现：（1）常量与常量之间的不等关系；（2）变量与变量之间的不等关系；（3）函数与函数之间的不等关系；（4）一组变量之间的不等关系.2.实数比较大小的方法：作差法（1） a-b0 ab;（2） a-b=0 a=b;（3） a-bb bb,bc ac;（3） ab a+cb+c；（4） ab,c0 acbc;ab,cb,cd a+cb+d;（6） ab0,cd0 acbd;（7） ab0 anbn(nN +且 n1);（8） ab0 (nN +且 n1).对于不等式的性质，关键是正确理解和
2、运用，要弄清每一个性质的条件和结论，注意条件放宽和加强后，结论是否发生了变化；运用不等式的性质时，一定要注意不等式成立的条件，切不可用“似乎” 、 “是” 、 “很显然”的理由代替不等式的性质.二、一元二次不等式1.一元二次不等式的解与一元二次不等式的解集：一般地，使某个一元二次不等式成立的 x 的值叫做这个一元二次不等式的解.一元二次不等式的所有解组成的集合，叫做这个一元二次不等式的解集.2.解一元二次不等式的步骤：常用数形结合法解一元二次不等式，步骤：（1）当 a0 时，解形如 ax2+bx+c0(0)或 ax2+bx+c0(或0 时，若相应一元二次方程的判别式 0，则求两根或分解因式，根
3、据“大于在两边，小于夹中间”写出解；若 0 或0 等价于( x-a)(x-b)0,x0 用数轴标根法（或称区间法、穿根法）求解，其步骤是：将 f(x)的最高次项的系数化为正数；将 f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积；将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次用曲线把每个根串联起来；根据曲线呈现出 f(x)的值的符号变化规律，写出不等式的解集；奇次根依次穿过，偶次根穿而不过.三、基本不等式1.几个重要的基本不等式:(1)a2+b22 ab(a,bR);(2) （ a,bR +）;(3) + 2（ a 与 b 同号） ；(4)a+ 2（ a0）, a+ -2（ a0,B0）为例
4、.“以线定界” ，即画二元一次方程 Ax+By+C0 表示的直线定边界，其中，还要注意实线或虚线.“以点定域” ，由于对在直线 Ax+By+C0 同侧的点，实数 Ax+By+C 的值的符号都相同，故为了确定 Ax+By+C 的值的符号，可采用取特殊点法，如取坐标原点（0，0）等.2.最优解的确定方法最优解可有两种确定方法：（1）将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是最优解;（2）利用围成可行域的直线的斜率来判断.若围成可行域的直线 l1,l2,ln的斜率分别为 k10 对 xR 恒成立.当 a2-1=0 时，即 a=1.若 a=1 时，不等式化为 2x+10 不恒成立， a1.
5、若 a=-1 时，不等式化为 10,恒成立，符合题意.a2-10当 a2-10,即 a1 时，则有 ，=( a+1) 2-4(a2-1) .35综上所述， a 的取值范围为(-,-1( ,+).35变式应用 1 m 为何值时，方程 x2+(m-2)x+(5-m)=0 的两个根都大于 2？ 解析 解法一：设方程的两个根为 x1,x2,则有0 0x12 ，即 ( x1-2)+(x2-2)0，x22 (x1-2)(x2-2)0m2-160 - m-20 ，m+50解得-50 ，- 22mm2-160即 m+50 .mg(x)恒成立，则 ag(x) max.3.数形结合法：利用不等式与函数的关系将恒成
6、立问题通过函数图像直观化.例 2 若不等式 x2+ax+10 对于一切 x(0, 都成立，则 a 的最小值为（ 21）A.0 B.-2 C.- D.-35答案 C解析 解法一：（数形结合法）令 f(x)=x2+ax+1,要使不等式 x2+ax+10，对于一切 x(0, 都成立，只须 f(x)0 对于一切 x(0, 都成立.又 f(x)的图像过定点21 1（0，1）.（1）当 = a2-40，即-2 a2 时， f(x)0 对于一切 x(0, 都成立；2（2）当 = a2-40，即 a2 时，如图所示，对称轴 x=- 0.2又 a2, a2.如图所示，对称轴 x=- 且 f( )0，21- 即
7、，a+10214解得- a2,- a0 且 a1, f(x)=x2-ax,当 x (-1,1)时均有 f(x)x2- ,设函数 y1=ax,y2=x2- ,分别作出它们的图象，如1图，由图易知，当 0x2- ,则 x=1 时， a11 2- ，反之亦成立，同理， a1 时，可得 10,b0)解“定积求和，和最小”问题，用 ab（ ） 2求“定和求积，积最大”问题.一定要注意适用的范围和b条件：“一正、二定、三相等”.特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量、减少变元等方法，构造定值条件的方法，以及对等号能否成立的验证.若等号不能取到，则应用函数单调性来求最值，还要注意运用均值不等式解决实际问题.例
8、 4 设函数 f(x)=x+ ,x0,+).1a(1)当 a=2 时，求函数 f(x)的最小值；(2)当 00, 0, x+1+ 2 .12当且仅当 x+1= ,即 x= -1 时， f(x)取最小值.12此时， f(x) min2 -1.（2）当 0x20，则f(x1)-f(x2)=x1+ -x2-a=(x1-x2)1- ,)(21 x1x20， x1-x20,x1+11,x2+11，（ x1+1）( x2+1)1,而 00,)21a f(x)在0,+)上单调递增， f(x) min=f(0)=a.变式应用 3 某加工厂需定期购买原材料，已知每公斤原材料的价格为 1.5 元，每次购买原材料需
9、支付运费 600 元.每公斤原材料每天的保管费用为 0.03 元，该厂每天需要消耗原材料 400 公斤，每次购买的原材料当天即开始使用（即有 400 公斤不需要保管）.(1)设该厂每 x 天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在 x 天内总的保管费用y1关于 x 的函数关系式；(2)该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用 y 最少，并求出这个最小值.解析 （1）每次购买原材料后，当天用掉的 400 公斤原材料不需要保管费用，第二天用掉的 400 公斤原材料需保管 1 天，第三天用掉的 400 公斤原材料需保管 2 天，第四天用掉的 400 公斤原材料需保管 3 天，第 x 天（也
10、就是下次购买原材料的前一天）用掉最后的 400 公斤原材料需保管 x-1 天.每次购买的原材料在 x 天内总的保管费用：y1=4000.031+2+3+( x-1)=6 x2-6x(元).（2）由（1）可知，购买一次原材料的总费用为6x2-6x+600+1.5400x(元)，购买一次原材料平均每天支付的总费用y= (6x2-6x+600)+1.5400 +6x+594.60 y2 +594714.x60当且仅当 6 x，即 x=10 时， y 最小为 714.该厂 10 天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用 y 最少，最少为 714 元.专题 4 二元线性规划问题求目标函数在约束条件下的
11、最优解，一般步骤为：一是寻求约束条件和目标函数，二是作出可行域，三是在可行域内求目标函数的最优解.特别注意目标函数 z=ax+by+c 在直线ax+by=0 平移过程中的变化规律和图中直线斜率的关系，简单的线性规划应用题在现实生活中的广泛的应用也是高考的热点.7x-5y-230例 4 已知 x、 y 满足条件 x+7y-110 .4x+y+100求 z=4x-3y 的最大值和最小值.解析 作可行域，如图中的阴影部分（含边界）.作直线 l:4x-3y=0,由图形可知当直线 l 平移至顶点 C、 B 时 z 分别取最小值、最大值.4x+y+10=0由 ,得 C(-3,2).x+7y-11=04x+
12、y+10=0由 ,得 B(-1,-6).7x-5y-23=0故 zmin=4（-3）-3218,zmax=4（-1）-3（-6）14.变式应用 4 已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为 200 万吨和 260 万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地.东车站每年最多能运 280 万吨煤，西车站每年最多能运 360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为 1 元/吨和 1.5 元/吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为 0.8 元/吨和 1.6 元 /吨.煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少？解析 设甲煤矿向东车站运 x 万吨煤，乙煤矿向东车站运 y 万吨煤，那么总运费z=x+1.
13、5(200-x)+0.8y+1.6(260-y)(万元)，即 z=716-0.5x-0.8y.x0y0x、 y 应满足 200- x0 ，260-y0 x+y280（200- x）+(260- y)3600 x200即 0 y260 x+y280x+y100作出上面的不等式组所表示的平面区域，如图.设直线 x+y=280 与 y=260 的交点为 M，则 M（20，260）.把直线 l0：0.5 x+0.8y=0 向上平移至经过平面区域上的点 M 时， z 的值最小.点 M 的坐标为（20，260） ，甲煤矿生产的煤向东车站运 20 万吨，向西车站运 180 万吨，乙煤矿生产的煤全部运往东车站时，总运费最少.
