1、1.2.1 任意角的三角函数【学习要求】1通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数2借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号3通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同角的同一三角函数值相等【学法指导】1在初中所学习的锐角三角函数的基础上过渡到任意角三角函数的概念2紧扣任意角的三角函数的定义来掌握三角函数值在各象限的符号规律以及诱导公式一的记忆3理解任意角三角函数的定义不仅是学好本节内容的关键，也是学好本章内容的关键.1任意角三角函数的定义(1)在平面直角坐标系中，设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x， y)
2、，那么： y 叫做 的 ，记作 ，即 ； x 叫做 的 ，记作 ，即 ； 叫做 的 ，记作 ，即 yx对于确定的角 ，上述三个值都是唯一确定的故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数(2)设角 终边上任意一点的坐标为( x， y)，它与原点的距离为 r，则 sin _，cos _，tan _.2正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号3诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值 ，即：sin( k2) ，cos( k2) ，tan( k2) ，其中 kZ.探究点一 锐角三角函数的定义问题 1 Rt ABC 中， C90，若已知 a3，b4， c
3、5，试求 sin A，cos B，sin B，cos A，tan A，tan B 的值答 sin Acos B ；ac 35sin Bcos A ；bc 45tan A ；ab 34tan B .ba 43问题 2 如图，锐角 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，在 终边上任取一点 P(a， b)，它与原点的距离为 r，作 PM x 轴，你能根据直角三角形中三角函数的定义求出 sin ，cos ，tan 吗？答 sin ，cos ，tan .br ar ba问题 3 如图所示，在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆锐角 的终边与单位圆交于 P(x， y)点
4、，则有：sin ，cos ，tan .探究点二 任意角三角函数的概念关于任意角三角函数的定义，总的来说就两种：“单位圆定义法”与“终边定义法” 根据相似三角形对应边成比例可知这两种定义方法本质上是一致的问题 1 单位圆定义法：设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x， y)，那么： 叫做 的正弦，记作 sin ，即 sin ；叫做 的余弦，记作 cos ，即 cos ；叫做 的正切，记作 tan ，即 tan (x0)yx问题 2 终边定义法：设角 终边上任意一点的坐标为( x， y)，它与原点的距离为r，则有 sin _，cos _，tan _ (x0)，其中r 0.x2 y2问题
5、3 由三角函数的定义知，三角函数值是一个比值，即一个实数，它的大小只与角 的终边位置有关，即与角有关，与角 终边上 P 点的位置无关请以角 为第二象限角为例，借助三角形相似的知识证明上述两种定义是一致的证明 设角 的终边与单位圆交于点P(x， y)，过点 P 作 PM x 轴，垂足为M，则 sin y，cos x，tan .yx设 P( x， y)为角 上任意一点，且 P与 P 不重合，过点 P作 P M x 轴，垂足为 M.则易知 Rt OMPRt OM P.于是 ， ， .|M P |OP | |MP|OP| |OM |OP | |OM|OP| |M P |OM | |MP|OM| y，
6、x， .yr y1 xr x1 y x y x y， x， .(其中 r 0)yr xr yx yx x 2 y 2即 sin y，cos x，tan .yr xr yx yx故任意角三角函数与角 终边上点 P 的位置无关，上述两种定义是一致的问题 4 利用任意角三角函数的定义推导特殊角的三角函数值. 角 0 6 4 3 2 23 34 5632sin 012 22 32132 22 120 1cos 132 22 120 1222321 0tan 03313无 31 330 无解 以 为例，其余略32设 P(x， y)为 上任一点，易知点 P(x， y)在 y 轴负半轴上32 x0， y0.
7、x2 y2sin 1；cos 0；tan ，无意义32 yr 32 xr 32 yx探究点三 三角函数值在各象限的符号三角函数的定义告诉我们，三角函数在各象限内的符号，取决于 x， y 的符号(1)sin (r0)，因此 sin 的符号与 y 的符号相同，当 的终边在第 yr象限时，sin 0；当 的终边在第象限时，sin 0)，因此 cos 的符号与 x 的符号相同，当 的终边在第 xr象限时，cos 0；当 的终边在第象限时，cos 0，tan 0；当 终边在第 象限时， xy0，则 r17 a，于是sin ，cos ，tan .817 1517 815(2)若 a0， 是第一或第二象限角
8、，当 为第一象限角时，sin ，tan 3；3 1010当 为第二象限角时，sin ，tan 3.3 1010例 2 求下列各式的值(1)cos tan ；253 ( 154 )(2)sin(1 320)cos 1 110cos(1 020)sin 750tan 495.解 (1)原式cos tan(8 3) ( 4 4)cos tan 1 . 3 4 12 32(2)原式sin(4360120)cos(336030)cos(336060)sin(236030)tan(360135)sin 120cos 30cos 60sin 30tan 135 10.32 32 12 12小结 利用诱导公式
9、一可把负角的三角函数化为 0 到 2 间的三角函数，也可把大于 2的角的三角函数化为 0 到 2 间的三角函数，即实现了“负化正，大化小” 同时要熟记特殊角的三角函数值跟踪训练 2 求下列各式的值(1)cos tan ；(233 ) 174(2)sin 630tan 1 125tan 765cos 540.解 (1)原式cos tan 3 4 2 ( 4 22 )cos tan 1 . 3 4 12 32(2)原式sin(360270)tan(336045)tan(236045)cos(360180)sin 270tan 45tan 45cos 18011110.例 3 判断下列各式的符号：(
10、1)sin cos (其中 是第二象限角)；(2)sin 285cos(105)；(3)sin 3cos 4tan .(234 )解 (1) 是第二象限角sin 0，cos 0.(3) 0，cos 40，234 4 ( 234 )sin 3cos 4tan 0.(234 )小结 准确确定三角函数值中角所在象限是基础，准确记忆三角函数在各象限的符号是解决这类问题的关键可以利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来记忆跟踪训练 3 (1)若 sin cos 0，则 是第_象限角(2)代数式：sin 2cos 3tan 4 的符号是_1sin(1 380)的值为( )A B12 12C D32 3
11、2解析 sin(1 380)sin (360460)sin 60 .322如果角 的终边过点 P(2sin 30，2cos 30)，则 cos 的值等于( )A. B C D12 12 32 32解析 2sin 301，2cos 30 ，3 r2，cos .123若点 P(3， y)是角 终边上的一点，且满足 y0，cos ，则 tan 等于35( )A B C D34 34 43 43解析 cos ， 5， y216，332 y2 35 32 y2 y0， y4，tan .434如果 sin x|sin x|，那么角 x 的取值集合是_答案 x|2k x2 k， kZ1三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点 P(x， y)在终边上的位置无关，只由角 的终边位置确定即三角函数值的大小只与角有关2要善于利用三角函数的定义及三角函数的符号规律解题，并且注意掌握解题时必要的分类讨论及三角函数值符号的正确选取3要牢记一些特殊角的正弦、余弦、正切值.
