1、中考综合题（等腰三角形）1如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的边 OA=2，0C=6，在 OC 上取点 D 将AOD 沿 AD 翻折，使 O 点落在 AB 边上的 E 点处，将一个足够大的直角三角板的顶点 P从 D 点出发沿线段 DAAB 移动，且一直角边始终经过点 D，另一直角边所在直线与直线DE，BC 分别交于点 M，N（1）填空：D 点坐标是（ 2 ， 0 ） ，E 点坐标是（ 2 ， 2 ） ；（2）如图 1，当点 P 在线段 DA 上移动时，是否存在这样的点 M，使CMN 为等腰三角形？若存在，请求出 M 点坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图 2，当点 P 在线段 AB
2、上移动时，设 P 点坐标为（x，2） ，记DBN 的面积为 S，请直接写出 S 与 x 之间的函数关系式，并求出 S 随 x 增大而减小时所对应的自变量 x 的取值范围考点： 一次函数综合题分析： （1）根据AOD 沿 AD 翻折，使 O 点落在 AB 边上的 E 点处，得到OAD=EAD=45，DE=OD，求出 OD=2，得出 D 点的坐标，再根据 DE=OD=2，求出 E 点的坐标；（2）由翻折可知四边形 AODE 为正方形，过 M 作 MHBC 于 H，先求出NMH=MNH=45，得出 NH=MH=4，MN=4 ，再根据直线 OE 的解析式为：y=x，依题意得 MNOE，设 MN 的解析
3、式为 y=x+b，根据 DE 的解析式为 x=2，BC 的解析式为x=6，得出 M（2，2+b） ，N（6，6+b） ，CM= ，CN=6+b，MN=4 ，当 CM=CN 时，4 2+（2+b） 2=（6+b） 2，解得：b=2，此时 M（2，0） ；当 CM=MN 时，42+（2+b） 2=（4 ） 2，解得：b 1=2，b 1=6（不合题意舍去） ，此时 M（2，4） ；当 CM=MN 时，6+b=4 ，解得：b=4 6，此时 M（2，4 4） ；（3）根据题意先证出PBNDEP，得出 BN 的值，求出 S 与 x 之间的函数关系式，根据当 0x2 时，S=x 28x+12=（x4） 24
4、，当 2x6 时，S=x 2+8x12=（x4） 2+4，即可得出答案解答： 解：（1）将AOD 沿 AD 翻折，使 O 点落在 AB 边上的 E 点处，OAD=EAD=45，DE=OD，OA=OD，OA=2，OD=2，D 点坐标是（2，0） ，DE=OD=2，E 点坐标是（2，2） ，故答案为：（2，0） ， （2，2） ；（2）存在点 M 使CMN 为等腰三角形，理由如下：由翻折可知四边形 AODE 为正方形，过 M 作 MHBC 于 H，PDM=PMD=45，则NMH=MNH=45，NH=MH=4，MN=4 ，直线 OE 的解析式为：y=x，依题意得 MNOE，设 MN 的解析式为 y=
5、x+b，而 DE 的解析式为 x=2，BC 的解析式为 x=6，M（2，2+b） ，N（6，6+b） ，CM= ，CN=6+b，MN=4 ，分三种情况讨论：当 CM=CN 时，42+（2+b） 2=（6+b） 2，解得：b=2，此时 M（2，0） ；当 CM=MN 时，42+（2+b） 2=（4 ） 2，解得：b 1=2，b 1=6（不合题意舍去） ，此时 M（2，4） ；当 CM=MN 时，6+b=4 ，解得：b=4 6，此时 M（2，4 4） ；综上所述，存在点 M 使CMN 为等腰三角形，M 点的坐标为：（2，0） ， （2，4） ， （2，4 4） ；（3）根据题意得：当 0x2 时，
6、BPN+DPE=90，BPN+EPD=90，DPE=EPD，PBNDEP， = ， = ，BN= ，S DBN = BNBP= （6x）整理得：S=x 28x+12；当 2x6 时，PBNDEP， = ， = ，BN= ，S DBN = BNBE，= 4，整理得：S=x 2+8x12；则 S 与 x 之间的函数关系式： ，当 0x2 时，S=x 28x+12=（x4） 24，当 x4 时，S 随 x 的增大而减小，即 0x2，当 2x6 时，S=x 2+8x12=（x4） 2+4，当 x4 时，S 随 x 的增大而减小，即 4x6，综上所述：S 随 x 增大而减小时，0x2 或 4x62.如图
7、，在平面直角坐标系中，有一条直线 l： 43xy与 轴、 y轴分别交于点M、 N，一个高为 3 的等边三角形 ABC，边 在 轴上，将此三角形沿着 x轴的正方向平移.（1）在平移过程中，得到 1，此时顶点 1恰落在直线 l上，写出 1A点的坐标 ；（4 分）（2）继续向右平移，得到 2CBA，此时它的外心 P恰好落在直线 l上，求 P点的坐标；（4 分）（3）在直线 l上是否存在这样的点，与（2）中的 2A、 B、 2C任意两点能同时构成三个等腰三角形，如果存在， 求出点的坐标；如果不存在，说明理由. （4 分）（1） 3,A （2）设 yxP,连接 2并延长交 x轴于点 H,连接 PB2 在
8、等边三角形 CB中,高 32A 32A， 点 P是等边三角形 2的外心 02HB， 1P 即 y 将 1y代人 43x，解得： 3x ,3P （3）点 是 2CBA的外心， 2PBA 2C 2PA2， ， 2是等腰三角形点 P满足条件，由（2）得 3, 由（2）得： 0,342C，点 2满足直线 l： 43xy的关系式.点 2与点 M重合. 302PB设点 Q满足条件， 2A， QC，2CA能构成等腰三角形.此时 B 22 2A作 xQD轴于 点，连接 Q 32QB， 6022PMBD ， , 10 分设点 S满足条件， 2SA， SC2， A2能构成等腰三角形.此时 2B 作 Fx轴于 点
9、32SC， 3022PMBS ,4 11 分设点 R满足条件， 2BA， RC2， A2能构成等腰三角形.此时 2 作 Ex轴于 点 32RC， 3022PMBER ,4 答：存在四个点，分别是 1,3P， ,Q， 3,4S， 3,4R12 分3如图，已知直线 y3x3 分别交 x 轴、y 轴于 A、B 两点，抛物线 yx 2bxc 经过A、B 两点，点 C 是抛物线与 x 轴的另一个交点(与 A 点不重合)(1)求抛物线的解析式：(2)求ABC 的面积；(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点 M，使ABM 为等腰三角形?若不存在，请说明理由：若存在，求出点 M 的坐标.解：（1）求出 A（1，
10、0） ，B（0，3）1 分把 A、B 两点的坐标分别代入 yx 2bxc 得3cb解得：b2，c33 分抛物线为：yx 22x34 分（2）令 y0 得：0x 22x3解之得：x 11，x 23所以 C（3，0） ，AC46 分SABC 分8642OBA（3）抛物线的对称轴为：x1，假设存在 M（1，m）满足题意讨论：当 MAAB 时 102m6M 1（1， ） ，M 2（1， 6）10 分当 MBBA 时 0)3(22mM 30，M 4610 分M 3（1，0） ，M 4（1，6）12 分当 MBMA 时 222)3(mm1M 5（1，1）13 分答：共存在五个点 M1（1， 6） ，M 2
11、（1， 6） ，M 3（1，0） ，M 4（1，6） ，M5（1，1） ，使ABM 为等腰三角形14 分4. 如图，在平面直角坐标系中，点 0 为坐标原点，A 点的坐标为 (3，0)，以 0A 为边作等边三角形 OAB，点 B 在第一象限，过点 B 作 AB 的垂线交 x 轴于点 C动点 P 从 0 点出发沿 0C 向 C 点运动，动点 Q 从 B 点出发沿 BA 向 A 点运动，P,Q 两点同时出发，速度均为 1 个单位秒。设运动时间为 t 秒(1)求线段 BC 的长；(2)连接 PQ 交线段 OB 于点 E，过点 E 作 x 轴的平行线交线段 BC 于点 F。设线段 EF的长为 m，求 m
12、 与 t 之间的函数关系式，并直接写出自变量 t 的取值范围：(3)在(2)的条件下，将BEF 绕点 B 逆时针旋转得到BE 1F1,使点 E 的对应点 E1 落在线段 AB 上，点 F 的对应点是 F1，E 1F1 交 x 轴于点 G，连接 PF、QG，当 t 为何值时，2BQ-PF= 3QG?考点：等边三角形判定与性质、相似三角形判定与性质、直角三角形的判定、三角形内角和、等腰三角形判定，一元一次方程分析：（1）由AOB 为等边三角形得ACB=OBC=30 0，由此 CO=OB=AB=OA=3，在 RTABC 中，AC 为 6 ，从而 BC= （2）过点 Q 作 QN0B 交x 轴于点 N
13、，先证AQN 为等边三角形，从而 NQ=NA=AQ=3-t，NON=3- (3-t)=tPN=t+t=2t，再由POEPNQ 后 对应边成比例计算得 再由 EF=BE 易得出 m与 t 之间的函数关系式(3)先证AEG 为等边三角形，再证QGA=90 0通过两边成比例夹角相等得FCPBCA 再用含 t 的式子表示 BQ、PF、QG 通过解方程求出解答：(1)解：如图 lAOB 为等边三角形 BAC=AOB=60。BCAB ABC=90 0 ACB=30 0OBC=30 0ACB=OBC CO=OB=AB=OA=3AC=6 BC= AC=(2)解：如图 l 过点 Q 作 QN0B 交 x 轴于点
14、 NQNA=BOA=60 0=QAN QN=QAAQN 为等边三角形NQ=NA=AQ=3-tNON=3- (3-t)=tPN=t+t=2tOEQNPOEPNQ EFx 轴BFE=BCO=FBE=30 0EF=BEm=BE=OB-OE(0、 （不合题意，舍去） 。存在时刻 6t2，使 PE 平分APQ，同时 QE 平分PQC。11.如图，抛物线 y= x2+bx+c 与 y 轴交于点 C（0，4） ，与 x 轴交于点 A，B，且 B 点的坐标为（2，0）（1）求该抛物线的解析式（2）若点 P 是 AB 上的一动点，过点 P 作 PEAC，交 BC 于 E，连接 CP，求PCE 面积的最大值（3）
15、若点 D 为 OA 的中点，点 M 是线段 AC 上一点，且OMD 为等腰三角形，求 M 点的坐标考点：二次函数综合题分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）首先求出PCE 面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值；（3）OMD 为等腰三角形，可能有三种情形，需要分类讨论解答：解：（1）把点 C（0，4） ，B（2，0）分别代入 y= x2+bx+c 中，得 ，解得该抛物线的解析式为 y= x2+x4（2）令 y=0，即 x2+x4=0，解得 x1=4，x 2=2，A（4，0） ，S ABC = ABOC=12设 P 点坐标为（x，0） ，则 PB=2xPEAC，BPE=B
16、AC，BEP=BCA，PBEABC， ，即 ，化简得：S PBE = （2x） 2SPCE =SPCB S PBE = PBOCS PBE = （2x）4 （2x） 2= x2 x+= （x+1） 2+3当 x=1 时，S PCE 的最大值为 3（3）OMD 为等腰三角形，可能有三种情形：（I）当 DM=DO 时，如答图所示DO=DM=DA=2，OAC=AMD=45，ADM=90，M 点的坐标为（2，2） ；（II）当 MD=MO 时，如答图所示过点 M 作 MNOD 于点 N，则点 N 为 OD 的中点，DN=ON=1，AN=AD+DN=3，又AMN 为等腰直角三角形，MN=AN=3，M 点
17、的坐标为（1，3） ；（III）当 OD=OM 时，OAC 为等腰直角三角形，点 O 到 AC 的距离为 4= ，即 AC 上的点与点 O 之间的最小距离为 2，OD=OM 的情况不存在综上所述，点 M 的坐标为（2，2）或（1，3） 12. 在平面直角坐标系中，已知抛物线 21yxbc（ ,为常数）的顶点为 P，等腰直角三角形 ABC的定点 的坐标为 (0,)， C的坐标为 (43)，直角顶点 B在第四象限.（1）如图，若该抛物线过 ， 两点，求该抛物线的函数表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使顶点 P在直线 A上滑动，且与 A交于另一点 Q.i）若点 M在直线 AC下方，且为平移前（ 1
18、）中的抛物线上的点，当以 MP、三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点 的坐标；ii）取 B的中点 N，连接 ,PBQ.试探究 PNB是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.（1） 12xy（2）M 的坐标是（1- 5，- -2） 、 （1+ 5， -2） 、 （4，-1） 、 （2，-3 ） 、 （-2，-7）（3） PQNB的最大值是 51013如图，四边形 ABCD 是等腰梯形，下底 AB 在 x 轴上，点 D 在 y 轴上，直线 AC 与 y 轴交于点 E（0，1） ，点 C 的坐标为（2，3） （1）求 A、D 两点的坐标；（2）求经过 A、D
19、、C 三点的抛物线的函数关系式；（3）在 y 轴上是否在点 P，使ACP 是等腰三角形？若存在，请求出满足条件的所有点 P的坐标；若不存在，请说明理由解答： 解：（1）设直线 EC 的解析式为 y=kx+b，根据题意得：，解得 ，y=x+1，当 y=0 时，x=1，点 A 的坐标为（1，0） 四边形 ABCD 是等腰梯形，C（2，3） ，点 D 的坐标为（0，3） （2）设过 A（1，0） 、D（0，3） 、C（2，3）三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，则有：，解得 ，抛物线的关系式为：y=x 22x+3（3）存在作线段 AC 的垂直平分线，交 y 轴于点 P1，交 AC 于点 FO
20、A=OE，OAE 为等腰直角三角形，AEO=45，FEP 1=AEO=45，FEP 1为等腰直角三角形A（1，0） ，C（2，3） ，点 F 为 AC 中点，F（ ， ） ，等腰直角三角形FEP 1斜边上的高为 ，EP 1=1，P 1（0，2） ；以点 A 为圆心，线段 AC 长为半径画弧，交 y 轴于点 P2，P 3可求得圆的半径长 AP2=AC=3 连接 AP2，则在 RtAOP 2中，OP2= = = ，P 2（0， ） 点 P3与点 P2关于 x 轴对称，P 3（0， ） ；以点 C 为圆心，线段 CA 长为半径画弧，交 y 轴于点 P4，P 5，则圆的半径长CP4=CA=3 ，在 RtCDP 4中，CP 4=3 ，CD=2，DP 4= = = ，OP 4=OD+DP4=3+ ，P 4（0，3+ ） ；同理，可求得：P 5（0，3 ） 综上所述，满足条件的点 P 有 5 个，分别为：P 1（0，2） ，P 2（0， ） ，P 3（0，
