1、等比数列例题解析【例 1】 已知 Sn 是数列a n的前 n 项和,S np n(pR,nN*),那么数列a n A是等比数列B当 p0 时是等比数列C当 p0,p1 时是等比数列D不是等比数列分析 由 Snp n(nN*),有 a1=S1p,并且当 n2 时,an=Sn Sn-1 pnp n-1(p1)p n-1故 , 因 此 数 列 成 等 比 数 列 a=(p1)ap01()2 n n()p21但满足此条件的实数 p 是不存在的,故本题应选 D说明 数列a n成等比数列的必要条件是 an0(n N*),还要注意 对 任 , , 都 为 同 一 常 数 是 其 定 义 规 定 的 准 确
2、含 义 *2Nan1【例 2】 已知等比数列 1,x 1,x 2,x 2n,2,求x1x2x3x2n解 1,x 1,x 2,x 2n,2 成等比数列,公比 q21q 2n+1x1x2x3x2nqq 2q3q2n=q1+2+3+2n=n(+)nn()1【 例 】 a(a=4n25等 比 数 列 中 , 已 知 , , 求 通 项 公12式;(2)已知 a3a4a58,求 a2a3a4a5a6 的值解 (1)=q 52 1 aq4()()(2)a a=8n2n2n43534531a 42又 a=32635424【例 4】 已知 a0,b0 且 ab,在 a,b 之间插入 n 个正数x1,x 2,x
3、 n,使得 a,x 1,x 2,x n,b 成等比数列,求证 12证明 设这 n2 个数所成数列的公比为 q,则 b=aqn+1 qbaxqaqbnn n 112212【例 5】 设 a、b、c、d 成等比数列,求证:(b c) 2(c a) 2(db)2(a d)2证法一 a、b、c 、d 成等比数列 b 2ac,c 2bd,ad bc左边=b 22bcc 2c 22aca 2d 22bdb 2=2(b2ac)2(c 2bd)(a 2 2bcd 2)a 22add 2(ad) 2右边证毕证法二 a、b、c 、d 成等比数列,设其公比为 q,则:baq,caq 2,d=aq 3左边(aq aq
4、 2)2(aq 2 a)2(aq 3aq) 2a 22a 2q3a 2q6=(aaq 3)2(ad) 2=右边证毕说明 这是一个等比数列与代数式的恒等变形相综合的题目证法一是抓住了求证式中右边没有 b、c 的特点,走的是利用等比的条件消去左边式中的 b、c 的路子证法二则是把 a、b、c 、d 统一化成等比数列的基本元素a、q 去解决的证法二稍微麻烦些,但它所用的统一成基本元素的方法,却较证法一的方法具有普遍性【例 6】 求数列的通项公式:(1)an中,a 1 2,a n+13a n2(2)an中,a 1=2,a 25,且 an+23a n+12a n0思路:转化为等比数列解 ()=31=3(
5、)n+1nn+n a n1是等比数列a n1=33 n-1 a n=3n 1(2)2=0a=2(a)+n1+2n1n+1 a n+1a n是等比数列,即an+1a n=(a2a 1)2n-1=32n-1再注意到 a2a 1=3,a 3a 2=321,a 4a 3=322,a na n-1=32n-2,这些等式相加,即可以得到a=3=(21)n2n-2n 1n说明 解题的关键是发现一个等比数列,即化生疏为已知(1)中发现an1是等比数列, (2)中发现a n+1a n是等比数列,这也是通常说的化归思想的一种体现 【 例 7】 (a)2a(a)a=0a123412413423123若 实 数 、
6、、 、 都 不 为 零 , 且 满 足 求 证 : 、 、 成 等 比 数 列 , 且 公 比 为 证 a 1、a 2、a 3、a 4 均为不为零的实数 为 实 系 数 一 元 二 次 方 程等 式 说 明 上 述 方 程 有 实 数 根 x()x=0()a a1323124242 4上述方程的判别式 0,即a()()=()31232123 又a 1、a 2、a 3 为实数 必 有 即()0=a213213因而 a1、a 2、a 3 成等比数列又 4()()a1213221a 4 即为等比数列 a1、a 2、 a3 的公比【例 8】 若 a、b、c 成等差数列,且 a1、b、c 与 a、b、c
7、2 都成等比数列,求 b 的值解 设 a、b、c 分别为 bd、b、bd,由已知 bd1、b、bd 与bd、b、bd2 都成等比数列,有=(1)(2 整理,得 bdb=22 bd=2b2d 即 b=3d代入,得9d2=(3dd1)(3d d)9d2=(2d1)4d解之,得 d=4 或 d=0(舍)b=12【例 9】 已知等差数列 an的公差和等比数列b n的公比都是 d,又知d1,且 a4=b4,a 10=b10:(1)求 a1 与 d 的值;(2)b16 是不是a n中的项?思路:运用通项公式列方程解 (1)a=b3d=a9da()4011139319由 2=063 舍 或 dad1332(
8、)(2)b 16=b1d15=32b 1且 a3b2b43411b 16=32b 1=32a 1,如果 b16 是a n中的第 k 项,则32a 1=a1(k1)d(k1)d=33a 1=33dk=34 即 b16 是a n中的第 34 项【 例 0】 ab=(12)b=218b=18nan123123设 是 等 差 数 列 , , 已 知 , 求 等 差 数 列 的 通 项 解 设等差数列a n的公差为 d,则 an=a1(n 1)d b=(12)=(12)bna13aa+da+d)211()n由 , 解 得 , 解 得 , 代 入 已 知 条 件整 理 得 b88=1b4178123321
9、3b1238解这个方程组,得 =b=12133, 或 ,a 1=1,d=2 或 a1=3,d= 2当 a1=1,d=2 时,a n=a1(n1)d=2n3当 a1=3,d=2 时,a n=a1(n1)d=52n【例 11】 三个数成等比数列,若第二个数加 4 就成等差数列,再把这个等差数列的第 3 项加 32 又成等比数列,求这三个数解法一 按等比数列设三个数,设原数列为 a,aq,aq 2由已知:a,aq4,aq 2 成等差数列即:2(aq 4)=aaq 2 a,aq4,aq 232 成等比数列即:(aq 4) 2=a(aq232)q=a , 两 式 联 立 解 得 : 或 这 三 数 为
10、: , , 或 , , a=2q39526180解法二 按等差数列设三个数,设原数列为 bd,b4,bd由已知:三个数成等比数列即:(b4) 2=(bd)(bd)8bd=16 bd,b,bd32 成等比数列即 b2=(bd)(b d32)3=0 、 两 式 联 立 , 解 得 : 或 三 数 为 , , 或 , , b269d83=1026291059解法三 任意设三个未知数,设原数列为 a1,a 2,a 3由已知:a 1,a 2,a 3 成等比数列得 : =a1,a 24,a 3 成等差数列得:2(a 24)=a 1a 3 a1,a 24,a 332 成等比数列得:(a 24) 2=a1(a
11、332) 、 、 式 联 立 , 解 得 : 或a=2910a59a=2618233说明 将三个成等差数列的数设为 ad,a,a d;将三个成等 比 数 列 的 数 设 为 , , 或 , , 是 一 种 常 用 技 巧 , 可 起 到q(q)2简化计算过程的作用【例 12】 有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是 16,第二个数与第三个数的和是 12,求这四个数分析 本题有三种设未知数的方法方法一 设前三个数为 ad,a,a d,则第四个数由已知条件 可 推 得 : ()2方法二 设后三个数为 b,bq,bq 2,则第一个数由已知条件推得为2bbq
12、方法三 设第一个数与第二个数分别为 x,y,则第三、第四个数依次为12y,16x由这三种设法可利用余下的条件列方程组解出相关的未知数,从而解出所求的四个数, 解 法 一 ad设 前 三 个 数 为 , , , 则 第 四 个 数 为 ()ad2依 题 意 , 有 =16a(d)22解 方 程 组 得 : 或 4a9612所求四个数为:0,4,8,16 或 15,9,3,1解法二 设后三个数为:b,bq,bq 2,则第一个数为:2bbq依 题 意 有 : 2qb=61解 方 程 组 得 : 或4q2 9312所求四个数为:0,4,8,16 或 15,9,3,1解法三 设四个数依次为 x,y,12
13、y,16x依 题 意 有 ()=y16(2)解 方 程 组 得 : 或0415y912这四个数为 0,4,8,16 或 15,9,3,1【例 13】 已知三个数成等差数列,其和为 126;另外三个数成等比数列,把两个数列的对应项依次相加,分别得到 85,76,84求这两个数列解 设成等差数列的三个数为 bd,b,bd,由已知,bdbbd=126b=42这三个数可写成 42d,42,42d再设另三个数为 a,aq ,aq 2由题设,得a42=85p76qd 整 理 , 得 a=43qd22解这个方程组,得a1=17 或 a2=68当 a=17 时,q=2,d= 26当 时 , ,=68q1d=2
14、5从而得到:成等比数列的三个数为 17,34,68,此时成等差的三个数为68,42,16;或者成等比的三个数为 68,34,17,此时成等差的三个数为17,42,67【例 14】 已知在数列a n中,a 1、a 2、a 3 成等差数列,a 2、a 3、a 4 成等比数列,a 3、 a4、a 5 的倒数成等差数列,证明: a1、a 3、a 5 成等比数列证明 由已知,有2a2=a1a 3 =32445a由 , 得 由 , 得 代 入 , 得a=2+a243521335a整 理 , 得 =(+)a351即 a3(a3a 5)=a5(a1a 3)2315 所以 a1、a 3、a 5 成等比数列【例
15、15】 已知(bc)log mx(ca)log my(ab)log mz=0(1)设 a,b,c 依次成等差数列,且公差不为零,求证:x,y,z 成等比数列(2)设正数 x,y,z 依次成等比数列,且公比不为 1,求证:a ,b,c 成等差数列证明 (1)a,b,c 成等差数列,且公差 d0bc=ab=d,c a=2d代入已知条件,得:d(log mx2log mylog mz)=0log mxlog mz=2logmyy 2=xzx,y,z 均为正数x,y,z 成等比数列(2)x,y,z 成等比数列且公比 q1y=xq,z=xq 2 代入已知条件得:(bc)log mx(ca)log mxq(ab)log mxq2=0变形、整理得:(ca2b)log mq=0q1 log mq0ca2b=0 即 2b=ac即 a,b,c 成等差数列