1、第 5 讲 抛物线A 级 基础演练 (时间：30 分钟 满分：55 分)一、选择题(每小题 5 分，共 20 分)1(2011辽宁 )已知 F 是抛物线 y2x 的焦点，A，B 是该抛物线上的两点，|AF|BF|3，则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 ( )A. B1 C. D.34 54 74解析 设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，由抛物线的定义，知|AF| |BF|x 1 x 2p23，p ， x1x 2 ，线段 AB 的中点的横坐标为 .p2 12 52 x1 x22 54答案 C2(2013东北三校联考 )若抛物线 y22px(p0)上一点 P 到焦点和抛物线的对称轴的
2、距离分别为 10 和 6，则 p 的值为 ( )A2 B18 C2 或 18 D4 或 16解析 设 P(x0，y 0)，则Error!36 2p ，即 p220p360，解得 p2 或 18.(10 p2)答案 C3(2011全国 )已知抛物线 C：y 24x 的焦点为 F，直线 y2x 4 与 C 交于A，B 两点，则 cosAFB ( )A. B. C D45 35 35 45解析 由Error! 得 x25x40， x1 或 x4.不妨设 A(4,4)，B(1，2)，则| |5，| |2， (3,4)(0，2)8，cosAFB FA FB FA FB FA FB |FA |FB | .
3、故选 D. 852 45答案 D4(2012山东 )已知双曲线 C1： 1(a0 ，b 0)的离心率为 2.若抛物线x2a2 y2b2C2：x 22py (p0)的焦点到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2，则抛物线 C2 的方程为( )Ax 2 y Bx 2 y833 1633Cx 28y Dx 216y解析 1 的离心率为 2， 2，即x2a2 y2b2 ca 4， .x22py 的焦点坐标为 ， 1 的渐近线方c2a2 a2 b2a2 ba 3 (0，p2) x2a2 y2b2程为 y x，即 y x.由题意，得 2，p8.故 C2：x 216y ，ba 3p21 32选 D.答案 D二、
4、填空题(每小题 5 分，共 10 分)5(2013郑州模拟 )设斜率为 1 的直线 l 过抛物线 y2ax(a0)的焦点 F，且和 y轴交于点 A，若OAF (O 为坐标原点)的面积为 8，则 a 的值为_解析 依题意，有 F ，直线 l 为 yx ，所以 A ， OAF 的面积(a4，0) a4 (0， a4)为 8.解得 a16，依题意，只能取 a16.12 a4 a4答案 166(2012陕西 )如图是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面 2 米，水面宽4 米水位下降 1 米后，水面宽_米解析 如图建立平面直角坐标系，设抛物线方程为 x2 2py.由题意 A(2，2)代入x22py
5、，得 p1，故 x22y.设B(x，3) ，代入 x22y 中，得 x ，故6水面宽为 2 米6答案 2 6三、解答题(共 25 分)7(12 分) 已知抛物线 C：y 22px (p0)过点 A(1，2)(1)求抛物线 C 的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于 OA(O 为坐标原点)的直线 l，使得直线 l 与抛物线 C 有公共点，且直线 OA 与 l 的距离等于 ？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，55说明理由解 (1)将(1，2)代入 y22px，得(2) 22p1 ，所以 p2.故所求的抛物线 C 的方程为 y24x，其准线方程为 x1.(2)假设存在符合题意的直线 l，
6、其方程为 y2xt，由Error!得 y22y2t0.因为直线 l 与抛物线 C 有公共点，所以 48t0，解得 t .12另一方面，由直线 OA 与 l 的距离 d ，55可得 ，解得 t1.|t|5 15因为1 ，1 ， 12， ) 12， )所以符合题意的直线 l 存在，其方程为 2xy 10.8(13 分)(2012 温州十校联考 )已知椭圆 1(ab0)的离心率为 ，以原x2a2 y2b2 33点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线 yx 2 相切(1)求 a 与 b；(2)设该椭圆的左、右焦点分别为 F1，F 2，直线 l1 过 F2 且与 x 轴垂直，动直线l2 与 y 轴垂直，
7、l 2 交 l1 于点 P.求线段 PF1 的垂直平分线与 l2 的交点 M 的轨迹方程，并指明曲线类型解 (1)由 e ，得 .ca 1 b2a2 33 ba 63又由原点到直线 yx 2 的距离等于椭圆短半轴的长，得 b ，则 a .2 3(2)法一 由 c 1，得 F1(1,0)，F 2(1,0)a2 b2设 M(x，y)，则 P(1，y )由|MF 1|MP|，得( x1) 2y 2( x1) 2，即 y24x，所以所求的 M 的轨迹方程为 y2 4x，该曲线为抛物线法二 因为点 M 在线段 PF1 的垂直平分线上，所以|MF 1| MP|，即 M 到 F1的距离等于 M 到 l1 的
8、距离此轨迹是以 F1(1,0)为焦点，l 1：x 1 为准线的抛物线，轨迹方程为 y2 4x.B 级 能力突破(时间：30 分钟 满分：45 分)一、选择题(每小题 5 分，共 10 分)1设 F 为抛物线 y24x 的焦点，A，B，C 为该抛物线上三点，若 0，则| | | | FA FB FC FA FB FC ( )A9 B6 C4 D3解析 设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，由于抛物线 y24x 的焦点 F 的坐标为(1,0)，由 0，可得 x1x 2x 33，又由抛物线的定义可得|FA FB FC | | |x 1x 2 x336.FA FB FC
9、答案 B2(2013洛阳统考 )已知 P 是抛物线 y24x 上一动点，则点 P 到直线l：2xy30 和 y 轴的距离之和的最小值是( )A. B. C2 D. 13 5 5解析 由题意知，抛物线的焦点为 F(1,0)设点 P 到直线 l 的距离为 d，由抛物线的定义可知，点 P 到 y 轴的距离为|PF|1，所以点 P 到直线 l 的距离与到 y 轴的距离之和为 d |PF|1.易知 d| PF|的最小值为点 F 到直线 l 的距离，故 d|PF|的最小值为 ，所以 d|PF|1 的最小值为 1.|2 3|22 12 5 5答案 D二、填空题(每小题 5 分，共 10 分)3(2012北京
10、 )在直角坐标系 xOy 中，直线 l 过抛物线 y24x 的焦点 F，且与该抛物线相交于 A，B 两点，其中点 A 在 x 轴上方若直线 l 的倾斜角为 60，则OAF 的面积为 _解析 直线 l 的方程为 y (x1)，即 x y1，代入抛物线方程得 y2333y 40，解得 yA 2 (yB0，y 1y24，则|PQ| 2( x1x 2)2(y 1 y2)2x x y y 2(x 1x2y 1y2)21 2 21 2 24 12( 1) ( 1) 216，( 1 2) ， ，13，12 1 52，103当 ，即 时，| PQ|2 有最大值 ，|PQ |的最大值为 .1 103 13 11
11、29 473探究提高 圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值6(13 分)(2012 新课标全国 )设抛物线 C：x 22py(p0)的焦点为 F，准线为l，A 为 C 上一点，已知以 F 为圆心，FA 为半径的圆 F 交 l 于 B，D 两点(1)若BFD90 ，ABD 的面积为 4 ，求 p 的值及圆 F 的方程；2(2)若 A，B，F 三点在同一直线 m 上，直线 n 与 m 平行，且 n 与 C
12、 只有一个公共点，求坐标原点到 m，n 距离的比值解 (1)由已知可得 BFD 为等腰直角三角形，| BD|2p，圆 F 的半径|FA| p.2由抛物线定义可知 A 到 l 的距离 d|FA| p.2因为ABD 的面积为 4 ，所以 |BD|d4 ，212 2即 2p p4 ，解得 p2(舍去)或 p2.12 2 2所以 F(0,1)，圆 F 的方程为 x2(y1) 28.(2)因为 A，B，F 三点在同一直线 m 上，所以 AB 为圆 F 的直径，ADB90.由抛物线定义知|AD|FA| |AB|.12所以ABD 30，m 的斜率为 或 .33 33当 m 的斜率为 时，由已知可设 n：y xb，代入 x22py 得33 33x2 px2pb0.2 33由于 n 与 C 只有一个公共点，故 p28pb0，43解得 b .p6因为 m 的纵截距 b1 ， 3，p2 |b1|b|所以坐标原点到 m，n 距离的比值为 3.当 m 的斜率为 时，由图形对称性可知，坐标原点到 m，n 距离的比值为333.综上，坐标原点到 m，n 距离的比值为 3.特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见创新设计高考总复习光盘中内容.
