1、3.1.2 指数函数1指数函数的概念(1)定义：一般地，函数 ya x(a0，a1，xR)叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是 R.(2)理解指数函数的定义，需要注意的三个问题：因为 a0，且 a1，x 是任意一个实数时，a x是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集 R.规定底数 a 大于零且不等于 1 的理由：如果 a0，Error!如果 a0，比如 y( 4) x，这时对于 x ，x ，在实数范围内函数值不存在；12 14如果 a1，y1 x1，是一个常量，对它没有研究的必要针对上述各种情况，所以规定 a0，且 a1.ya x是指数函数的定义式，a x的系数必须是 1，自变
2、量 x 必须在指数的位置上，并且指数一定为 x.如 ya x，y23 x， ，y3 x1 等都不是指数函数2=x【例 11】下列函数中，指数函数的个数是( )y3 x1 ；y3 x；yx 3.A0 B1 C 2 D3答案：B【例 12】函数 y( a2) 2ax是指数函数，则( )Aa1 或 a3 Ba1Ca3 Da0，且 a1解析：由指数函数定义知 所以解得 a3.2()=,，且 ，答案：C2指数函数的图象与性质(1)根据解析式作函数图象，一般用描点法，即列出 x，y 的对应值表，描点、连线利用这种方法，我们在同一坐标系中作出函数 y2 x，y10 x，y x和 y x的图(12) (110
3、)象(2)指数函数 ya x(a0，a1)的图象和性质a1 0a1图象定义域为 R，值域为(0，)来源:图象都过点(0,1)当 x0 时，y 1；当 x0 时，0y1当 x0 时，0y 1；当x0 时，y1性 来源:数理化网质 来源 :在(，)上单调递增 在(，)上单调递减析规律 学习指数函数的图象与性质需注意的几点当底数 a 大小不定时，必须分“a1”和“0a1”两种情形讨论当 0a1，x时，y0；当 a1，x 时， y0.当 a1 时，a 的值越大，图象随 x 增大时，递增速度越快，即“底大图高” ；当 0a1 时，a 的值越小，图象随 x增大时，递减速度越快，即“底小图低” (其中“x”
4、 的意义是：“x 趋向于正无穷大”)在 y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大到小如：当 ab1c 时，函数图象如图指数函数图象的平移规律若已知 ya x的图象，则把 ya x的图象向左平移 b(b0)个单位长度，则得到 ya xb的图象；把 y ax的图象向右平移 b(b0)个单位长度，则得到 ya xb 的图象；把 ya x的图象向上平移 b(b0)个单位长度，则得到 ya xb 的图象；把 ya x的图象向下平移b(b0)个单位长度，则得到 ya xb 的图象指数函数图象的对称规律函数 ya x的图象与 ya x 的图象关于 y 轴对称，ya x的图象与 ya x的图象关于x 轴对称，y
5、a x的图象与 y ax 的图象关于坐标原点对称【例 21】函数 在 R 上是( )=(31)A增函数 B奇函数C偶函 数 D减函数解析：由 于 0 11，所以函数 y( 1) x在 R 上是减函数，f (1)3( 1)1 ，f(1) 1，则 f(1) f (1)，且 f(1) f (1)，所以函数 y(3231) x不具有奇偶性答案：D【例 22】指数函数 ya x与 yb x的图象如图，则( )Aa0，b0 Ba0，b0C0a1，b1 D0a1，0b1解析：由图象知，函数 ya x单调递减，故 0a1；函数 yb x单调递增，故 b1.答案：C【例 23】指数函数 的图象如图，则分别对应于
6、图象=23x， ， ，的 a 的值为( )A B12,3， 13,2，C D， ，解析：设图象，对应的函数分别为 ym x，yn x，yc x，yd x，当x1 时，如图易知：c1d 1m 1n 1.又m，n，c， ，23， ， ，c3，d2， ， .1=2m3n答案：B3用待定系数法求指数函数的解析式指数函数的解析式 ya x中仅含有一个参数 a，则只需要一个条件即可确定指数函数的解析式，这样的条件往往是已知 f(m)n 或图象过点(m，n) 等等通常利用待定系数法求解，设出指数函数的解析式 f(x)a x，利用已知条件列方程求出常数 a 的值利用待定系数法求指数函数的解析式时，常常遇到解方
7、程，比如：a mn，这时先把 n化为以 m 为指数的指数幂形式 nk m，则解得 ak .还可以直接写出 ，再利用指数幂1=的运算性质化简 .1n【例 31】若指数函数的图象经过点(5,125)，则该指数函数的解析式为 _答案：yx 3【例 32】已知指数函数 f(x)的图象经过点 ，试求 f(1)和 f(3)126，分析：设出函数 f(x)的解析式，利用待定系数法求出解：设 f(x)a x(a0，且 a1)，函数 f(x)的图象经过点 ，a 2 ，解得 a4.16， 16又 a0，则 a4，f(x )4 x，f(1)4 1 ，f(3)4 364.4指数函数的定义域、值域的应用问题(1)利用指
8、数函数的定义域、值域求形如 yf(a x)(a0，且 a1)型的函数的定义域和值域对于函数 yf(a x)(a0，且 a1) ，由于指数函数 ya x(a0，且 a1)的定义域是R，值域是(0，)，则利用换元法，设 axt ，转化为求函数 f(t)，t (0 ，)的定义域和值域(2)利用指数函数的定义域、值域求形如 ya f(x)(a0，且 a1) 型的函数的定义域、值域对于函数 ya f(x)(a0，且 a1)，由于指数函数 ya x(a 0，且 a1)的定义域是 R，因此满足 f(x)有意义的自变量 x 的取值范围是函数 ya f(x)(a0，且 a1)的定义域设uf (x)，求出函数 u
9、f(x )的值域 E，则函数 ya u(uE)的值域是函数 ya f(x)(a0，且a1)的值域例如，函数 ，要使函数 f(x)有意义，自变量 x 的取值只需满足 有意义，1=5xy 1x即 x0，所以函数 的定义域是(，0) (0，) 设 u，由于 x( ，0)x1x(0， ) ，则 u( ，0) (0，)，则函数 y5 u的值域是(0,1)(1 ，)【例 41】求下列函数的定义域、值域：(1) ；(2) ；(3)y2 x1.=0.xy513x分析：根据使函数有意义的条件求定义域，结合指数函数的图象与性质求值域解：(1)由 x10，得 x1，故函数的定义域为x|x 1由 ，得 y1，故函数的
10、值域为y|y 0，且 y10x(2)由 5x10，得 ，故函数的定义域为 .5x15x由 ，得 y1，故函数的值域为y|y 1 (3)由表达式的特征知，函数的定义域为 R.由 2x0 ，得 2x11，故函数的值域为 y|y1 点技巧 指数函数的性质对函数值域的影响求与指数函数有关的函数值域时，要充分考虑式子特点，利用指数函数本身的条件结合函数的单调性求解【例 42】求函数 的定义域和值域1()=42xxf分析：定义域由函数解析式可直接得出，求其值域时，可利用换元法，转化为求二次函数的值域规范解答 顾问点评解：要使函数 f(x)有意义，自变量 x 的取值需满足 x和 x(14) (12)有意义即
11、可，函数 f(x)的定义域是 R.(得分点)设 xt，又 xR，则 t(0，)，(12)则 yt 2t1 2 ，t(0，)，( 得分点)(t 12) 34y 2 1，(得分点)(0 12) 34即函数 f(x)的值域为(1，)( 得分点)本题的求解关键是利用换元法转化为求二次函数的值域的问题.5指数函数的图象及定 点问题(1)指数函数的图象变换的问题根据函数图象的变换规律，有以下结论：函数 ya xb (a0，且 a1)的图象，可由指数函数 y ax(a0，且 a1)的图象向左(b0)或向右 (b0)平移|b| 个单位长度而得到；函数 ya xb 的图象，可由指数函数 ya x(a0，且 a1
12、)的图象向上( b0)或向下(b0)平移| b|个单位长度而得到；函数 ya |x|的图象，关于 y 轴对称，当 x0 时，其图象与指数函数 ya x(a0，且a1)图象相同；当 x0 时，其图象与 x0 时的图象关于 y 轴对称(2)与指数函数有关的函数图象过定点的问题指数函数 ya x(a0，且 a1)过定点(0,1)，即对任意的 a0，且 a1，都有 a01.是解决与指数函数有关的函数图象恒过定点问题的关键一般地，对于函数 yka f(x)b( k0) ，可令 f(x)0，解方程得 xm，则该函数的图象恒过定点( m，k b)方程 f(x)0 解的个数就是该函数的图象恒过定点的个数【例
13、51】函数 ya |x|(a1)的图象是( )分析：根据条件去绝对值号，利用指数函数的图象判断解析：由题意知，xR ，因此函数可变形为 ya |x|01.x， ， ，因为 a1，所以 0 1，因此根据指数函数的图象特点可知 B 正确a答案：B【例 52】若函数 f(x)2a x 13( a0，且 a1)的图象恒过定点 P，则点 P 的坐标是_解析：令 x10，解得 x1，所以 f(1)5.所以函数 f(x)2a x1 3 的图象恒过定点(1,5)答案：(1,5)6指数函数单调性的应用(1)比较两个指数幂的大小比较两个指数幂大小的方法有以下几种：单调法：比较同底数(是具体的数值 )幂大小，构造指
14、数函数，利用指数函数的单调性比较大小要注意：明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值；明确指数函数的底数与 1 的大小关系；最后根据指数函数的单调性判断大小中间量法：比较不同底数幂的大小，常借助于中间值 1 进行比较利用口诀：“同大异小” ，判断指数幂和 1 的大小，即对于指数幂 ax，a 与 1 比较大小，x 与 0 比较大小，当 a 和 x 都同时 “大于( 小于) ”时，a x大于 1，否则 ax小于 1.分类讨论：比较同底数(不是具体的数值 )幂大小，构造指数函数，利用指数函数的单调性比较大小要注意：明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值；分类讨论指数函数的底数与 1 的大小；最
15、后根据指数函数的单调性判断大小(2)利用指数函数单调性解决指数方程、不等式根据指数函数的单调性，当 a0，且 a1 时，有：a f(x)a g(x) f(x)g(x)；当 a1 时，a f(x)a g(x) f(x)g(x)；当 0a1 时，a f(x)a g(x) f(x)g(x)点技巧 巧用指数函数的单调性利用指数函数的单调性是解题的关键，根据所给的已知信息，构造合适的指数函数，为了便于解题，通常要尽可能地将含指数幂的式子进行统一底数【例 61】比较下列各题中两个值的大小：(1)0.80.1 ,0.80.2 ；(2)1.70.3,0.93.1；(3)a1.3，a 2.5(a 0，且 a1)
16、分析：(1)由于底数相同利用单调法比 较大小；(2)由于底数和指数均不同，用中间量法比较大小；(3) 对底数 a 分类讨论与 1 的大小关系解：(1)00.81，指数函数 y0.8 x在 R 上为减函数0.8 0.1 0.8 0.2 .(2)1.7 0.31,0.9 3.11，1.7 0.30.9 3.1.(3)当 a1 时，函数 ya x是增函数，此时 a1.3a 2.5；当 0a1 时，函数 ya x是减函数，此时 a1.3a 2.5，即当 0a1 时，a 1.3a 2.5；当 a1 时，a 1.3a 2.5.辨误区 当底数含参数时注意分类讨论本题(3)易错解得 a1.3a 2.5，原因是
17、忽视了对底数 a 要分 0a1 和 a1 两种情况进行讨论【例 62】已知(a 22a5 )3x( a22a5) 1x ，则 x 的取值范围是_分析：将不等号两边看做以 a22a5 为底的指数型函数，利用函数的单调性转化为关于 x 的不等式求解解析：a 22a5(a1) 241，函数 y(a 22a5) x在(，) 上是增函数，3x1x，解得 .答案： ,4【例 63】解方程：4 x2 x 60.分析：将 4x化为 (2x)2，先求 2x的值，再求 x 的值解：原方程可化为(2 x)22 x 60，令 t2 x，则 t0，原方程化为 t2t60，即(t3)( t2)0，t2 或 t3.t0，t
18、2，即 2x2 ，x1.点评：解指数方程通常应用换元法转化成二次方程求解，最后注意根的取舍7与指数函数有关的函数单调性、奇偶性的综合问题(1)判断与指数函数有关的函数的奇偶性与判断一般函数的奇偶性相同，先求函数的定义域，当定义域关于原点不对称时，则此函数既不是奇函数也不是偶函数，当定义域关于原点对称时，判断 f(x )与 f(x)或f(x)是否相等；然后进行判断若已知函数的奇偶性，也可利用奇偶性求函数的解析式或参数的值等(2)指数函数的单调性与底数的大小有关系，因此讨论指数函数的单调性时，一定要明确底数与 1 的大小关系与指数函数有关的函数的单调性往往也与底数有关系，其解决手段就是利用指数函数
19、单调性的定义判断或证明函数的单调性，其步骤是：(在第一章已经学习)在所给的区间上任取两个自变量 x1 和 x2，通常令 x1x 2， xx 2x 10；作差 yf(x 2)f(x 1)、变形、看 符号常见的变形手段是：通分、分解因式、配方、有理化等，常见的变形结果有：常数、一个完全平方加上一个常数、因式的积或商等；归纳结论(3)形如 g(x)a f(x)的指数型函数，对于其单调性的判断，一般用复合法，但应注意中间变量的取值范围以及定义域如 y4 x22 x的单调性问题，则由 yt 22t 及 t2 x的单调性确定当 a1 时，函数 g(x)a f(x)与函数 f(x)的单调性相同；当 0a1
20、时，函数 g(x)a f(x)与函数 f(x)的单调性相异即函数 ya f(x)(a0，a1)的单调性 ，可以由函数 uf (x)与ya u(a0，a 1)按照“同增异减 ”的原则来确定【例 71】已知 f(x)为定义在(1,1) 上的奇函数，当 x(0,1) 时， .2()=41xf(1)求 f(x)在( 1,1)上的解析式；(2)判断 f(x)在(0,1)上的单调性解：(1)当 x(1,0)时 ，x(0,1)，又f(x )是奇函数，f(x )f(x) .2=414xx又f(0) f(0)，f(0)0.f (x),(0),2,(1,).4xx(2)设 0x 1x 21，则 f(x1)f (x
21、2) .122211()=4)xxxx又0x 1x 21，x 1x 20,4x 110,4x 210.2x 1x 21,2x 22x 1.2x 22x 10.f(x 1)f(x 2)0.f(x)在(0,1)上是减函数【例 72】求下列函数的值域和单调区间：(1) ；(2) y4 x 2x1 3，x(，1 2=xy分析：先将复合函数分解为两个简单函数，然后求函数的定义域，并利用“同增异减”来确定单调区间解：(1)设 ux 22x，则 . ，ux 22x 的定义域都是 R，1=2uy的定义域为 R.ux 22x(x 1) 211， ，函21=y 1=2u数的值域为 .u(x1) 21 在(，1上单
22、调递增，在1 ，)上单调递减，1,2且 在其定义域上是减函数， 的单调递减区间为( ，1，单调递=uy 2=xy增区间为1，)(2)y2 2x2 2x3，令 t2 x，x ( ，1，则 yt 22t3，t(0,2yt 22t3( t1) 22，t(0,2，当 t1 时，y min2；当 t2 时，ymax2 222 33 .函数的值域为2,3y(t1) 22 在(0,1 上单调递减，在1,2 上单调递增，t 2 x在其定义域上单调递增，且 t(0,1时， x(，0； t1,2时，x0,1，函数 y4 x2 x1 3，x( ，1的单调递减区间是( ，0，单调递增区间是0,1辨误区 解题时勿忽略中间变量的取值范围在解答本题的过程中，易出现由 t2 x，x(，1得到 t2，从而 t1 时，ymin 2，而无最大值，进而得出值域为2，) 导致这种错误的原因在于忽略了中间变量 t2 x0 这一隐含条件
