1、第 6课时 解三角形的综合应用1.结合三角函数性质,深入理解正、余弦定理 .2.初步解决正、余弦定理与平面向量、三角恒等变换相结合的综合性问题 .我们学完了正弦定理、余弦定理之后,又对正、余弦定理的应用举例做了了解,如仰角、俯角、方位角这些涉及角度的问题, 我们还会利用正、余弦定理处理与距离、高度有关的问题,其实这些问题都离不开解三角形,这节课我们就一起来研究正、余弦定理在解三角形中的综合应用吧!问题 1: ABC中,正弦定理用数学公式可表示为: ;余弦定理用公式可表示为 a2= ,b2= ,c2= . 问题 2:根据正弦定理知, abc= ;余弦定理的推论可表示为 cos A= ,cos B
2、= ,cos C= . 问题 3:两角和与差的余弦公式:cos( )= ;两角和与差的正弦公式:sin( )= ;二倍角公式:sin 2= ,cos 2= = = . 问题 4:设向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),向量 a与 b的夹角为 ,则 ab= = . 此外,计算向量的数量积时,还可以先根据向量加减法运算的几何法则进行转化,把题目中未知的向量用已知的向量表示出来,在这个过程中要充分利用共线向量定理、平面向量基本定理以及解三角形等知识 .1.在 ABC中,角 A,B,C所对边的长分别为 a,b,c,且 a= ,b=3,c=2 ,则 等于( ).5 5 A.10 B.12 C.1
3、0 D.125 52.设 ABC的内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,若 bcos C+ccos B=asin A,则 ABC的形状为( ).A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不确定3.在 ABC中,若 b=2 ,c=1,tan B=2 ,则 a= . 2 24.如图,在 ABC中,已知 B=45,D是 BC边上的一点, AD=10,AC=14,DC=6,求 AB的长 .三角函数性质与正、余弦定理的交汇考查已知函数 f(x)=cos - sin .2 3 2(1)若 x -2,2,求函数 f(x)的单调减区间; (2)在 ABC中, a,b,c分别为角 A,B,C的对
4、边,若 f(2A- ) = ,sin B= cos C,a= ,23 43 5 2求 ABC的面积 .平面向量与正、余弦定理的交汇考查在锐角 ABC中, a,b,c分别为内角 A,B,C所对的边,且满足 a-2bsin A=0.3(1)求角 B的大小;(2)若 a+c=5,且 ac,b= ,求 的值 .7 三角恒等变换与正、余弦定理的交汇考查设 ABC的内角 A、 B、 C的对边分别为 a、 b、 c,(a+b+c)(a-b+c)=ac.(1)求 B;(2)若 sin Asin C= ,求 C.314已知 f(x)=-cos2 x+ sin x 的图像上两相邻对称轴间的距离为 ( 0).2 3
5、2 2(1)求 f(x)的单调减区间;(2)在 ABC中, a,b,c分别是角 A,B,C的对边,若 f(A)= ,c=3, ABC的面积是 3 ,求12 3a的值 .已知函数 f(x)=sin( -2x)+2cos2x-1(xR) .76(1)解不等式 f(x)0;(2)在 ABC中,三内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,已知函数 f(x)的图像经过点( A, )12且 b+c=2a, =9,求 a的值 .设 ABC的内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,已知 a=2,b=3,cos C=- .14(1)求 c;(2)求 cos(A-C).1.一等腰三角形的周长是底边长的 5倍,
6、那么顶角的余弦值为( ).A. B. C. D.518 34 32 782.在 ABC中,sin A+cos A= ,AC=2,AB=3,则 ABC的面积为( ).22A. ( + ) B. + C. D.234 2 6 2 6 343.在 ABC中,内角 A,B,C的对边分别是 a,b,c.若 cos B= , =2,且 S ABC= ,则 b= 14 154. 4.已知函数 f(x)= sin 2x-cos2x- .32 12(1)求函数 f(x)的最小值,及取最小值时 x的值;(2)设 ABC的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c且 c= ,f(C)=0,若 sin B=2sin A
7、,求 a,b的3值 .(2013年辽宁卷)在 ABC中,内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c.若 asin Bcos C+csin Bcos A= b,且 ab,则 B等于( ).12A. B. C. D.6 3 23 56考题变式(我来改编):第 6课时 解三角形的综合应用知识体系梳理问题 1: = = b2+c2-2bccos A c2+a2-2cacos B a2+b2-2abcos C 问题 2:sin A sin B sin C 2+222 2+222 2+222问题 3:cos cos sin sin sin cos cos sin 2sin cos cos2- sin2 2c
8、os2- 1 1-2sin2问题 4:x1x2+y1y2 |a|b|cos 基础学习交流1.B 由余弦定理得:cos A= = = ,所以 =| | |cos 2+222 32+(25)2(5)22325 255 A=12.2.A b cos C+ccos B=asin A,由正弦定理得 sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,即 sin(B+C)=sin2A,sin A=sin2A, sin A=1或 0(舍去), A= , 选 A.23.3 由 tan B=2 0,知 0c,故 a=3,c=2,所以 cos A= = = ,2+222 7+4947 714所以 =| | |
9、cos A=cbcos A =2 =1.7714【小结】与解三角形的知识交汇考查时,向量数量积的计算多使用公式ab=|a|b|cos,应围绕公式中的量,由已知向未知转换,完成对数量积的求解 .探究三:【解析】(1)因为( a+b+c)(a-b+c)=ac,所以 a2+c2-b2=-ac.由余弦定理得 cos B= =- ,2+222 12因此 B=120.(2)由(1)知 A+C=60,所以cos(A-C)=cos Acos C+sin Asin C=cos Acos C-sin Asin C+2sin Asin C=cos(A+C)+2sin Asin C= +212 314= ,32故 A
10、-C=30,因此 C=15.问题根据 cos(A-C)= ,一定能得出 A-C=30,从而角 C一定为 15吗?32结论根据 cos(A-C)= ,得出 A-C=30不一定成立, A-C还可能为 -30.32(1)同错解部分 . (2)由(1)知 A+C=60,所以 cos(A-C)=cos Acos C+sin Asin C =cos Acos C-sin Asin C+2sin Asin C =cos(A+C)+2sin Asin C = +2 = , 12 314 32故 A-C=30或 A-C=-30, 因此 C=15或 C=45.【小结】三角恒等变换公式与正、余弦定理交汇考查时,多体
11、现在利用恒等变换公式计算相应角的三角函数值,然后再利用正、余弦定理解三角形或求解三角形的角、边等 .思维拓展应用应用一:由已知得,函数 f(x)的周期为 .f (x)=-cos2 + sin x=- + sin x= sin x- cos x-2 32 1+2 32 32 12=sin(x- )- ,12 6 12= =2,f (x)=sin(2x- )- .2 6 12(1)由 2k + 2 x- 2 k + ,得 2k + 2 x2 k + ,2 6 32 23 53k + x k + ( kZ), f (x)的单调减区间是 k + ,k + ( kZ) .3 56 3 56(2)由 f(A)= ,得 sin(2A- )- = ,sin(2A- )=1,12 6 1212 6 0b,12 12所以 B为锐角,故 B= .6
