1、阶段质量评估(三) 三角恒等变换本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共 150 分，考试时间 120 分钟第卷(选择题)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 等于( )tan 51 tan 91 tan 51tan 9Atan 42 B.33C. D3 3解析：原式tan(519)tan 60 .3答案：C2若 sin sin 1，则 cos( )的值为( )A0 B1C1 D1解析：由 sin sin 1，得 cos cos 0，cos( )cos cos sin sin 1.答案：B3下列各式中
2、，值为 的是( )34A2sin 15cos 15 Bcos 2 15sin 2 15C2sin 2 151 D. cos 21512解析：用二倍角公式求解可知，只有 D 的结果为 .34答案：D4若 tan ，tan( ) ，则 tan 的值为( )12 25A. B18 18C D.112 112解析：tan tan ( ) .tan tan 1 tan tan 112答案：C5已知向量 a(cos 75，sin 75)， b(cos 15，sin 15)，那么| a b|等于( )A. B.12 22C. D132解析：| a b| 2 2 cos 75cos 15 sin 75sin
3、15 1.2 2cos 60答案：D6计算 sin 15sin 30sin 75的值等于( )A. B.34 38C. D.18 14解析：原式 sin 15cos 15 2sin 15cos 15 sin 30 .12 14 14 18答案：C7在 ABC 中，tan Atan B tan Atan B，则 C 等于( )3 3A. B. 3 23C. D. 6 4解析：由条件得 tan(A B) ， A B ， C .323 3答案：A8已知函数 f(x)cos 2 cos 2 ，则 f 等于 ( )( 4 x) ( 4 x) (12)A. B12 12C. D32 32解析： f(x)c
4、os 2 sin 2( 4 x) (x 4)sin 2 x， f sin .(12) 6 12答案：B9函数 f(x)sin xcos x， x 的最小值为( )0， 2A2 B 3C D12解析： f(x) sin ，又 x ，2 (x 4) 0， 2 x . 4 4 4 f(x)min sin 1.2 ( 4)答案：D10设 sin ，则 sin 2 ( )( 4 ) 13A B79 19C. D.19 79解析：sin (sin cos ) ，两边平方，得 (12sin cos )( 4 ) 22 13 12，sin 2 .19 79答案：A11化简 ( )sin235 12cos 10
5、cos 80A2 B12C1 D1解析： 1.sin235 12cos 10cos 801 cos 702 12cos 10sin 10 12cos 7012sin 20答案：C12已知函数 f(x)sin xcos ，对任意实数 ， ，当 f( ) f( )取最23 (23x 6)大值时，| |的最小值是( )A3 B.32C. D.43 23解析： f(x)sin xcos sin xsin sin ，23 (23x 6) 23 (23x 3) 3 (23x 6)又当 f( ) f( )取最大值时，| |的最小值是函数 f(x)的最小正周期的一半，而函数的最小正周期 T 3，从而选 B.2
6、23答案：B第卷(非选择题)二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，请把正确答案填在题中横线上)13(2014山东高考)函数 y sin 2xcos 2x 的最小正周期为_32解析： y sin 2x cos 2x 32 12 12sin ，所以其最小正周期为 .(2x 6) 12 22答案：14已知 tan 2，则 tan 的值为_，tan 的值为_ 2 ( 4)解析：tan tan ，进而有 tan .(2 2)2tan 21 tan2 2 43 ( 4) 1 tan 1 tan 17答案： 43 1715化简 _.2tan 45 1 tan2 45 sin cos
7、cos2 sin2解析：原式tan(902 )12sin 2cos 2 sin 90 2 cos 90 2 12sin 2cos 2 cos 2sin 2 sin 22cos 2 .12答案：1216已知 sin ，则 sin 2x 的值为_( 4 x) 35解析：sin 2 xcos cos 2 12sin 2 12 2 .( 2 2x) ( 4 x) ( 4 x) (35) 725答案：725三、解答题(本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分 12 分)已知 sin cos 2 ， ，求 sin 2 .(0， 2)解：sin 12sin
8、2 ，即 2sin2 sin 10，sin 1 或 sin .12又 ，sin ， .(0， 2) 12 6cos .sin 2 2 .32 12 32 3218(本小题满分 12 分)求函数 ycos xcos (x 3)(xR)的最大值和最小值解： ycos xcos xcos sin xsin 3 3 cos x sin x32 32 3(32cos x 12sin x) 3(cos 6cos x sin 6sin x) cos .3 (x 6)1cos 1，(x 6) ymax ， ymin .3 319(本小题满分 12 分)求 sin 10 的值1 cos 202sin 20 (
9、1tan 5 tan 5)解：原式 2sin 102cos2102sin 20 1 tan252tan 5 2sin 10cos2102sin 10cos 10 cos 10sin 10 2cos 10cos 102sin 10 cos 10 2sin 202sin 10 .cos 10 2sin 30 102sin 10 3220(本小题满分 12 分)已知sin 2x2cos x(1 tan xtanx2)2，求 cos 2x 的值解： sin xsin 2x2cos x(1 tan xtanx2) 2sin xcos x2cos xtan x tanx2tan(x x2)sin xcos
10、 x sin x2cos x2tanx2sin x(sin xcosx2 cos xsinx2)cos xcosx2tanx2 tan x.sin xsinx2cos xcosx2tanx2tan xtanx2tanx2由已知，tan x2.cos 2 xcos 2xsin 2xcos2x sin2xcos2x sin2x .1 tan2x1 tan2x 1 41 4 3521(本小题满分 12 分)(2014福建高考)已知函数 f(x)cos x(sin xcos x) .12(1)若 0 ，且 sin ，求 f( )的值 2 22(2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间解：方法一：
11、(1)0 ，sin ， 2 22cos .22 f( ) .22 (22 22) 12 12(2) f(x)sin xcos xcos 2x12 sin 2x 12 1 cos 2x2 12 sin 2x cos 2x sin ，12 12 22 (2x 4) T .22由 2k 2 x 2 k ， kZ，得 k x k ， kZ. 2 4 2 38 8 f(x)的单调递增区间为 ， kZ.k 38， k 8方法二： f(x)sin xcos xcos 2x12 sin 2x 12 1 cos 2x2 12 sin 2x cos 2x sin .12 12 22 (2x 4)(1)0 ，sin
12、 ， . 2 22 4从而 f( ) sin sin .22 (2 4) 22 34 12(2)T .22由 2k 2 x 2 k ， kZ，得 k x k ， kZ. 2 4 2 38 8 f(x)的单调递增区间为 ， kZ.k 38， k 822(本小题满分 14 分)函数 f(x)cos sin ， xR.(x2) ( x2)(1)求 f(x)的最小正周期；(2)若 f( ) ， ，求 tan2105 (0， 2) ( 4)的值解：(1) f(x)cos sin (x2) ( x2)sin cos sin ，x2 x2 2 (x2 4)故 f(x)的最小正周期 T 4.212(2)由 f( ) ，得 sin cos ，2105 2 2 2105则 2 2，即 1sin ，解得 sin .(sin 2 cos 2) (2105 ) 85 35又 ，则 cos (0， 2) 1 sin2 ，1 925 45故 tan .sin cos 34所以 tan 7.( 4)tan tan 41 tan tan 434 11 34
