1、8 最小二乘估计一、非标准1.已知回归直线的斜率的估计值是 1.23,样本点的中心是(4,5),则线性回归方程是( )A.y=4+1.23x B.y=5+1.23xC.y=0.08+1.23x D.y=1.23+0.08x解析:由已知得 b=1.23,=4,=5,于是 a=-b=5-1.234=0.08,因此线性回归方程为y=1.23x+0.08.答案:C2.用回归直线方程的系数 a,b 的最小二乘法估计 a,b,使函数 Q(a,b)的值最小,则 Q 函数是指( )A.(yi-a-bxi)2 B.(yi-a-bxi)C.yi-a-bxi D.(yi-a-bxi)2答案:A3.某地区调查了 29
2、 岁的儿童的身高,由此建立的身高 y(cm)与年龄 x(岁)的回归模型为y=8.25x+60.13,下列叙述正确的是( )A.该地区一个 10 岁儿童的身高为 142.63 cmB.该地区 29 岁的儿童每年身高约增加 8.25 cmC.该地区 9 岁儿童的平均身高是 134.38 cmD.利用这个模型可以准确地预算该地区每个 29 岁儿童的身高解析:由 y=8.25x+60.13 知斜率的估计值为 8.25,说明每增加一个单位年龄,约增加 8.25 个单位身高,故选 B.答案:B4.某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表:广告费用 x/万元 4 2 3 5销售额 y/万元492
3、63954根据上表可得回归方程 y=bx+a 中的 b 为 9.4,据此模型预报广告费用为 6 万元时的销售额为( )A.63.6 万元 B.65.5 万元C.67.7 万元 D.72.0 万元解析: =3.5,=42,又 y=bx+a 必过(),42 =3.59.4+a, a=9.1.线性回归方程为 y=9.4x+9.1.当 x=6 时, y=9.46+9.1=65.5(万元) .答案:B5.已知 x 与 y 之间的几组数据如下表:x 1 2 3 4 5 6y 0 2 1 3 3 4假设根据上表数据所得线性回归方程为 y=bx+a,若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直
4、线方程为 y=bx+a,则以下结论正确的是( )A.bb,aa B.bb,aa D.ba.故选 C.答案:C6.下表是某厂 1 到 4 月用水量情况(单位:百吨)的一组数据:月份 x 1 2 3 4用水量y4.5 4 32.5用水量 y 与月份 x 之间具有线性相关关系,其线性回归方程为 y=-0.7x+a,则 a 的值为 .解析:由已知得 =2.5,=3.5,因此 3.5=-0.72.5+a,解得 a=5.25.答案:5 .257.在一项关于 16 艘轮船的研究中,船的吨位区间从 192 t3 246 t,船员的人数从 5 到 32,由船员人数 y 关于吨位 x 的回归分析得到: y=9.5
5、+0.006 2x,假定两艘轮船的吨位相差 1 000 t,船员平均人数相差 ,对于最小的船估计的船员人数是 ,对于最大的船估计的船员人数是 . 解析:由线性回归方程知船的吨位每增加 1 000 t,则人数增加 0.006 21 0006(人),又分别令 x=192 和 3 246,即可估算船员人数 .答案:6 10 298.2014 年 6 月 22 日,某市物价部门对本市的 5 家商场的一天销售量及其价格进行调查,5 家商场的售价和销售量之间的一组数据如下表所示:价格 x/元 9 9.5 m 10.5 11销售量 y/件11 n 8 6 5由数据对应的散点图可知,销售量 y 与价格 x 之
6、间有较强的线性相关关系,其线性回归方程是 =-3.2x+40,且 m+n=20,则其中的 n= . 解析:(9 +9.5+m+10.5+11)=8+(11+n+8+6+5)=6+,线性回归方程一定经过样本中心(),所以6+=-3.2+40,即 3.2m+n=42,由解得故 n=10.答案:109.某连锁经营公司所属 5 个零售店某月的销售额和利润额如下表:商店名称 A B C D E销售额 x/千万元 3 5 6 7 9利润额 y/百 2 3 3 4 5万元(1)画出散点图,观察散点图,说明两个变量是否线性相关;(2)用最小二乘法计算利润额 y 对销售额 x 的线性回归方程;(3)当销售额为
7、4 千万元时,估计利润额的大小 .解:(1)散点图如下图 .由散点图可以看出变量 x,y 线性相关 .(2)设线性回归方程是 y=bx+a,=3.4,=6,所以 b=0.5,a=-b=3.4-60.5=0.4,即利润额 y 对销售额 x 的线性回归方程为 y=0.5x+0.4.(3)当销售额为 4 千万元时,利润额为 y=0.54+0.4=2.4(百万元) .10.某地最近十年粮食需求量逐年上升,下表是部分统计数据:年份 2006 2008 2010 2012 2014需求量 /万吨 236 246 257 276 286(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的线性回归方程 y=bx+a;(2
8、)利用(1)中所求出的直线方程预测该地 2015 年的粮食需求量 .解:(1)由所给数据看出,年需求量与年份之间是近似直线上升的,下面来求线性回归方程,为此对数据预处理如下:年份 -2 010 -4 -2 0 2 4需求量 -257-21-11 01929对预处理后的数据,容易算得=0,=3.2.b=6.5,a=-b =3.2.由上述计算结果,知所求线性回归方程为y-257=b(x-2 010)+a=6.5(x-2 010)+3.2,即 y=6.5(x-2 010)+260.2.(2)利用直线方程,可预测 2015 年的粮食需求量为6.5(2 015-2 010)+260.2=6.55+260.2=292.7(万吨) .
